第八章第四节空间直线及其方程、空间直线方程二、线面间的位置关系HIGHEDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束
第四节 一、空间直线方程 二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及其方程 第八章
一、空间直线方程1.一般式方程直线可视为两平面交线，因此其一般式方程A,xByC,zD, oA,xB2yC2zD20(不唯一)HIGH EDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束
一、空间直线方程 因此其一般式方程 1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， (不唯一) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.对称式方程已知直线上一点Mo(xo,yo,zo)和它的方向向量s(m,n,p),设直线上的动点为M(x,y,z)则MoMl/sM(x,y,z)x xoyyoLzo故有M。(xo,yo,zo)mpn此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程说明：某些分母为零时，其分子也理解为零例如，当mnO,po时，直线方程为XoyyoHIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束
2. 对称式方程 故有 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. 设直线上的动点为 则 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 直线方程为 已知直线上一点 例如, 当 和它的方向向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.参数式方程x xo设mn福得参数式方程xxo mtyyo ntzzoptHIGHEDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束
3. 参数式方程 设 得参数式方程 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.用对称式及参数式表示直线xyz1o2xy3z40解：先在直线上找一点，yzO,得yo,z令x=1,解方程组3z6"故（1,0,2)是直线上一点再求直线的方向向量S交已知直线的两平面的法向量为nj (1, 1,1),n2 (2, 1,3)snnsni,sn2HIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束
例1.用对称式及参数式表示直线 解:先在直线上找一点. 再求直线的方向向量 令 x = 1, 解方程组 ,得 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
ksn,n,1□(4,□1, 3)1故所给直线的对称式方程为x □14tO0参数式方程为P3t解题思路：先找直线上一点；再找直线的方向向量HIGH EDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束
故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、线面间的位置关系1.两直线的夹角两直线的夹角指其方向向量间的夹角（通常取锐角设直线L，L,的方向向量分别为Si (mi, ni, Pi), S2 (m2, n2, P2)则两直线夹角满足S1COssm,mInjn2piP2nmHIGHEDUCATIONPRESS下页返回机动目录上贝结束
二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 则两直线夹角 满足 设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 的方向向量分别为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
特别有：S, s.V(1) L L2 mjm2nn2piP20(2) L / L2 <>SmlnPim2n2 P2HIGHEDUCATION PRESS机动目录下页返回上贝结束
特别有: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2．求以下两直线的夹角xy2□0L2 :x2z0解：直线L的方向向量为si(1,4,1)k直线L，的方向向量为s,□(2,□2,□1)的余弦为二直线夹角口1 2 □(C4) ~(2) □1 □(1)cOsLV2? □(2)2 (1)212□(4)从而HIGHEDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束
例2. 求以下两直线的夹角 解: 直线 直线 二直线夹角 的余弦为 从而 的方向向量为 的方向向量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线所夹锐角口称为直线与平面间的夹角；当直线与平面垂直时，规定其夹角设直线L的方向向量为(m,n,p)平面 □ 的法向量为n (A,B,C)则直线与平面夹角满足sincos( s,nAmBnCpV7R4HIGH EDUCATION PRESS下页返回机动目录上贝结束
当直线与平面垂直时,规定其夹角 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角; 2. 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为 则直线与平面夹角 满足 直线和它在平面上的投影直 ︿ 机动 目录 上页 下页 返回 结束