《多元统计分析》第六章 因子分析

第六章因子分析

zf 第六章 因子分析

因子分析的重点 令1、什么是因子分析? 令2、理解因子分析的基本思想 令3、因子分析的数学模型以及模型中公共因子、 因子载荷变量共同度的统计意义 ◆4、因子旋转的意义 ◆5、结合SPSS软件进行案例分析 2021/1/21

2021/1/21 2 cxt 因子分析的重点 ❖ 1、什么是因子分析？ ❖ 2、理解因子分析的基本思想 ❖ 3、因子分析的数学模型以及模型中公共因子、 因子载荷变量共同度的统计意义 ❖ 4、因子旋转的意义 ❖ 5、结合SPSS软件进行案例分析

61因子分析的基本理论 令1、什么是因子分析? 因子分析是主成分分析的推广,也是利用降维的思 想,由研究原始变量相关矩阵或协方差矩阵的内部依 赖关系出发,把一些具有错综复杂关系的多个变量归 结为少数几个综合因子的一种多元统计分析方法 令2、因子分析的基本思想: 把每个研究变量分解为几个影响因素变量,将毎个 原始变量分解成两部分因素,一部分是由所有变量共 同具有的少数几个公共因子组成的,另一部分是每个 变量独自具有的因素,即特殊因子。 2021/1/21 cXt

2021/1/21 3 cxt 6.1 因子分析的基本理论 ❖ 1、什么是因子分析？ 因子分析是主成分分析的推广，也是利用降维的思 想，由研究原始变量相关矩阵或协方差矩阵的内部依 赖关系出发，把一些具有错综复杂关系的多个变量归 结为少数几个综合因子的一种多元统计分析方法。 ❖ 2、因子分析的基本思想： 把每个研究变量分解为几个影响因素变量，将每个 原始变量分解成两部分因素，一部分是由所有变量共 同具有的少数几个公共因子组成的，另一部分是每个 变量独自具有的因素，即特殊因子

☆3、因子分析的目的: 因子分析的目的之一:简化变量维数。即要使因素结 构简单 饭最少的共同因素 对总查异量作最大的解释国同拇取得国字愈少愈好 但抽取因子的累积解释的变异量愈大愈好。 丢每g公粪搜:子 先抽取特征值最 抽取公共茵子的 特征值最小通常会接近0 2021/1/21

2021/1/21 4 cxt ❖ 3、因子分析的目的： ⚫ 因子分析的目的之一，简化变量维数。即要使因素结 构简单化，希望以最少的共同因素（公共因子），能 对总变异量作最大的解释，因而抽取得因子愈少愈好， 但抽取因子的累积解释的变异量愈大愈好。 ⚫ 在因子分析的公共因子抽取中，应最先抽取特征值最 大的公共因子，其次是次大者，最后抽取公共因子的 特征值最小 通常会接近0

令例:在企业形象或品牌形象的研究中,消费者可以通过一个有 24个指标构成的评价体系,评价百货商场的24个方面的优劣。 ◆但消费者主要关心的是三个方面,即商店的环境、商店的服务 和商品的价格。因子分析方法可以通过24个变量,找出反映商 店环境、商店服务水平和商品价格的三个潜在的因子,对商店 进行综合评价。而这三个公共因子可以表示为: =1+anF1+a2F2+a3F3+E1 令称h2是不可观测的潜在因子称为公共因子。24个变量共 享这三个因子,但是每个变量又有自己的个性,不被包含的部 分,称为特殊因子。 2021/1/21 cXt

2021/1/21 5 cxt ❖ 例：在企业形象或品牌形象的研究中，消费者可以通过一个有 24个指标构成的评价体系，评价百货商场的24个方面的优劣。 ❖ 但消费者主要关心的是三个方面，即商店的环境、商店的服务 和商品的价格。因子分析方法可以通过24个变量，找出反映商 店环境、商店服务水平和商品价格的三个潜在的因子，对商店 进行综合评价。而这三个公共因子可以表示为： ❖ 称 是不可观测的潜在因子,称为公共因子。24个变量共 享这三个因子，但是每个变量又有自己的个性，不被包含的部 分 ，称为特殊因子。 i i i F i F i F i x =  + + + +  1 1 2 2 3 3 F1、F2、F3 i 

◆4、主成分分析分析与因子分析的联系和差异: 联系:(1)因子分析是主成分分析的推广,是主成分分析的逆问题。 (2)二者都是以降维′为目的,都是从协方差矩阵或相关系数矩阵 出发。 区别:(1)主成分分析模型是原始变量的线性组合,是将原始变量加 以综合、归纳,仅仅是变量变换;而因子分析是将原始变量加以分解 描述原始变量协方差矩阵结构的模型;只有当提取的公因子个数等于 原始变量个数时,因子分析才对应变量变换。(2)主成分分析,中每 个主成分对应的系数是唯一确定的;因子分析中每个因子的相应系数 即因子载荷不是唯一的。(3)因子分析中因子载荷的不唯一性有利于 对公因子进行有效解释;而主成分分析对提取的主成分的解释能力有 限。 2021/1/21

2021/1/21 6 cxt ❖ 4、主成分分析分析与因子分析的联系和差异： 联系：（1）因子分析是主成分分析的推广，是主成分分析的逆问题。 （2）二者都是以‘降维’为目的，都是从协方差矩阵或相关系数矩阵 出发。 区别：（1）主成分分析模型是原始变量的线性组合，是将原始变量加 以综合、归纳，仅仅是变量变换；而因子分析是将原始变量加以分解， 描述原始变量协方差矩阵结构的模型；只有当提取的公因子个数等于 原始变量个数时，因子分析才对应变量变换。（2）主成分分析，中每 个主成分对应的系数是唯一确定的；因子分析中每个因子的相应系数 即因子载荷不是唯一的。（3）因子分析中因子载荷的不唯一性有利于 对公因子进行有效解释；而主成分分析对提取的主成分的解释能力有 限

◆5、因子分析模型: 设X(i=1,2,个孪量,如果表示为 X1=4+anF1+…+anFn+6;(m≤p) X 12 lp F 或 +/=21c 22 2 或X-p=AF+E 2021/1/21 cXt

2021/1/21 7 cxt ❖ 5、因子分析模型： 设 Xi (i =1,2,  个变量 , p) p ，如果表示为 X a F a F i i i im m i = + + + +   1 1 (m  p) 1 1 11 12 1 1 1 2 2 21 22 2 2 2 1 2 m m p p p p pm p m X F X F X F                                            = + +                                 或 或X − = + μ AF 

称为F,F2,…公因子,是不可观测的变量,他们 的系数称为因子载荷。是特殊因子,是不能被前m个 公共因子包含的部分。其中: (1)cov(F,)=0,F,E相互独立即不相关; (2) D(F)= 即F,F2不相关,方差为1。 2021/1/21

2021/1/21 8 cxt （1） （2） 称为 公共因子，是不可观测的变量，他们 的系数称为因子载荷。 是特殊因子，是不能被前m个 公共因子包含的部分。其中： F F F m , , , 1 2  i  cov( , ) 0, F  = F, 相互独立即不相关； D F = I             = 1 1 1 ( )  F F F m , , , 即 1 2  互不相关，方差为1

(3) D(E)= P 即互不相关,方差不一定相等n~N(0,a) 满足以上条件的,称为正交因子模型 如果(2)不成立,即DF公共因子之间不独立, 则因子分析模型为斜交因子模型 2021/1/21 cXt

2021/1/21 9 cxt （3）             = 2 2 2 2 1 ( ) p D      即互不相关，方差不一定相等， 。 满足以上条件的，称为正交因子模型． 如果（２）不成立，即 各公共因子之间不独立， 则因子分析模型为斜交因子模型． ~ (0, ) 2 i N  i  D(F)  I

因子分析案例 公因子F1公因子共同度特殊因子 6 x1-代数10.8960.3410.9190081 x=代数20.802049608890111 x3=几何05160.855 0.997 0.003 x4=三角0841044409040096 x5-解析几何083304340:8820118 特征值G31131479 4959 0409 方差贡献率62262958%9185% (变异量) F1体现逻辑思维和运算能力,F体现空间思维和推理能力

2021/1/21 10 cxt 公因子F1 公因子 F2 共同度 hi 特殊因子 δi x1=代数1 0.896 0.341 0.919 0.081 x2=代数2 0.802 0.496 0.889 0.111 x3=几何 0.516 0.855 0.997 0.003 x4=三角 0.841 0.444 0.904 0.096 x5=解析几何 0.833 0.434 0.882 0.118 特征值 G 3.113 1.479 4.959 0.409 方差贡献率 （变异量） 62.26 % 29.58% 91.85% 因子分析案例 F1 体现逻辑思维和运算能力，F2 体现空间思维和推理能力