《电磁场》课程教学资源（知识点）3-静电场分析

教学基本要求静电场的基本方程揭示出静电场的基本性质，也是分析求解静电场问题的基础。在教学中，应牢固掌握静电场的基本方程，深刻理解静电场的基本性质，并熟练地运用高斯定律求解静电场问题。电位是静电场中的一个重要概念，要理解其物理意义，掌握电位与电场强度的关系：掌握电位的微分方程，会计算点电荷系统和一些连续分布电荷系统的电位。掌握静电场的三类边值问题，明确什么是场的惟一性问题。惟一性定理是静电场边值问题的各种解法的理论根据，其概念非常重要，应深刻理解，灵活运用了解电介质极化的物理过程，会计算极化电荷，掌握不同介质分界面上场的边界条件和电位的边界条件。理解恒定电场的概念，并掌握欧姆定律、焦耳定律。熟悉恒定电场的基本方程和边界条件，能正确地分析和求解恒定电场问题：掌握电组的计算方法，了解稳恒电场与静电场的比拟。熟悉静电场中导体的性质，掌握电容的概念及计算电容的方法。电场能量是静电场中的一个重要概念，应深刻的理解：掌握静电场能量的计算公式，会计算电场能量。知识脉络恒定电场++++电阻欧姆定律焦耳定律恒定电场的基本方程1电位恒定电场的边界条件静电比拟++电位差电位的边界条件电位的微分方程重点、难点解析1.静电场的基本方程静电场的基本方程有微分和积分两种形式，它们是分析求解静电场问题的基础。在教学中应明确：①为什么说它们是静电场的基本方程？②方程的两种形式之间存在什么联系、有

恒定电场 欧姆定律 焦耳定律 电阻 静电比拟 恒定电场的基本方程 恒定电场的边界条件 电位 电位的边界条件 电位差 电位的微分方程 教学基本要求 静电场的基本方程揭示出静电场的基本性质，也是分析求解静电场问题的基础。在教学 中，应牢固掌握静电场的基本方程，深刻理解静电场的基本性质，并熟练地运用高斯定律求 解静电场问题。 电位是静电场中的一个重要概念，要理解其物理意义，掌握电位与电场强度的关系；掌 握电位的微分方程，会计算点电荷系统和一些连续分布电荷系统的电位。 掌握静电场的三类边值问题，明确什么是场的惟一性问题。惟一性定理是静电场边值问 题的各种解法的理论根据，其概念非常重要，应深刻理解，灵活运用 了解电介质极化的物理过程，会计算极化电荷，掌握不同介质分界面上场的边界条件和 电位的边界条件。 理解恒定电场的概念，并掌握欧姆定律、焦耳定律。熟悉恒定电场的基本方程和边界条 件，能正确地分析和求解恒定电场问题；掌握电组的计算方法，了解稳恒电场与静电场的比 拟。 熟悉静电场中导体的性质，掌握电容的概念及计算电容的方法。 电场能量是静电场中的一个重要概念，应深刻的理解；掌握静电场能量的计算公式， 会计算电场能量。 知识脉络 重点、难点解析 1．静电场的基本方程 静电场的基本方程有微分和积分两种形式，它们是分析求解静电场问题的基础。在教学 中应明确：①为什么说它们是静电场的基本方程？②方程的两种形式之间存在什么联系、有

何差异？③它们在应用方面有何不同？这些问题对深刻理解和掌握静电场的基本性质，正确地分析、求解静电场问题是非常重要的。方程组（3.1.1）完整地反映出了静电场的基本性质，是分析求解静电场问题的基础。高斯定理§,D-dS=g及其微分形式V.D=p清楚地表示出静电场是有源场，电荷就是静电场的源；电力线发自于正电荷，终止于负电荷。环路定理.E-dl=0及其微分形式V×E=0，则反映了静电场的无旋性，是保守场。并且方程组（3.1.1）适用于任何静电场，即无论电介质是线性的还是非线性的、各向同性的还是各向异性的，只要是静电场，E和D就满足方程组（3.1.1）。②基本方程的微分形式和积分形式都可以直接从电场表达式出发推导出来，并且它们之间可以互相转换，即利用散度定理和斯托克斯定理，可由微分形式推导出积分形式。反之，也能由积分形式推导出微分形式。③在不同媒质的分界面上或有面电荷分布之处，E和D通常是不连续的，V×E和V·D失去意义。所以，场方程的微分形式在不同媒质的分界面上不再适用，而场方程的积分形式在这些地方依然是适用的。①场方程的积分形式反映了一定区域内静电场的整体性质。9,D-dS=q表明：电位A移天量D在任一闭曲面S上的通量只与S内的自由电荷的总量有关，只要S内自由电荷的总量不变，无论电荷怎样分布，D在任一闭曲面S上的通量都相同。而场方程的微分形式则反映出场中每一点的特性，VD=P表明，场中任一点D的散度等于该点的电荷体密度，而与其它地方的电荷分布无关。③当电场分布具有某种空间对称性（如平面对称、轴对称、球对称等）时，应用高斯定理§,D·dS=q求解电场强度最为简单。但在一般情况下，由场方程的微分形式与边界条JS件联立构成边值问题，原则上可以求解任何电荷分布的电场。若已知场分布，则由q,D·dS=g可求出闭曲面S内的总电荷；而利用V.D=p则可SS求出场中各点的电荷体密度。对场分布不连续之处，由n(D,-D)=α可求出其电荷面密度。2.静电场的边界条件边界条件是静电场的重点内容之一，怎样正确的理解边界条件的意义与作用，掌握并运用边界条件是教学中的难点，什么是静电场的边界条件？为什么要讨论边界条件？静电场问题中，常常涉及到具有不

何差异？③它们在应用方面有何不同？这些问题对深刻理解和掌握静电场的基本性质，正确 地分析、求解静电场问题是非常重要的。 ① 方程组（3.1.1）完整地反映出了静电场的基本性质，是分析求解静电场问题的基础。 高斯定理 d S = q  D S 及其微分形式  = D  清楚地表示出静电场是有源场，电荷就是静 电场的源；电力线发自于正电荷，终止于负电荷。环路定理 d 0 C =  E l 及其微分形式  = E 0 ，则反映了静电场的无旋性，是保守场。并且方程组（3.1.1）适用于任何静电 场，即无论电介质是线性的还是非线性的、各向同性的还是各向异性的，只要是静电场， E 和 D 就满足方程组（3.1.1）。 ② 基本方程的微分形式和积分形式都可以直接从电场表达式出发推导出来，并且它们 之间可以互相转换，即利用散度定理和斯托克斯定理，可由微分形式推导出积分形式。反之， 也能由积分形式推导出微分形式。 ③ 在不同媒质的分界面上或有面电荷分布之处， E 和 D 通常是不连续的， E 和  D 失去意义。所以，场方程的微分形式在不同媒质的分界面上不再适用，而场方程的积 分形式在这些地方依然是适用的。 ④ 场方程的积分形式反映了一定区域内静电场的整体性质。 d S = q  D S 表明：电位 移矢量 D 在任一闭曲面 S 上的通量只与 S 内的自由电荷的总量有关，只要 S 内自由电荷的 总量不变，无论电荷怎样分布， D 在任一闭曲面 S 上的通量都相同。而场方程的微分形式 则反映出场中每一点的特性，  = D  表明，场中任一点 D 的散度等于该点的电荷体密度， 而与其它地方的电荷分布无关。 ⑤ 当电场分布具有某种空间对称性（如平面对称、轴对称、球对称等）时，应用高斯 定理 d S = q  D S 求解电场强度最为简单。但在一般情况下，由场方程的微分形式与边界条 件联立构成边值问题，原则上可以求解任何电荷分布的电场。 若已知场分布，则由 d S = q  D S 可求出闭曲面 S 内的总电荷；而利用  = D  则可 求出场中各点的电荷体密度。对场分布不连续之处，由 2 1 n D D ( ) − = 可求出其电荷面密 度。 2．静电场的边界条件 边界条件是静电场的重点内容之一，怎样正确的理解边界条件的意义与作用，掌握并运 用边界条件是教学中的难点。 什么是静电场的边界条件？为什么要讨论边界条件？静电场问题中，常常涉及到具有不

同物理性质的媒质，在两种不同媒质的分量面上，场量会产生突变，基本方程的微分形式不适用于媒质分界面。那么，在媒质分界面两侧的场量之间存在什么关系？这就是场量在媒质分界面上所满足的边界条件。边界条件实质上是静电场基本方程在媒质分界面上的种表现形式。所以，在静电场中，场量不仅满足基本方程，而且也满足边界条件。也就是说，只有满足基本方程，并且也满足边界条件的场矢量E和D才是静电场问题的解。因此，在求解静电场问题中，边界条件起定解的作用。3.电位参考点电位是静电场中的一个重要的概念。在电场一定的情况下，场中各点的电位值与参考点的选择有关。在教学中主要应注意这样几个问题：电位参考点的选择有什么限制？什么情况下可选无穷远点为电位参考点？当电荷分布在无限远处时（例如无限长的带电直导线），应如何选择电位参考点？此外，静电场中，常选择接地导体的电位为零，那么电位参考点与接地有无差别？①选择电位参考点的一般股原则：一是电位表达式要有意义。例如，在点电荷的电场中不能选择点电荷所在处为电位参考点，在均匀场中不能选择无穷远处为电位参考点。否则空间中大多数地方电位将为无穷大，而失去实际意义：二是同一个问题中只能选择一个电位参考点。②电荷分布在有限的区域时，通常选择无穷远处为电位参考点。电荷不是分布在有限区域内时，则不能选择无穷远处为电位参考点，这时可根据具体情况选择电位参考点。如：对于均匀带电的无限长细直导线的电位，可选择r=。（%±0的常数）为电位参考点。③在静电场中，有接地导体时，通常选择接地导体的电位为零。但接地与电位参考点是两个不同的概念，不能混为一谈。导体接地的主要含义：一是接地导体与地球同电位，且与外界条件的变化无关；二是导体接地会与大地产生电荷交换，电荷的流动方向取决于导体接地前的电位是高于大地，还是低于大地。譬如，若接地前导体的电位高于大地，接地后将有正电荷流向大地，直到导体与大地电位相等。因此，导体接地与否，其上的电荷分布可能完全不同。例如，在一个导体球附近放置一个带正电的点电荷，导体球面上会出现感应电荷分布。当导体球接地时，球面上只有负的感应电荷分布：若导体球不接地，则球面上靠近点电荷的地方有负的感应电荷分布，而离点电荷较远的地方则有正的感应电荷分布、且球面上感应电荷的总量为零。电位参考点的改变则只会使空间各点的电位值改变一个相同的数值，而空间中电位的分布规律不变，电场分布亦不受影响。因此，是否选择导体为电位参考点，并不影响导体上的电荷分布。4.惟一性定理

同物理性质的媒质，在两种不同媒质的分量面上，场量会产生突变，基本方程的微分形式不 适用于媒质分界面。那么，在媒质分界面两侧的场量之间存在什么关系?这就是场量在媒质 分界面上所满足的边界条件。 边界条件实质上是静电场基本方程在媒质分界面上的种表现形式。所以，在静电场中， 场量不仅满足基本方程，而且也满足边界条件。也就是说，只有满足基本方程，并且也满足 边界条件的场矢量 E 和 D 才是静电场问题的解。因此，在求解静电场问题中，边界条件起 定解的作用。 3．电位参考点 电位是静电场中的一个重要的概念。在电场一定的情况下，场中各点的电位值与参考点 的选择有关。在教学中主要应注意这样几个问题：电位参考点的选择有什么限制？什么情况 下可选无穷远点为电位参考点？当电荷分布在无限远处时(例如无限长的带电直导线)，应如 何选择电位参考点？此外，静电场中，常选择接地导体的电位为零，那么电位参考点与接地 有无差别? ① 选择电位参考点的—般原则：一是电位表达式要有意义。例如，在点电荷的电场中 不能选择点电荷所在处为电位参考点，在均匀场中不能选择无穷远处为电位参考点。否则空 间中大多数地方电位将为无穷大，而失去实际意义；二是同一个问题中只能选择一个电位参 考点。 ② 电荷分布在有限的区域时，通常选择无穷远处为电位参考点。电荷不是分布在有限 区域内时，则不能选择无穷远处为电位参考点，这时可根据具体情况选择电位参考点。如： 对于均匀带电的无限长细直导线的电位，可选择 0 r r = （ 0 r  0 的常数）为电位参考点。 ③ 在静电场中，有接地导体时，通常选择接地导体的电位为零。但接地与电位参考点 是两个不同的概念，不能混为一谈。 导体接地的主要含义：一是接地导体与地球同电位，且与外界条件的变化无关；二是导 体接地会与大地产生电荷交换，电荷的流动方向取决于导体接地前的电位是高于大地，还是 低于大地。譬如，若接地前导体的电位高于大地，接地后将有正电荷流向大地，直到导体与 大地电位相等。因此，导体接地与否，其上的电荷分布可能完全不同。例如，在一个导体球 附近放置一个带正电的点电荷，导体球面上会出现感应电荷分布。当导体球接地时，球面上 只有负的感应电荷分布；若导体球不接地，则球面上靠近点电荷的地方有负的感应电荷分布， 而离点电荷较远的地方则有正的感应电荷分布、且球面上感应电荷的总量为零。 电位参考点的改变则只会使空间各点的电位值改变一个相同的数值，而空间中电位的分 布规律不变，电场分布亦不受影响。因此，是否选择导体为电位参考点，并不影响导体上的 电荷分布。 4．惟一性定理

惟一性定理是静电场边值问题各种解法的理论根据，必须很好地理解和掌握。在教学中应明确：①什么是解的惟一性问题？②惟一性定理的意义与作用。静电场的边值问题能用解析方法直接求解的不多，许多问题需借助各种间接方法求解。于是就存在这样的问题：用这种或那种方法求得边值问题的解答是否正确？边值问题的解是不是独一无二的？这就是边值问题的解的惟一性问题。②惟一性定理对上述问题作出了肯定的回答。它表明，在静电场边值问题中，只要给定场域内的电荷分布以及边界面上的电位值（或电荷分布)，则场分布是惟一确定的。惟一性定理的重要意义在于：求解边值问题时，不管采用什么方法，只要获得的解答满足泊松方程或拉普拉斯方程和给定的边界条件，那么这个解答就是惟一正确的。③惟一性定理指出了边值问题具有惟一解的条件，在边界面上的任一点处，或给定电位的值，或给定电荷分布，不能在同一点处既给定电位值又给定电荷分布，这可能导致问题无解。④由惟一性定理可知：静电场的两个边值问题，如果在给定的场域内具有相同的电荷分布和相同的边界条件，不管场域外的电荷怎样分布，这两个边值问题在给定的场域内的场分布都是相同的。这正是静电场中应用电像法求解边值问题的基本原理。③对于第二类边值问题，电位的解可以相差一个常数。这是因为第二类边值问题的边界条件是已知电位的法向导数，实际上是给定了边界面上的电荷分布，而不是电位的值。这就是说没有选定电位参考点，若指定电位的参考点，则电位的解就是惟一的。5.恒定电场静电场的比较恒定电场与静电场具有相似的性质，但也有所区别。在学习恒定电场时，应对恒定电场产生的条件有清楚的认识，将恒定电场与静电场进行比较。静电场是静止电荷产生的场，带电体充有电荷后，就不再需要外电源再提供能量。恒定电场是这种稳恒流动的电荷所产生的电场，由于导体内的电荷流动要消耗能量，所以必须有外电源提供能量才能维持导体中的电荷作恒定流动。恒定电场中，导电媒质内存在恒定电流，各点的电位不同。因而，导体不再是等位体，导体表面也不是等位面，这一点与静电场是完全不同的。导电媒质中的恒定电场（电源外）与介质中的静电场（无源区域）公式对比如下：导电媒质中的恒定电场介质中的静电场对偶量-（电源外）（无源区域）VxE=0VxE=0EHEPApE=-VE=-VV.J=0V.D=0JD

惟一性定理是静电场边值问题各种解法的理论根据．必须很好地理解和掌握。在教学中 应明确：①什么是解的惟一性问题? ②惟一性定理的意义与作用。 ① 静电场的边值问题能用解析方法直接求解的不多，许多问题需借助各种间接方法求 解。于是就存在这样的问题：用这种或那种方法求得边值问题的解答是否正确？边值问题的 解是不是独一无二的？这就是边值问题的解的惟一性问题。 ② 惟一性定理对上述问题作出了肯定的回答。它表明，在静电场边值问题中，只要给 定场域内的电荷分布以及边界面上的电位值(或电荷分布)，则场分布是惟一确定的。惟一性 定理的重要意义在于：求解边值问题时，不管采用什么方法，只要获得的解答满足泊松方程 或拉普拉斯方程和给定的边界条件，那么这个解答就是惟一正确的。 ③ 惟一性定理指出了边值问题具有惟一解的条件，在边界面上的任一点处，或给定电 位的值，或给定电荷分布，不能在同一点处既给定电位值又给定电荷分布，这可能导致问题 无解。 ④ 由惟一性定理可知：静电场的两个边值问题，如果在给定的场域内具有相同的电荷 分布和相同的边界条件，不管场域外的电荷怎样分布，这两个边值问题在给定的场域内的场 分布都是相同的。这正是静电场中应用电像法求解边值问题的基本原理。 ⑤ 对于第二类边值问题，电位的解可以相差一个常数。这是因为第二类边值问题的边 界条件是已知电位的法向导数，实际上是给定了边界面上的电荷分布，而不是电位的值。这 就是说没有选定电位参考点，若指定电位的参考点，则电位的解就是惟一的。 5．恒定电场静电场的比较 恒定电场与静电场具有相似的性质，但也有所区别。在学习恒定电场时，应对恒定电场 产生的条件有清楚的认识，将恒定电场与静电场进行比较。静电场是静止电荷产生的场，带 电体充有电荷后，就不再需要外电源再提供能量。恒定电场是这种稳恒流动的电荷所产生的 电场，由于导体内的电荷流动要消耗能量，所以必须有外电源提供能量才能维持导体中的电 荷作恒定流动。 恒定电场中，导电媒质内存在恒定电流，各点的电位不同。因而，导体不再是等位体， 导体表面也不是等位面，这一点与静电场是完全不同的。 导电媒质中的恒定电场(电源外)与介质中的静电场(无源区域)公式对比如下： 导电媒质中的恒定电场 (电源外) 介质中的静电场 (无源区域) 对偶量  = E 0  = E 0 E E  E = − E = −     = J 0  = D 0 J D 

Y6J=ED=εE'E-dl =-I"' E-dl =0 -021αqJ,J-ds=1§, D-dS=qV'p=0V'p=0Dun = D2nJn=J2nE, = E2tE, = E2.GACG=I/UC=q/U从以上对比关系可以看出：①表征两种场的特性的方程和边界条件具有相似的形式；②导电媒质中的E、?、J、I、和G分别与电介质中的E、?、D、q、6和C在各自的方程和边界条件中有相同的地位，因而它们之间是对偶量；③如果两种场具有相同边界条件，则它们有相同形式的解。因而在相同边界条件下，如果已知一种场的解，只要用对偶量代换，就可得到另一种场的解，这种方法称为静电比拟法。6.静电场能量在静电扬中，表示能量的公式有几个，其中主要的是：点电荷系的静电场能量公式（3.8.1），连续分布电荷系的静电场能量公式（3.8.2）和用电场表示的能量公式（3.8.4）。在教学中应注意这些公式的物理含义以及它们之间的联系与差异。①按照场的观点，静电场能量存在于电场所在的区域内，也就是说场蕴含着能量。直接反映这个观念的是电场能量密度公式（3.8.5），它仅由场量E、D来确定，而与电荷无关。这就表明了场存在的空间中，任一体积元内都具有能量，若在场中某一体积内对能量密度积分，就得到该体积内蕴含的静电场能量：若积分遍及电场存在的全空间，就得到总的静电能量。所以由电场的能量密度，既可计算总的静电能量，也可计算局部空间中蕴含的静电能量。②连续分布电荷系统的静电能量公式（3.8.2）是用带电体的电荷量和电位表示总能量。应当注意，虽然它是在电荷密度不等于零的区域上积分，但不能认为静电场能量仅蕴含于带电体上。当带电体内的电场不为零时，其中也储存一部分静电能量（可由能量密度的体积分来计算），但不是全部静电能量。③公式（3.8.2）反映出静电场能量是静止电荷所具有的静电位能，其值与电位的参考点有关，即选择不同的电位参考点，由公式（3.8.2）将得到不同的能量值。而场量E、D与电位参考点无关，所以由公式（3.8.4）得到惟一确定的值。这是否意味着两者不一致呢？

J E =  D =  E    2 1 2 1 d = −    E l 2 1 2 1 d = −    E l d S = I  J S d S = q  D S I  q 2  =  0 2  =  0 n n J J 1 = 2 D1n = D2n E E 1 2 t t = E E 1 2 t t = G I U = C q U = G C  从以上对比关系可以看出： ① 表征两种场的特性的方程和边界条件具有相似的形式； ② 导电媒质中的 E 、 、J 、I 、 和 G 分别与电介质中的 E 、 、D 、q 、 和 C 在各自的方程和边界条件中有相同的地位，因而它们之间是对偶量； ③ 如果两种场具有相同边界条件，则它们有相同形式的解。因而在相同边界条件 下，如果已知一种场的解，只要用对偶量代换，就可得到另一种场的解，这种方法称为 静电比拟法。 6．静电场能量 在静电扬中，表示能量的公式有几个，其中主要的是：点电荷系的静电场能量公式 （3.8.1），连续分布电荷系的静电场能量公式（3.8.2）和用电场表示的能量公式（3.8.4）。 在教学中应注意这些公式的物理含义以及它们之间的联系与差异。 ① 按照场的观点，静电场能量存在于电场所在的区域内，也就是说场蕴含着能量。直 接反映这个观念的是电场能量密度公式（3.8.5），它仅由场量 E 、 D 来确定，而与电荷无 关。这就表明了场存在的空间中，任一体积元内都具有能量，若在场中某一体积内对能量密 度积分，就得到该体积内蕴含的静电场能量；若积分遍及电场存在的全空间，就得到总的静 电能量。所以由电场的能量密度，既可计算总的静电能量，也可计算局部空间中蕴含的静电 能量。 ② 连续分布电荷系统的静电能量公式（3.8.2）是用带电体的电荷量和电位表示总能量。 应当注意，虽然它是在电荷密度不等于零的区域上积分，但不能认为静电场能量仅蕴含于带 电体上。当带电体内的电场不为零时，其中也储存一部分静电能量（可由能量密度的体积分 来计算)，但不是全部静电能量。 ③ 公式（3.8.2）反映出静电场能量是静止电荷所具有的静电位能，其值与电位的参考 点有关，即选择不同的电位参考点，由公式（3.8.2）将得到不同的能量值。而场量 E 、D 与电位参考点无关，所以由公式（3.8.4）得到惟一确定的值。这是否意味着两者不一致呢？

事实上，在公式（3.8.4）的推导中，要求βα1/r这就是说、公式（3.8.4）是以无穷远为电位参考点的总能量。由此可得出结论，对不能选择无穷远为电位参考点的问题，就不能应用公式（3.8.4）来计算总能量。公式（3.8.4）既适用于静电场，也适用于时变场，具有普遍的意义，而公式（3.8.2）只能用于静电场。③点电荷系的能量公式（3.8.1）中，9,是除g,外的所有电荷产生的电位，所以给出的能量是点电荷之间的相互作用能，不含自能，因为对点电荷而言，自能无意义。带电导体系的能量公式（3.8.3）则与式（3.8.1）不同，其中电位g包括了第e，个导体自身的电荷g.所产生的电位。因此它表示的是总能量，不但包括相互作用能，也包括自能，7.静电场解题静电场解题的主要问题包括：①由已知电荷分布求电场和电位分布：②由已知电场或电位分布求自由电荷和极化分布：③求电容、静电能量和静电力。①已知电荷分布求解电场分布主要有三种方法：α。直接应用电场强度的计算公式求解。这一方法主要用于计算一些比较简单的电荷分布在空间某些特殊位置的电场（已在第二章中讨论）：b．应用高斯定理求解对称分布的电场。当电场分布具有某种空间对称性（如平面对称、轴对称、球对称等）时，应用高斯定理d,D-dS=g求解电场强度最为简单。对于某些非对称分布的场，若能将其表示为若干个对称分布的场的叠加，也能应用高斯定律求解。当存在介质分界面时，有两种情况适宜用高斯定理求解：一种情况是在介质分界面上，电场垂直于介质分界面，即电场只有法向分量。这时D成对称分布，可直接应用高斯定理求解；另一种情况是在介质分界面上，电场平行于分界面，即电场只有切向分量。根据边界条件，这时应有E,=E,，但D,+D,。也就是说，在这种情况下E成对称分布，而D不是对称分布的。应用高斯定理求解这种问题的关键在于：将E,=E,=E、D,=6,E,和D,=6,E,代入g,D-dS=q'C.由电位的梯度求电场强度。②求解电位分布的三种主要方法是：α。直接应用电位的计算公式求解。这一方法主要用于计算一些比较简单的电荷分布在空间某些特殊位置的电位；b.由电场强度的积分求电位：

事实上，在公式（3.8.4）的推导中，要求  1 r 这就是说、公式（3.8.4）是以无穷远为 电位参考点的总能量。由此可得出结论，对不能选择无穷远为电位参考点的问题，就不能应 用公式（3.8.4）来计算总能量。 ④ 公式（3.8.4）既适用于静电场，也适用于时变场，具有普遍的意义，而公式（3.8.2） 只能用于静电场。 ⑤ 点电荷系的能量公式（3.8.1）中， i 是除 i q 外的所有电荷产生的电位，所以给出 的能量是点电荷之间的相互作用能，不含自能，因为对点电荷而言，自能无意义。带电导体 系的能量公式（3.8.3）则与式（3.8.1）不同，其中电位 i 包括了第 i 个导体自身的电荷 i q 所产生的电位。因此它表示的是总能量，不但包括相互作用能，也包括自能。 7．静电场解题 静电场解题的主要问题包括：① 由已知电荷分布求电场和电位分布；② 由已知电场或 电位分布求自由电荷和极化分布；③ 求电容、静电能量和静电力。 ① 已知电荷分布求解电场分布主要有三种方法： a . 直接应用电场强度的计算公式求解。这一方法主要用于计算一些比较简单的电荷分 布在空间某些特殊位置的电场（已在第二章中讨论）； b . 应用高斯定理求解对称分布的电场。 当电场分布具有某种空间对称性（如平面对称、轴对称、球对称等）时，应用高斯定理 d S = q  D S 求解电场强度最为简单。 对于某些非对称分布的场，若能将其表示为若干个对称分布的场的叠加，也能应用高斯 定律求解。 当存在介质分界面时，有两种情况适宜用高斯定理求解：一种情况是在介质分界面上， 电场垂直于介质分界面，即电场只有法向分量。这时 D 成对称分布，可直接应用高斯定理 求解；另一种情况是在介质分界面上，电场平行于分界面，即电场只有切向分量。根据边界 条件，这时应有 E E 1 2 = ，但 D D 1 2  。也就是说，在这种情况下 E 成对称分布，而 D 不是 对称分布的。应用高斯定理求解这种问题的关键在于：将 E E E 1 2 = = 、 D E 1 1 1 =  和 D E 2 2 2 =  代入 d S = q  D S ； c . 由电位的梯度求电场强度。 ② 求解电位分布的三种主要方法是： a . 直接应用电位的计算公式求解。这一方法主要用于计算一些比较简单的电荷分布在 空间某些特殊位置的电位； b . 由电场强度的积分求电位；

C。求解泊松方程或拉普拉斯方程的边值问题（这一解法将在第四章中讨论）。③自由电荷或极化电荷的计算当已知电场或电位分布，则可由p=VD或p=-求出电荷体密度，由P，=-V.p求出极化电荷体密度；由边界条件求出分界面上的自由电荷或极化电荷面密度。④电容的计算通常可采用两种方法：α.假设极板上的电荷q，按q→E→U→C的步骤计算。当场分布具有对称性时，这种方法最简便；b.假设极板间的电压U，解电位β的边值问题，按U→β→E→q→C的步骤计算。导电媒质中，计算电导主要有三种方法：a.假设两电极间流过电流I，按I→J→E→U-→>G的步骤计算；b.假设两电极间的电压U，按U→→E→J→I→G的步骤计算；C.根据静电比拟，利用G/C=/e计算。基本内容概述3.1静电场的基本方程静电场的两个基本的场矢量是电场强度E和电位移矢量D，在电荷静止的情况下，建立起来的静电场的基本方程为微分形式[V.D= p(3.1.1)[VxE=0积分形式[o,D-dS=q(3.1.2).E-dl =0静电场的基本性质：静电场是有源无旋场，是一种保守场；电荷是静电场的源，电力线由正电荷发出，终止于负电荷，是非闭合曲线。3.2静电位根据静电场的无旋性，可引入电位函数?，使得E=-V(3.2.1)静电场中任意两点P和Q之间的电位差为

c . 求解泊松方程或拉普拉斯方程的边值问题（这一解法将在第四章中讨论）。 ③ 自由电荷或极化电荷的计算 当已知电场或电 位分布，则 可由  =  D 或 2    = −  求出电荷体密度 ，由  p = − P 求出极化电荷体密度；由边界条件求出分界面上的自由电荷或极化电荷面密度。 ④ 电容的计算通常可采用两种方法： a . 假设极板上的电荷 q ，按 q U C → → → E 的步骤计算。当场分布具有对称性时， 这种方法最简便； b . 假设极板间的电压 U ，解电位  的边值问题，按 U q C → → → →  E 的步骤 计算。 ⑤ 导电媒质中，计算电导主要有三种方法： a . 假设两电极间流过电流 I ，按 I U G → → → → J E 的步骤计算； b . 假设两电极间的电压 U ，按 U I G → → → → →  E J 的步骤计算； c . 根据静电比拟，利用 G C =   计算。 基本内容概述 3.1 静电场的基本方程 静电场的两个基本的场矢量是电场强度 E 和电位移矢量 D ，在电荷静止的情况下，建 立起来的静电场的基本方程为 微分形式 0  =    = D E （3.1.1） 积分形式 d d 0 S C  = q    =    D S E l （3.1.2） 静电场的基本性质：静电场是有源无旋场，是一种保守场；电荷是静电场的源，电力线 由正电荷发出，终止于负电荷，是非闭合曲线。 3.2 静电位 根据静电场的无旋性，可引入电位函数  ，使得 E = − （3.2.1） 静电场中任意两点 P 和 Q 之间的电位差为

E.dlp(P)-p(9)=(3.2.2)在线形、各向同性的均匀电介质中，电位满足的微分方程为Vp=-p(3.2.3)6或β=0 (p=0)(3.2.4)在线形、各向同性的无限大均匀电介质中，电位表达式为p(r)=(3.2.5)点电荷：4元R点电荷系：p(r)=(3.2.6)4元台R p(r) dt'体分布电荷：p(r)=(3.2.7)4元,RLr o(r) as'面分布电荷：p(r)=(3.2.8)4元JsR1[ P(r ar"(3.2.9)线分布电荷：p(r)=4元JcR3.3静电场中的电介质1.电介质的极化在宏观电场的作用下，无极分子的正、负电荷中心发生相对位移，形成分子电偶极矩，而有极分子的固有电偶极矩的取向趋于与电场方向一致，这种现象称为电介质极化。2.极化强度矢量电介质在电场的作用下产生极化，介质极化的程度用极化强度P表示，定义为单位体积内的分子电矩的矢量和，即Zp.(3.3.1)P= lim-Ar->0 △t3.极化电荷电介质极化后，会产生宏观的极化电荷（束缚电荷）分布，电介质内部的极化电荷体密度P，和表面上的极化电荷面密度分别为P,=-V.P, o,=np(3.3.2)式中n为介质表面的外法向单位矢量

( ) ( ) d Q P   P Q − =  E l （3.2.2） 在线形、各向同性的均匀电介质中，电位满足的微分方程为 2     = − （3.2.3） 或 2  = =   0 ( 0) （3.2.4） 在线形、各向同性的无限大均匀电介质中，电位表达式为 点电荷： ( ) 4 q R    r = （3.2.5） 点电荷系： 1 1 ( ) 4 N i i i q R   =  r =  （3.2.6） 体分布电荷： 1 ( ) ( ) d 4  R      =   r r （3.2.7） 面分布电荷： 1 ( ) ( ) d 4 S S R     =   r r （3.2.8） 线分布电荷： 1 ( ) ( ) d 4 l C l R     =   r r （3.2.9） 3.3 静电场中的电介质 1．电介质的极化 在宏观电场的作用下，无极分子的正、负电荷中心发生相对位移，形成分子电偶极矩， 而有极分子的固有电偶极矩的取向趋于与电场方向一致，这种现象称为电介质极化。 2．极化强度矢量 电介质在电场的作用下产生极化，介质极化的程度用极化强度 P 表示，定义为单位体 积内的分子电矩的矢量和，即 0 lim i i  →  =   p P （3.3.1） 3．极化电荷 电介质极化后，会产生宏观的极化电荷（束缚电荷）分布，电介质内部的极化电荷体密 度  p 和表面上的极化电荷面密度  p 分别为  p = − P ，  p = n P （3.3.2） 式中 n 为介质表面的外法向单位矢量

在均匀介质中，极化电荷体密度P，与自由电荷体密度之间存在关系6-60Pp=-P(3.3.3)64，电介质的本构关系在分析有电介质存在的电场时，通常引入电位移失量D。电位移失量D、电场强度E和极化强度P三者间的关系为D=E+P(3.3.4)在线形、各向同性介质中，P=6X.E，则D=E(3.3.5)式中：8=806,为电介质的介电常数：6,=1+%为电介质的介电常数；X.为电介质的极化率；3.4静电场的边界条件在两种不同介质的分界面上，场矢量D和E的边界条件为n(D,-D,)=O(3.4.1)nx(E,-E,)=0或[Din - D2n = 0(3.4.2)[E-E2,=0式中：n由介质2指向介质1，是分界面上的自由电荷面密度。这表明：在两种不同的介质分界面上，电场的切向分量是连续的，而电位移失量的法向分量是不连续的。当分界面上没有自由电荷面密度时，电位移矢量的法向分量连续。当两种不同介质的分界面上的自由电荷面密度α=0时，静电场的折射关系为tang(3.4.3)tan,82式中：和6,分别是分界面两侧的电场E,和E,与法线n的夹角。在两种不同介质的分界面上，极化电荷面密度,=-n(P-P,)(3.4.4)式中：n由介质2指向介质1。在两种不同介质的分界面上，电位的边界条件为[91=P2(3.4.5)01--, 002 --06on2on

在均匀介质中，极化电荷体密度  p 与自由电荷体密度之间存在关系 0 p      − = − （3.3.3） 4．电介质的本构关系 在分析有电介质存在的电场时，通常引入电位移矢量 D 。电位移矢量 D 、电场强度 E 和极化强度 P 三者间的关系为 0 D E P = +  （3.3.4） 在线形、各向同性介质中， 0 e P E =   ，则 D E =  （3.3.5） 式中： 0 r    = 为电介质的介电常数； 1 r e   = + 为电介质的介电常数； e 为电介质 的极化率； 3.4 静电场的边界条件 在两种不同介质的分界面上，场矢量 D 和 E 的边界条件为 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 n D D n E E  − =    − = （3.4.1） 或 1 2 1 2 0  − =   − = n n t t D D E E （3.4.2） 式中： n 由介质 2 指向介质 1， 是分界面上的自由电荷面密度。这表明：在两种不同 的介质分界面上，电场的切向分量是连续的，而电位移矢量的法向分量是不连续的。当分界 面上没有自由电荷面密度时，电位移矢量的法向分量连续。 当两种不同介质的分界面上的自由电荷面密度  = 0 时，静电场的折射关系为 1 1 2 2 tan tan     = （3.4.3） 式中： 1 和 2 分别是分界面两侧的电场 E1 和 E2 与法线 n 的夹角。 在两种不同介质的分界面上，极化电荷面密度 1 2  = − − n P P ( ) p （3.4.4） 式中： n 由介质 2 指向介质 1。 在两种不同介质的分界面上，电位的边界条件为 1 2 1 2 1 2         =     − = −     n n （3.4.5）

3.5推一性定理1.静电场的边值问题在给定的边界条件下，求解电位β的泊松方程或拉普拉斯方程，称为静电场的边值问题。静电场的边值问题可分为三类：第一类：已知场域边界面S上的电位分布，即给定ps= f(S)(3. 5.1)第二类：已知场域边界面S上电位的法向导数或电荷分布，即给定ap= f2(S)(3.5.2)Ons第三类：已知场域边界面S上电位及其法向导数的线性组合，即给定ap(ap+β-=f(S)(3.5.3)ns2.静电场的惟一性定理在给定的边界条件下，电位的泊松方程或拉普拉斯方程具有惟一解，称为静电场的惟一性定理。惟一性定理的意义：惟一性定理指出了静电场的边值问题具有惟一解的条件，同时为静电场边值问题的各种求解方法提供了理论依据，也为解的正确性提供了判据。根据惟一性定理，我们可以尝试任何一种能找到的简便方法求解某一问题，只要求得的解满足泊松方程（或拉普拉斯方程）和问题所给定的边界条件，那么这个解就是正确的。3.6恒定电场恒定电场是由恒定运动电荷所产生的。1.恒定电场的基本方程在导电媒质中，恒定电场的基本方程为(V.J =0微分形式：(3.6.1)VxE=0@ J.ds=0JS(3.6.2)积分形式：[f.E-dl =0恒定电场的基本性质：恒定电场是保守场，恒定电流线是闭合曲线。2.欧姆定律

3.5 惟一性定理 1．静电场的边值问题 在给定的边界条件下，求解电位  的泊松方程或拉普拉斯方程，称为静电场的边值问 题。静电场的边值问题可分为三类： 第一类：已知场域边界面 S 上的电位分布，即给定 1 ( ) S  = f S （3.5.1） 第二类：已知场域边界面 S 上电位的法向导数或电荷分布，即给定 2 ( ) S f S n  =  （3.5.2） 第三类：已知场域边界面 S 上电位及其法向导数的线性组合，即给定 3 ( ) ( ) S f S n     + =  （3.5.3） 2．静电场的惟一性定理 在给定的边界条件下，电位的泊松方程或拉普拉斯方程具有惟一解，称为静电场的惟 一性定理。 惟一性定理的意义：惟一性定理指出了静电场的边值问题具有惟一解的条件，同时为静 电场边值问题的各种求解方法提供了理论依据，也为解的正确性提供了判据。 根据惟一性定理，我们可以尝试任何一种能找到的简便方法求解某一问题，只要求得的 解满足泊松方程（或拉普拉斯方程）和问题所给定的边界条件，那么这个解就是正确的。 3.6 恒定电场 恒定电场是由恒定运动电荷所产生的。 1．恒定电场的基本方程 在导电媒质中，恒定电场的基本方程为 微分形式： 0 0  =   = J E （3.6.1） 积分形式： d 0 d 0 S C  =    =    J S E l （3.6.2） 恒定电场的基本性质：恒定电场是保守场，恒定电流线是闭合曲线。 2．欧姆定律