第四节 有理函数的积分一、 有理函数的积分二、三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分四、小结
第四节 有理函数的积分 • 一、有理函数的积分 • 二、三角函数有理式的积分 • 三、简单无理函数的积分 • 四、小 结
一、有理函数的积分有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数P(x)_ ax" +axn-1 +...+an-ix+anQ(x) bx" +b,xm-1 +...+bm-x+b,1其中m、n均为非负整数；a,aj,,a,及bo,b,…,bm均为实数，并且a,≠0，b≠0
有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 ( ) ( ) , , , , , , 0 0. n n n n m m m m n m P x a x a x a x a Q x b x b x b x b m n a a a b b b a b − − − − + + + + = + + + + 其中 、 均为非负整数； 及 均为实数，并且 ， 一、有理函数的积分
假定分子与分母之间没有公因式(1)n<m，这有理函数是真分式(2）n≥m,这有理函数是假分式;利用多项式除法，假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和x3 +x+1例=x+x+1x? +1难点：将有理函数化为部分分式之和
假定分子与分母之间没有公因式 (1) , n m 这有理函数是真分式； (2) , n m 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 例 3 2 1 1 x x x + + + 2 1 . 1 x x = + + 难点: 将有理函数化为部分分式之和
根据多项式理论，任一多项式Q(x)在实数范围内能分解为一次因式和二次质因式的乘积，即Q(x)= b,(x-a)~ ...(x-b)β(x2 + px+g) ...(x? + rx+ s)其中 p2-4g<0,.…,r2-4s<0
0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q x b x a x b x px q x rx s = − − + + + + 根据多项式理论，任一多项式 Q x( ) 在实数范围内能分解为一次因式和二次质因式的 乘积，即 2 2 其中 4 0, , 4 0 p q r s − −
P(x)如果 Q(x)分解为上式，则式可分解为Q(x)AAAP(x)Q(x-a)a-1(x-a)αQ(x)(x-a)BBB2B+(x-b)B-1(x-b)B(x-b)M,x+N,Mx+NM,x+N,(x* + px + a)a-1(x2 + px + q)(x2 + px+q)R.x+sRx+sRx+s,+(x? + rx+ s)u-1(x+rx+s)u(x2 +rx+s)
1 2 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P x A A A Q x x a x a x a B B B x b x b x b − − = + + + − − − + + + + − − − 如果 分解为上式，则式 可分解为 ( ) ( ) P x Q x Q x( ) 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M x N M x N M x N x px q x px q x px q R x S R x S R x S x rx s x rx s x rx s − − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
有理函数化为部分分式之和的一般规律Q(x) = b,(x -a)~ ...(x -b)B(x? + px+g)~ ...(x? +rx+s)(1）分母中若有因式(x-a)，则分解后为A2A,+(x-a)a-i(x-a)~x-a其中A,A,…,A,是常数A当α=1时,分解为x-a
（1）分母中若有因式 ( ) x a − ，则分解后为 1 2 1 , ( ) ( ) A A Ak x a x a x a − + + + − − − 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 1 , ; A x a = − 当 时 分解为 1 2 , , , . 其中A A Ak是常数 0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q x b x a x b x px q x rx s = − − + + + +
Q(x) = b,(x -a)~ ...(x -b)β(x? + px+g)~ ...(x? +rx+ s)(2）分母中若有因式(x2+px+g)，其中p2-4q<0 则分解后为M,x+N,Mx+NM,x+ N,(x* + px+g)a- +(x + px +q)x*+ px+q其中M,N,是常数(i=1,2,…,2)Mx+ N特殊地：入=1，分解后为x? + px+q
（2）分母中若有因式 ，其中 2 ( ) x px q + + 则分解后为 2 p q − 4 0 1 1 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) M x N M x N M x N x px q x px q x px q − + + + + + + + + + + + + 特殊地： λ = 1, 分解后为 2 ; Mx N x px q + + + , ( 1,2, , ). M N i i i 其中 是常数 = λ 0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q x b x a x b x px q x rx s = − − + + + +
真分式化为部分分式之和的待定系数法x+3Bx+3A例1x-5x+6(x-2)(x -3)x-3x-2x+3 = A(x-3)+B(x-2)x+3=(A+B)x-(3A+2B)A+B=1,A=-5UB=6-(3A + 2B) = 3,6-5x+3+x2 -5x+6x-3x-2
真分式化为部分分式之和的待定系数法 2 3 5 6 x x x + − + 3 ( 2)( 3) x x x + = − − , 2 3 A B x x = + − − x A x B x + = − + − 3 ( 3) ( 2), + = + − + x A B x A B 3 ( ) (3 2 ), 1, (3 2 ) 3, A B A B + = − + = 5 , 6 A B = − = 2 3 5 6 x x x + − + 5 6 . x x 2 3 − = + − − 例1
说明：将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：Mx + NA(3)(2)(1)多项式;(x + px +q)"(x-a)"Mx+ Ndx,讨论积分9)"(x2 + px +2Pp: x2+ px+q=x++q2-P-2令x+
说明: 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况： (1) 多项式； (2) ; ( )n A x a − 2 (3) ; ( )n Mx N x px q + + + 讨论积分 2 , ( )n Mx N dx x px q + + + 2 2 2 , 2 4 p p x px q x q + + = + + − 令 t p x + = 2
记 x2+px+q=t2+a’，Mx + N = Mt + b.Mpp则 α2=-b=N24Mx + Ndx(x? + px + q)bMtdtdt +2+a")"(t?+a')"(t
2 2 , 4p a q = − , 2 Mp 则 b N = − 2 ( ) n Mx N dx x px q + + + 2 2 ( ) n Mt dt t a = + 2 2 ( ) n b dt t a + + , 2 2 2 记 x + px + q = t + a Mx + N = Mt + b