《抗震设计》课程PPT教学课件（讲稿）第三章 地震作用和结构抗震验算——计算水平地震作用的振型分解反应谱法

五、计算水平地震作用的振型分解反应谱法 作用于i质点上的力有 m 惯性力1=m1(x+x2) mi o 弹性恢复力S1=k1x1+k2x2+…knxn m2② 阻尼力R=c1+c12x2+…cnn mI o 运动方程m+∑+∑x=-mx -m, (,+xg) S() R() m](3}+[l]}+k]x}=-m]少F()

五、计算水平地震作用的振型分解反应谱法 i =1,2, N 作用于i质点上的力有 m1 m2 mi mN xi xg(t) mi ( ) i i g − m  x  +  x  S (t) i R (t) i 惯性力 Ii = mi ( x  i +  x  g） 弹性恢复力 i i i in n S = k x + k x +k x 1 1 2 2 阻尼力 i i i in n R = c x  + c x  +c x  1 1 2 2 运动方程 i i g n j i j n j i i i j i m x +c x +k x = −m x =1 =1 mx cx kx mIx (t) g  +  + = − 

m]}+(]1x}+[k1x}=[m](F( 设{x0)2=∑x)D(o 代入运动方程,得 m∑{X)b,()+E∑{xD()+区k]∑{xD()=-[m1() 方程两端左乘{Xy XH[mk∑{xB()+{Xc∑{X,D(r)+ +KiIR), D())=r, mkg(t) {X[m]{X}D()+{Xxy[elx,D()+{xy[k]x}D() Xy[m]{2(t)

设     = = N i i i x t X D t 1 ( ) ( )  (   ( ))     ( )  (   ( ))    ( ) 1 1 1 m X D t c X D t k X D t m I x t g N i i i N i i i N i i i    +   +  = − = = =                (   ( ))      ( ) ( ( )) ( ( )) 1 1 1 X k X D t X m I x t X m X D t X c X D t g T j N i i i T j N i i i T j N i i i T j    + = − + +    = = =                     ( ) ( ) ( ) ( ) X m I x t X m X D t X c X D t X k X D t g T j j j T j j j T j j j T j    = − + + = 代入运动方程，得 方程两端左乘   T X j mx cx kx mIx (t) g  +  + = − 

LrrImlr, D(t)+rMcKx, D()+XkKX,D,(t) Xy[m]{2(r) MD()+CD+KD()=一{XH四m]{() M={XHm{x-振型广义质量 K={XH[k]xb-振型广义刚度 ={X[c{x}--振型广义阻尼系数 D,()+D D,(t) M M M Ki=OM C=250, M D()+25a,D1+o2D,()= WLMK LrMLMKY

( ) ( )      ( ) * * * M D t C D K D t X m I x t g T j j j j j j j   +  + = − * 2 * Kj = j M j * * Cj = 2 j  j M j           ( ) 2 ( ) ( ) 2 x t X M X X M I D t D D t g j T j T j j j j j j j    − +   + =                     ( ) ( ) ( ) ( ) X m I x t X m X D t X c X D t X k X D t g T j j j T j j j T j j j T j    = − + + =     j T M j = X j m X * ---j振型广义质量 ---j振型广义阻尼系数     j T Kj = X j k X *     j T Cj = X j c X * ---j振型广义刚度      ( ) ( ) ( ) * * * * * x t M X M I D t M K D M C D t g j T j j j j j j j j    − + + =

D()+25,D1+2D() LrYIMI rLMKr s(t) ∑mxn y LXMLMKX) j振型的振型参与系数 D()+25D+o2D()=-yx2(t) x()}=∑{X,D(t) x()=∑xD(t)

          ( ) 2 ( ) ( ) 2 x t X M X X M I D t D D t g j T j T j j j j j j j    − +   + =             = = = = n i i j i n i i j i j T j T j j m x m x X M X X M I 1 2 1  ---j振型的振型参与系数 ( ) 2 ( ) ( ) 2 D t D D t x t j j j j j j j g    +   + = −     = = N i i i x t X D t 1 ( ) ( ) = = N j i ji j x t x D t 1 ( ) ( )

D(t)+250,D+oD()=-yxg(t) x() 对于单自由度体系 x+25o+02x=-x、( o,Jx()e-sot- sin @a(t-t)dr 对于振型折算体系(右图) o.xg(t) so (, (t-t)dr D(1)= n=g(ee s o (r-n sin o, TdT x2() y,△,(t) j=1,2,…N

( ) 2 ( ) ( ) 2 D t D D t x t j j j j j j j g    +   + = − x(t) x (t) g m 2 ( ) 2 x x x x t g  +   + = −  = − − − − t t x t x e t 0 d ( ) g d ( ) sin ( )d 1 ( )          = − − − − t j t j D t x e t j j 0 j ( ) g j ( ) ( ) sin  (  )d       (t) = j  j    = − − − − t t j t x e t j j 0 j ( ) g j ( ) sin ( )d 1 ( )          (t)  j x (t) g * M j j   j 对于单自由度体系 对于j振型折算体系（右图） j =1,2, N

质点相对于基础的位移与加速度为 ()=∑x,D() ∑ (1) i质点t时刻的水平地震作用为 F(t)=m[(t)+x8(t) ∑[xmyA()+yx2( F(t)=m,,A, (t)+xr x(t) t时刻第j振型i质点的水平地震作用

i质点相对于基础的位移与加速度为 = =  N j ji j j x t 1  ( ) = =  N j i ji j j x t x t 1 ( ) ( )    i质点t时刻的水平地震作用为 F (t) m [x (t) x (t)] i i i g =  +  [ ( ) ( )] 1 m x t x x t j j i g N j i j i j j   =    + = ( ) ( ) ( ) 1 1 x t x x t x x t j ji g n j g j ji g n j    = = =   = =   = = N j ji F t 1 ( ) = = N j i ji j x t x D t 1 ( ) ( ) F (t) m [x (t) x x (t)] ji i ji j j ji j g   =   +  ---t时刻第j振型i质点的水平地震作用

F(t)=myA, (t)+xiyi(t) t时刻第j振型i质点的水平地震作用 Imax ()+x。() 体系振型i质点水平地震作用标准值 对于单自由度体系 F=lF(m =mi(0+ig()=aG F=xy,G 体系振型质点水平地震作用标准值计算公式

max max F F (t) m x (t) x (t) j i j i i j i j j g  = =   + ---体系j振型i质点水平地震作用标准值 ji j ji j Gj F = x  ---体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式 F (t) m [x (t) x x (t)] ji i ji j j ji j g   =   +  ---t时刻第j振型i质点的水平地震作用 F = F t = m x t + xg t =G max max ( ) ( )  ( ) 对于单自由度体系

Fii=a xi 体系j振型质点水平地震作用标准值计算公式 相应于j振型自振周期的地震影响系数; j振型i质点的水平相对位移; 般只取2-3个振型, j振型的振型参与系数; 当基本自振周期大于1.5s 或房屋高宽比大于5时 i质点的重力荷载代表值 振型个数可适当增加。 地震作用效应 m (弯矩、位移等) m-选取振型数 1振型地震2振型j振型n振型 S-振型地震作用 作用标准值 产生的地震效应;

 j ---相应于j振型自振周期的地震影响系数； ji x --- j振型i质点的水平相对位移； j  --- j振型的振型参与系数； Gi --- i质点的重力荷载代表值。 m1 m2 mi F11 F12 F1i F1n F21 F22 F2i F2n Fj1 Fj 2 Fji Fjn Fn1 Fn2 Fni Fnn 1振型地震 作用标准值 2振型 j振型 n振型 地震作用效应 （弯矩、位移等） = = m j SEK S j 1 2 j S --j振型地震作用 产生的地震效应； m --选取振型数 ji j ji j Gj F = x  ---体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式 一般只取2-3个振型， 当基本自振周期大于1.5s 或房屋高宽比大于5时， 振型个数可适当增加

例:试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度,Ⅱ类场地,设计地震分组为第二组 解:(1)求体系的自振周期和振型 m2=1801K1=98MNm 0.334 0.667 4.019 {xh={0667{x2=1-066x2=1-3035 m2=270k,=195MNm 000 000 000 m1=2701K1=245MN/m T1=0.467sT2=0.208sT3=0.134s (2)计算各振型的地震影响系数地震影响系数最大值(阻尼比为0.05) 查表得amx=0.16 烈度 地震影响 6 7 8 9 0.4 多遇地震0.040.08(0.12)|0.6024)0.32 罕遇地震 0.50(0.72)0.90(120)140 地震特征周期分组的特征周期值(s) 场地类别 Ⅲ ⅣV 第一组025 0.35 0.45 0.65 第二组0.30 0.40 0.55 0.75 第三组0350.45 0.65 0.90

例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。 m 270t 1 = m 270t 2 = m 180t 3 = K1 = 245MN/m K2 =195MN/m K3 = 98MN/m 解：（1）求体系的自振周期和振型             = 1.000 0.667 0.334 X 1             − − = 1.000 0.666 0.667 X 2             = − 1.000 3.035 4.019 X 3 0.467s T1 = 0.208s T2 = 0.134s T3 = （2）计算各振型的地震影响系数 罕遇地震 ----- 0.50(0.72) 0.90(1.20) 1.40 多遇地震 0.04 0.08(0.12) 0.16(0.24) 0.32 6 7 8 9 地震影响 烈度 地震影响系数最大值（阻尼比为0.05） 查表得  max = 0.16 地震特征周期分组的特征周期值（s） 第三组 0.35 0.45 0.65 0.90 第二组 0.30 0.40 0.55 0.75 第一组 0.25 0.35 0.45 0.65 场地类别 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ = 0.4s Tg

例:试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度,Ⅱ类场地,设计地震分组为第二组 解:(1)求体系的自振周期和振型 m2=1801K1=98MNm 0.334 0.667 4.019 {xh={0667{x2=1-066x2=1-3035 K,=195MN/m 000 000 000 m1=2701K1=245MN/m T1=0.467sT2=0.208sT3=0.134s (2)计算各振型的地震影响系 查表得amx=0.16 na T=0.4 a=(rn,a 第一振型<71<5 0450 )n2 0.139 max a=h02-(7-5]m 第二振型0.ls<2<Tg T(3) 00.17 60 C2=m21 =0.16 max 0.05 第三振型0.ls<73<T y=09+005 0.5+55 72 7 0.16 0.06+1.75

T(s) 0 0.1 g T g 5T 6.0  2 maxmax 0.45 2 max  ( )    T Tg = 2 1 max  [ 0.2  ( 5 )]  g = − T − T 例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。 m 270t 1 = m 270t 2 = m 180t 3 = K1 = 245MN/m K2 =195MN/m K3 = 98MN/m 解：（1）求体系的自振周期和振型             = 1.000 0.667 0.334 X 1             − − = 1.000 0.666 0.667 X 2             = − 1.000 3.035 4.019 X 3 0.467s T1 = 0.208s T2 = 0.134s T3 = （2）计算各振型的地震影响系数 查表得  max = 0.16 = 0.4s Tg 第一振型 Tg  T1  5Tg 1 2 max  ( )    T Tg = = 0.139 第二振型  T2  Tg 0.1s 2 =2  max = 0.16 第三振型  T3  Tg 0.1s 3 =2  max = 0.16    0.5 5 0.05 0.9 + − = +    0.06 1.7 0.05 1 2 + − = +