《电磁场》课程教学资源（知识点）6-时变电磁场

教学基本要求电磁感应定律揭示了随时间变化的磁场产生电场这一重要的概念，应深刻理解电磁感应定律的意义，掌握感应电动势的计算。位移电流揭示了随时间变化的电场产生磁场这一重要的概念，应理解位移电流的概念。麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律，是分析、求解电磁场问题的基本方程。必须牢固掌握麦克斯韦方程组的微分形式和积分形式，深刻理解其物理意义。电磁场的边界条件是麦克斯韦方程组在不同媒质分界面是的表现形式，它在求解电磁场边值问题中起定解作用，应正确理解和使用边界条件。坡印廷定理是电磁场的能量转换与守恒定律，应深刻理解其物理意义。坡印廷量描述了电磁能量的传输，是电磁场中的一个重要概念，必须深刻理解其物理意义并应用它分析计算电磁能量的传输。掌握电磁场的波动方程，理解动态矢量位和标量位的概念以及其满足的微分方程。知识脉络般形式电磁感应定律麦积分形式边界条件理想介质克时斯位移电流变理想导体韦电方磁高斯定理坡印廷定理与坡印廷矢量程场微分形式波动方程组磁通连续性动态失量位和标量位重点、难点讨论1.麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象普通规律的数学表达式，是电磁理论的核心和体质注解电磁场问题的基础，因此是教学中的重点。在本章的教学过程中，应在已建立的静态场概念的基础上，把握住由于场源是时间的函数而引出的新概念和特定的物理现象。两个重要的新概念是：其一，随时间变化的磁场要产

教学基本要求 电磁感应定律揭示了随时间变化的磁场产生电场这一重要的概念，应深刻理解电磁感应 定律的意义，掌握感应电动势的计算。 位移电流揭示了随时间变化的电场产生磁场这一重要的概念，应理解位移电流的概念。 麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律，是分析、求解电磁场问题的基本方程。 必须牢固掌握麦克斯韦方程组的微分形式和积分形式，深刻理解其物理意义。 电磁场的边界条件是麦克斯韦方程组在不同媒质分界面是的表现形式，它在求解电磁场 边值问题中起定解作用，应正确理解和使用边界条件。 坡印廷定理是电磁场的能量转换与守恒定律，应深刻理解其物理意义。坡印廷矢量描述 了电磁能量的传输，是电磁场中的一个重要概念，必须深刻理解其物理意义并应用它分析计 算电磁能量的传输。 掌握电磁场的波动方程，理解动态矢量位和标量位的概念以及其满足的微分方程。 知识脉络 重点、难点讨论 1．麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象普通规律的数学表达式，是电磁理论的核心和体质 注解电磁场问题的基础，因此是教学中的重点。 在本章的教学过程中，应在已建立的静态场概念的基础上，把握住由于场源是时间的函 数而引出的新概念和特定的物理现象。两个重要的新概念是：其一，随时间变化的磁场要产 电磁感应定律 时 变 电 磁 场 位移电流 高斯定理 磁通连续性 麦 克 斯 韦 方 程 组 积分形式 微分形式 边界条件 坡印廷定理与坡印廷矢量 波动方程 动态矢量位和标量位 一般形式 理想介质 理想导体

生电场。这一新概念是麦克斯韦把法拉第的实验研究结果推广到任意回路后得到的。其二，随时间变化的电场要产生磁场。这是麦克斯韦提出位移电流的麦克斯韦提出位移电流的假说，修正了安培环路定律而得到的。2．时变场的边界条件在不同媒质的分界面上，媒质的电磁参数、U、发生突变，因而分界面处的场矢量E、H、D、B也会突变，麦克斯韦方程组的微分形式失去意义。此时，有限空间中场量之间的关系是由积分形式的麦克斯韦方程组制约的，边界条件就由它导出。时变场的边界条件包括四个关系式。可以证明它们并不是相互独立的，当满足两个切向分量的边界条件的，必定满足两个法向分量的边界条件。搞清楚这一点，有助于我们正确应用边界条件来处理定解问题。例如在理想介质的分界面上，用于定解的边界条件为nx(H,-H,)=0和nx(E,-E,)=0，分析电磁波在理想介质分界面上的反射和透射时就要使用这个边界条件。又如在理想介质与理想导体的分界面上，用于定解的边界条件为nxE=0。分析电磁波在理想导体表面上的反射时就要使用这个边界条件。3.坡印廷矢量引入坡印廷矢量有助于分析电磁能的传输和转换。S=E×H表明坡印廷量S既是空间坐标的函数，又是时间的函数；S的方向总是与该点处的E、H垂直，E、H、S三者构成右手螺旋关系：S的方向表明该点电磁能量流动的方向，S的值等于穿过与它垂直的单位面积上的电磁功率。因此，坡印廷失量的空间分布形象地描绘出电磁能量流动的情况。4．时变场中的位函数引入时变场的位函数是为了简化电磁场问题的计算，特别是对有源问题的计算。根据麦"V.E=-B引入矢量位A和标量位9，使得克斯韦方程V·B=0和atB=VxAE--A-V0at利用位函数的不确定性，通过规范A和β的条件，使它们满足的方程更进一步简化。通常采用洛伦兹条件apV.A=-sat从而导出式（6.7.4）表示的达朗贝尔方程

生电场。这一新概念是麦克斯韦把法拉第的实验研究结果推广到任意回路后得到的。其二， 随时间变化的电场要产生磁场。这是麦克斯韦提出位移电流的麦克斯韦提出位移电流的假 说，修正了安培环路定律而得到的。 2．时变场的边界条件 在不同媒质的分界面上，媒质的电磁参数  、 、 发生突变，因而分界面处的场矢量 E、H、D、B 也会突变，麦克斯韦方程组的微分形式失去意义。此时，有限空间中场量之间 的关系是由积分形式的麦克斯韦方程组制约的，边界条件就由它导出。 时变场的边界条件包括四个关系式。可以证明它们并不是相互独立的，当满足两个切向 分量的边界条件的，必定满足两个法向分量的边界条件。搞清楚这一点，有助于我们正确应 用边界条件来处理定解问题。例如在理想介质的分界面上，用于定解的边界条件为 1 2 n H H  − = ( ) 0 1 2 和n E E  − = ( ) 0 ，分析电磁波在理想介质分界面上的反射和透射 时就要使用这个边界条件。又如在理想介质与理想导体的分界面上，用于定解的边界条件为 n E =  0 。分析电磁波在理想导体表面上的反射时就要使用这个边界条件。 3．坡印廷矢量 引入坡印廷矢量有助于分析电磁能的传输和转换。 S E H =  表明坡印廷矢量 S 既是 空间坐标的函数，又是时间的函数；S 的方向总是与该点处的 E、H 垂直，E、H、S 三者构成 右手螺旋关系；S 的方向表明该点电磁能量流动的方向，S 的值等于穿过与它垂直的单位面 积上的电磁功率。因此，坡印廷矢量的空间分布形象地描绘出电磁能量流动的情况。 4．时变场中的位函数 引入时变场的位函数是为了简化电磁场问题的计算，特别是对有源问题的计算。根据麦 克斯韦方程  = B 0 和 B E t    = −  引入矢量位 A 和标量位  ，使得 B =  t   = − −   A E 利用位函数的不确定性，通过规范 A 和  的条件，使它们满足的方程更进一步简化。 通常采用洛伦兹条件 t     = −  A 从而导出式（6.7.4）表示的达朗贝尔方程

从洛伦兹条件下导出的达朗贝尔方程可看出，尽管电流J和电荷P是相互联系的，但矢量位A只决定于J，标量位只决定于P，这对求解方程特别有利。只需解出A，而无需解出?，就可得到待求的电场和磁场。基本内容概述6.1电磁感应定律电磁感应现象：当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中就会出现感应电流，即回路中存在感应电动势。1.法拉弟电磁感应定律当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中的感应电动势e等于穿过此回路的磁通量?的时间变化率的负值，即dye=-s(6. 1. 1)dt式中负号表示回路中感应电动势的作用总是要要阻止回路中磁通量的改变。[,Bods、=d,Edl，则有由于=-d(B.dsO_E-dl =--(6.1.2)dtJs2.引起回路中磁通变化的三种情况（1）回路静止（既无移动又无形变），磁场随时间变化[,B-dS =aBC-.dsJsatdtJs于是得到aB-odsJsat(6.1.3)应用斯托克斯定理，可得aBVxE=-Sat(6.1.4)这就是法拉第电磁感应定律的微分形式。它揭示了随时间变化的磁场产生电场这一重要的概念，是电磁场的基本方程之一。（2）磁场不随时间变化，导体回路C以速度v运动

从洛伦兹条件下导出的达朗贝尔方程可看出，尽管电流 J 和电荷  是相互联系的，但 矢量位 A 只决定于 J，标量位  只决定于  ，这对求解方程特别有利。只需解出 A，而无需 解出  ，就可得到待求的电场和磁场。 基本内容概述 6.1 电磁感应定律 电磁感应现象：当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中就会出现感应电流，即回 路中存在感应电动势。 1．法拉弟电磁感应定律 当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中的感应电动势 e 等于穿过此回路的磁通量  的时间变化率的负值，即 d e dt  = − （6.1.1） 式中负号表示回路中感应电动势的作用总是要要阻止回路中磁通量的改变。 由于 d S  =  B S 、 d C =  E l ，则有 d C E l d d d S t = −  B S （6.1.2） 2．引起回路中磁通变化的三种情况 （1）回路静止（既无移动又无形变），磁场随时间变化 d d d d S S t t  =    B B S S 于是得到 d d C S t  = −    B E l S （6.1.3） 应用斯托克斯定理，可得 t    = −  B E （6.1.4） 这就是法拉第电磁感应定律的微分形式。它揭示了随时间变化的磁场产生电场这一重要 的概念，是电磁场的基本方程之一。 （2）磁场不随时间变化，导体回路 C 以速度 v 运动

d =d, B-(vxdl)dt=-f (vxB)-dldt于是,E-dl =-J,B-dS= f,(vxB)dldtJs(6.1.5)或E=VxB(6.16)（3）磁场随时间变化，导体回路C以速度v运动，则1.B.ds+9(v× B) dl.E.dl =-(6.1.7)Jsat6.2位移电流1.问题的提出P+0op+0V.J=;而由V×H=J,有VJ=V-(V×H)=0在时变情况下atat，则这表明恒定磁场的安培环路定理不能用于时变场。2.安培环路定理的修正、位移电流apaDV.J=-.由于VD=P，则有atat，于是得到aD)=0V.(J +at令aDJa=(6.2.1)at并在V×H=J的右端加一修正项Jd，则得到aDVxH=J+$(6.2.2)at这就是时变场中推广的安培环路定理，称为又全电流定律。它包含了随时间变化的电场能够产生磁场这样一个重要概念，也是电磁场的基本方程之一aDJa=是电位移矢量D对时间的变化率，具有电流密度的量纲，称为位移电流密度。at6.3麦克斯韦方程组1.麦克斯韦方程组的微分形式

d d d d d ( ) ( ) C C  =  = −  t t   B v l v B l 于是 ( ) d d d d C S C dt = − =     E l B S v B l （6.1.5） 或 E v B =  （6.16） （3）磁场随时间变化，导体回路 C 以速度 v 运动，则 ( ) C S C B E dl dS v B dl t   = −  +       （6.1.7） 6.2 位移电流 1．问题的提出 在时变情况下  0   t  ，则 0 t   = −   J ；而由  = H J ，有  =   = J H ( ) 0 ； 这表明恒定磁场的安培环路定理不能用于时变场。 2．安培环路定理的修正、位移电流 由于  = D  ，则有 ( ) t t     = − = −   D J ，于是得到 ( ) 0 t   + =  D J 令 d t  =  D J （6.2.1） 并在  = H J 的右端加一修正项 d J ，则得到 t    = +  D H J （6.2.2） 这就是时变场中推广的安培环路定理，称为又全电流定律。它包含了随时间变化的电场 能够产生磁场这样一个重要概念，也是电磁场的基本方程之一。 d t  =  D J 是电位移矢量 D 对时间的变化率，具有电流密度的量纲，称为位移电流密度。 6.3 麦克斯韦方程组 1．麦克斯韦方程组的微分形式

aDVxH=J+(6.3.1)ataBVxE=(6.3.2)atV.B=0(6.3.3)V.D=p(6.3.4)这就是麦克斯韦方程组的微分形式。习惯上，将上述方程依次称为麦克斯韦第一、二、三、四方程。关于麦克斯韦方程组的诠释（1）麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律，静电场和恒定磁场的基本方程都是麦克斯韦方程组的特殊情况。（2）电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。（3）在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量D、E、B、H之间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦方程组的非限定形式。2.麦克斯韦方程组的积分形式aD(J+).H.dl -).ds(6.3.5)at-L.oB.dsΦ,E-dl =-(6.3.6)JsatΦ,B-dS = 0(6.3.7)d.D.dS=pdv(6.3.8)3.媒质的本构关系在线性和各向同性的媒质中，本构关系为D=E(6.3.9)B=μH(6.3.10)J=oE(6. 3. 11)利用这些关系，可得出只含有两个场失量的麦克斯韦方程组aVxH=oE+(cE)(6.3.12)at

t    = +  D H J （6.3.1） t    = −  B E （6.3.2）  = B 0 （6.3.3）  = D  （6.3.4） 这就是麦克斯韦方程组的微分形式。习惯上，将上述方程依次称为麦克斯韦第一、二、 三、四方程。 关于麦克斯韦方程组的诠释 （1）麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律，静电场和恒定磁场的基本方程 都是麦克斯韦方程组的特殊情况。 （2）电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。 （3）在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量 D 、 E 、 B 、 H 之间的关系，它们适用 于任何媒质，通常称为麦克斯韦方程组的非限定形式。 2．麦克斯韦方程组的积分形式 d ( ) d C S t  = +    D H l J S （6.3.5） d d C S t  = −    B E l S （6.3.6） d 0 S =  B S （6.3.7） d d S V =  V   D S （6.3.8） 3．媒质的本构关系 在线性和各向同性的媒质中，本构关系为 D E =  （6.3.9） B H =  （6.3.10） J E = （6.3.11） 利用这些关系，可得出只含有两个场矢量的麦克斯韦方程组 ( ) t      = +  H E E （6.3.12）

aVxE=(uH)(6.3.13)atV.(uH)=0(6.3.14)V.(εE)=p(6.3.15)称为麦克斯韦方程组的限定形式。6.4电磁场的边界条件边界条件：不同媒质的分界面上，场量D、E、B、H满足的关系。利用麦克斯韦方程组的积分形式，可导出分界面上电磁场的边界条件。1.边界条件的一般形式利用麦克斯韦方程组的积分形式，可导出分界面上电磁场的边界条件nx(H,-H,)=Js(6.4.1)nx(E, -E,)=0(6.4.2)n(B, -B,)= 0(6.4.3)n(D, - D,)= Ps(6.4.4)2.理想介质分界面上的边界条件理想介质分界面上，J。=0、P,=0，则边界条件为nx(H,-H,)=0(6.4.5)nx(E,-E,)=0(6.4.6)n(B, -B,)= 0(6.4.7)n(D, -D,)=0(6.4.8)3.理想导体表面上的边界条件理想导体：电导率为无限大的导体：电磁场不能进入理想导体，故理想导体内部的电磁场为零。理想导体表面的边界条件为

( ) t     = −  E H （6.3.13）  = ( ) 0 H （6.3.14）  = ( )   E （6.3.15） 称为麦克斯韦方程组的限定形式。 6.4 电磁场的边界条件 边界条件：不同媒质的分界面上，场矢量 D 、 E 、 B 、 H 满足的关系。 利用麦克斯韦方程组的积分形式，可导出分界面上电磁场的边界条件。 1．边界条件的一般形式 利用麦克斯韦方程组的积分形式，可导出分界面上电磁场的边界条件 1 2 ( ) n H H J  − = S （6.4.1） 1 2 n E E  − = ( ) 0 （6.4.2） 1 2 n B B ( ) 0 − = （6.4.3） 1 2 ( ) n D D− = S （6.4.4） 2．理想介质分界面上的边界条件 理想介质分界面上， 0 JS = 、 0 S = ，则边界条件为 1 2 n H H  − = ( ) 0 （6.4.5） 1 2 n E E  − = ( ) 0 （6.4.6） 1 2 n B B ( ) 0 − = （6.4.7） 1 2 n D D ( ) 0 − = （6.4.8） 3．理想导体表面上的边界条件 理想导体：电导率为无限大的导体；电磁场不能进入理想导体，故理想导体内部的电磁 场为零。 理想导体表面的边界条件为

nxH,=Js(6.4.9)nxE,=0(6.4.10)nB, =0(6.4.11)n.D, = Ps(6.4.12)一般情况下，理想导体表面存在面电流分布和面电荷分布。6.5坡印廷定理和坡印廷矢量电场能量密度1W.=-E·D(6.5.1)2磁场能量密度1"H·B(6.5.2)Wm=2电磁能量密度-E·D+-H·B(6.5.3)W=w.+Wm=221.坡印廷定理当场随时间变化时，空间各点的电磁能量密度也要随时间改变，从而引起电磁能量流动。坡印廷定理：表征电磁场能量守恒关系：坡印廷定理的微分形式：aCH·B+--V(ExH)=E·D)+E·J(6.5.4)a22坡印廷定理的积分形式d-0.(ExH)dS =(H.B+-E.D)dV+E.Jdv(6.5.5)dtJ,2坡印廷定理的物理意义：dr.1JGHB+E·D)dV一一单位时间内体积V中所增加的电磁场能量；n「,E.JdV—一单位时间内电场对体积V中的电流所作的功。在导电媒质中，J,E.JaV=J,E·EdV即为体积V内总的损耗功率；-0.(ExH)-ds.S——通过曲面S进入体积V的电磁功率。2.坡印廷矢量S

n H J  =1 S （6.4.9） 1 n E = 0 （6.4.10） 1 n B = 0 （6.4.11） n D1 = S （6.4.12） 一般情况下，理想导体表面存在面电流分布和面电荷分布。 6.5 坡印廷定理和坡印廷矢量 电场能量密度 1 2 we = E D （6.5.1） 磁场能量密度 1 2 wm = H B （6.5.2） 电磁能量密度 1 1 2 2 w w w = + = + e m E D H B （6.5.3） 1．坡印廷定理 当场随时间变化时，空间各点的电磁能量密度也要随时间改变，从而引起电磁能量流动。 坡印廷定理：表征电磁场能量守恒关系；坡印廷定理的微分形式： 1 1 ( ) ( ) t 2 2  −  = + +  E H H B E D E J （6.5.4） 坡印廷定理的积分形式： ( ) d S −   E H S d 1 1 ( )d d d 2 2 V V V V t = + +   H B E D E J （6.5.5） 坡印廷定理的物理意义： d 1 1 ( )d d 2 2 V V t +  H B E D ——单位时间内体积 V 中所增加的电磁场能量； d V V  E J ——单位时间内电场对体积 V 中的电流所作的功。 在导电媒质中， d d V V V V =    E J E E 即为体积 V 内总的损耗功率； ( ) d S −   E H S ——通过曲面 S 进入体积 V 的电磁功率。 2．坡印廷矢量 S

坡印廷矢量是描述时变电磁场的电磁能量传输的一个重要物理量，其定义为(W/m2)(6.5.6)S=ExH它表示通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁功率，其方向就是电磁能量传输的方向。6.6波动方程在无源的线性、各向同性且无损耗的均匀媒质中，由麦克斯韦方程组可推导出电场E和磁场H满足波动方程a'E'E-e=0at?(6.6.1)aH-=0ar?(6.6.2)6.7动态矢量位和标量位时变电磁场可用动态矢量位A和动态标量位来描述。1.动态矢量位A和动态标量位?的定义由V·B=0，定义B=VxA(6.7.1)aB=-Vx2AaA有V×E+)=0，定义又由V×E=atatatE+0A=-Vp(6.7.2)at故有B=VxAaA(6.7.3)E=-Voat2.A和?的微分方程将

坡印廷矢量是描述时变电磁场的电磁能量传输的一个重要物理量，其定义为 S E H =  （ W m2 ） （6.5.6） 它表示通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁功率，其方向就是电磁能量传输的方 向。 6.6 波动方程 在无源的线性、各向同性且无损耗的均匀媒质中，由麦克斯韦方程组可推导出电场 E 和磁场 H 满足波动方程 0 t    − =  2 2 2 E E （6.6.1） 2 2 2 0 t    − =  H H （6.6.2） 6.7 动态矢量位和标量位 时变电磁场可用动态矢量位 A 和动态标量位  来描述。 1．动态矢量位 A 和动态标量位  的定义 由  = B 0 ，定义 B A =  （6.7.1） 又由 t t     = − = −    B A E ，有 ( ) 0 t    + =  A E ，定义 t   + = −  A E （6.7.2） 故有 t   =       = − −    B A A E （6.7.3） 2． A 和  的微分方程 将

(B=×AaAE=-Vpat代入方程OEVxB=uJ+eat1V.E=-=p5可得到A0A-V(V·A)-ueV()=-μJat?oa1-(V·A)=-=PV'0+-at3ap应用洛仑条件VA+us=0，则有ataA?A-s=-μJat?(6.7.4)a21=--Pat?6这就是A和?的微分方程，称为达朗贝尔方程

① t   =       = − −    B A A E 代入方程 1 t         = +     =  E B J E 可得到 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 ( ) t t t            − −   −  = −        +  = −   A A A J A 应用洛仑兹条件 0 t     + =  A ，则有 2 2 2 2 2 2 1 t t           − = −        − = −   A A J （6.7.4） 这就是 A 和  的微分方程，称为达朗贝尔方程