清华大学出版：《现代控制理论》 第三章 线性系统的能控性与能观性

第三章 线性系统的能控性与能观性

第三章 线性系统的能控性与能观性

3.1线性定常连续系统的能控性 1定义设x=Ax+Bn(x∈R,u∈R,A∈R"") 若存在一分段连续控制向量u(),能在[,内, 将系统从任意的初态x()转移至任意终态x(), 则系统完全能控 说明:1)任意初态x(t0)=x 零终态x(4)=0状态完全能控 2)零初态x()=0 任意终态x(4)=x状态完全能达

3.1线性定常连续系统的能控性 1.定义:设 若存在一分段连续控制向量 ，能在 内， 将系统从任意的初态 转移至任意终态 ， 则系统完全能控。 说明：1）任意初态 零终态 状态完全能控 2）零初态 任意终态 状态完全能达 x  = Ax+ Bu ( , , ) n p n n x R u R A R     u(t) [ , ] 0 f t t ( ) 0 x t ( ) f x t x(t ) = x 0 x(t f ) = 0 x(t 0 ) = 0 x t x ( f ) =

3)()无约束,x(t)→>x()轨迹任意 2.定理1系统完全能控的充要条件 ranks=n Sc=B AB ●鲁 An1B→能控性阵 证明:x(O)=x1(0)x2(0) (O) x()=0求() (t=e A(tr-to) X ts,A(s-to Bu(rdt

3） 无约束， 轨迹任意 2.定理1 系统完全能控的充要条件： 证明： ( ) ( ) 0 f x t → x t rankSc= n Sc B AB A B n−1 =  能控性阵 =   → T n x(0) x (0) x (0) x (0) 1 2  x(t ) 0 u(t) f = 求 e Bu  d t t x t e x t A t t f A t t f f f ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) − 0 − 0  = + u(t)

假设to=0,x(7)=0 则x(0) tfat Bu(t)a 由 Hamilton定理推论c=∑an()m x0=0240()4B(「 ∑ AmBI (t)u(tdc

假设 则 由Hamilton定理推论 t 0 = 0, x(t f ) = 0    e Bu d t x f A ( ) 0 (0) −  = −  − = − = 1 0 ( ) n m m m A e a  A  a  A Bu  d t x m n m m f ( ) ( ) 0 (0) 1 0   − =  = −       = −  − = a  u  d t A B f m n m m ( ) ( ) 0 1 0               = p u u u u  2 1

um=am(t)u(rdr am()u, (tdt 0 am()u, (dc 0 (tu(tdt 0

令 a  u  d t u m f m ( ) ( ) 0  =                     =               =             a u d t a u d t a u d t u u u u m p f m f m f m p m m m ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 2 1 2 1  

x()=∑An[b 2 0 mI m2

                − =  − = m p m m p n m m u u u x A b b b   2 1 1 2 1 0 (0) =  SC               mp m m u u u  2 1

已知x(O),求l(t)的充要条件是 ranks=n

已知x(0),求u(t)的充要条件是rankSC = n