5.2微积分基本公式变上限积分函数0102微积分基本公式
01 变上限积分函数 02 微积分基本公式 1 5.2 微积分基本公式
O7x?dx.利用定积分的定义计算i解将[0,1]n.rx:等分，分点为ni小区间[xn,x,|的长度x;(i1,2,口,n)n取x,，(i1,2,,n)f)x-0x.illi0inF1n11n(n1(2n1)s6nn1i1il0n
2 解
O问题引入变速直线运动中位置函数与速度函数的关系设某物体作直线运动，已知速度u=v(t)是[T1,T2]上t的一个连续函数，且v(t)≥0，s=s(t)是位置函数，求物体在这段时间内所经过的路程T2v(t)dt变速直线运动中路程为JT1-另一方面这段路程可表示为其中 =(v(t)dt = s(T2) - s(T1)=(中一般的，设f(x)在[a, b]连续,且bf(x)dx ?F(b) - F(a).0
问题引入 3 变速直线运动中位置函数与速度函数的关系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 ᵰ(ᵰ2 ) − ᵰ(ᵰ1 ) ᵰ′(ᵰ) =ᵰ(ᵰ). 其中 ᵰ′(ᵰ) = ᵰ(ᵰ). 一般的，设f(x)在[a,b]连续， 且
COAA一、积分变限函数及其导数设函数在区间[止连续，并且设为[止的一点，在区间[考察定积分f(t)dtf(x)dx如果上限在区间[止任意变动，则对于每一个取定的值，定积分有一个对应值，所以它在[定义了一个函数积分上限函数记Φ(x) =f(t)dt
一、积分变限函数及其导数 4 积分上限函数 设函数ᵰ(ᵰ)在区间[ᵰ,]上连续，并且设ᵰ为[ᵰ,]上的一点，在区间[ᵰ,]考察定积分 如果上限 ᵰ在区间[ᵰ,]上任意变动，则对于每一个取定的ᵰ值，定积分有一个对 应值，所以它在[ᵰ,]定义了一个函数
OOA积分变限函数求导定理设函数f(x)在区间[a,bl上连续，则积分上限函数XΦ(x) =f(t)dt在区间[α,bl上可导，并且它得导数为XdΦ'(x) =f(t)dt = f(x)(a≤x≤b)dx0yt若压（般的增量证且中压（测-x+△x口(x)f(t)dtΦ(x +△x) =Jaaolxxxbx-
积分变限函数求导 5 若ᵰ∈ (ᵰ,),设ᵰ的增量 ᵰ,且ᵰ+ ᵰ∈ (ᵰ,),则 定理 证
O0积分变限函数求导cx+xrx0f(t)dt -f(t)dt2aJacx+xrxxf(t)dt +f(t)dtf(t)dt -xaCcx+Axf(t)dtx由积分中值定理得E介于与口之间，AΦ=f(),△x中0,中口如=(
6 由积分中值定理得 ᵰᵰ= ᵰ(ᵰ)ᵰ ᵰ介于ᵰ与ᵰ+ ᵰ之间, ᵰ→0, ᵰ→ᵰ ∴ ᵰ′(ᵰ) = ᵰ(ᵰ). ᵰᵰ= ᵰ(ᵰ+ ᵰ) − ᵰ(ᵰ) 积分变限函数求导
A若x=α,取△x>0，则同理可证Φ+(α)=f(a）;若x=b,取△x<0，则同理可证Φ_(b)=f(b)定理2（原函数存在定理）设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数Φ(x) =f(t)dt就是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系
7 定理2（原函数存在定理） 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系
K求下列函数的导数(1) J tf(t)dt(3) J(x - t)f(t)dt(2) Jxf(t)dt8
8 例 1
O?积分变限函数求导公式f(t)dtf(x)cb(x)f(t)dt= f(b(x))b'(x)Q6f(t)dt= -f(a(x))a'(x)Ja(x)-b(x)f(t)dt= f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x)Ja(x)
9 积分变限函数求导公式
0OA7e-t?dtcosxlim例r2x-→00分析：这是型不定式，应用洛必达法则0rcosx1dde-t'dt,e-t2o解dtdxJidxcosx- =sinx·e-cos?x= -e- cos2 x . (cos x)"sin x e-cos?xdt1cosx.. lim= limr22xx-02ex→01
10 分析：这是型不定式，应用洛必达法则. 例 2 解