习题课
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例1.求与两平面 x-4 z=3和 2 x-y-5z=1的交线平行，且过点(-2,2,5)的直线L的方程。解：因为L的方向向量rarn.rnki=(-4,- 3,- 1)rr1-40snn2-5-1利用点向式可得直线L方程Z-5x+2y- 2431
例1. 求与两平面 x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交线 解: 因为L的方向向量 利用点向式可得直线L方程： 平行, 且 过点 (–2 , 2 , 5) 的直线L的方程
y- 3x - 2z- 4例2.求直线与平面121Et2x+＋z-6=0 的交点 .ix=2+t解：化直线方程为参数方程：V=3+t1z=4+2t代入平面方程得 t= - 1从而确定交点为（1，2，2）
例2. 求直线 与平面 的交点 . 解: 化直线方程为参数方程： 代入平面方程得 从而确定交点为（1，2，2）
2x- z = 0例3．设一平面II平行于已知直线x+y-z+5=0且垂直于已知平面P,7×-+4z-3=0，求该平面法线的方向余弦，n解：已知平面的法向量=(74)rr*-k已知直线的方向向量！20- 1=(1,1,2)11
例3. 设一平面Π平行于已知直线 且垂直于已知平面 求该平面法线的方向余弦. 解: 已知平面的法向量 已知直线的方向向量
因为所求平面的法向量^目Tnr1.k12(3,5.4211Mn.=>4平面II的法线的方向余弦为；3x5cosacos.bcosgnV50V50V50
因为所求平面的法向量 平面Π的法线的方向余弦为：
i x+5y+z=0例4.求过直线L：1且与平面i x- z+4= 0x-4y-8z+12=0夹角为←的平面方程解：过直线I的平面束方程：(x+ 5y+z)+ l (x - z+ 4)= 0rn即:(1 +1)x+5y +(1- 1)z+41 =0其法向量为：n.=(1+1.5.1-1)
例4. 求过直线L: 且与平面 夹角为 的平面方程. 解: 过直线 L 的平面束方程： 其法向量为： 即：
已知平面的法向量为：r7=71A8)n xn选择 使: cos(n,n,)pCOSnlln431n4从而得所求平面方程：x +20y+ 7z - 12 = 0
已知平面的法向量为： 选择 使： 从而得所求平面方程：
iv=2x例5. 求过点 M(1,1,1) 且与两直线Liiz=x- 1iv=3x-4都相交的直线LL:iiz=2x- 1M思路：先求交点M,,M,；再写直线方程M解：将 L,,L，的方程化为参数方程ix=tix=tL:iy=2t , L:iy=3t- 41z=t-11z=2t-1设L与它们的交点分别为：M,(t,2t,t,-1),M,(t, ,3t, - 4,2t, - 1)
思路: 先求交点 例5. 求过点 且与两直线 都相交的直线 L. 解: 的方程化为参数方程 设 L 与它们的交点分别为： 再写直线方程
QM,M,M，三点共线uuuuuur1M.MM.M.(t - 1)- 12t, - 1t, - 1t, - 1(3t, - 4)- 1(2t, - 1)- 1Mt, =2>t, =0 >M, =(0 0- 1). M, =(2 2 3)z - 1y-211
三点共线
