例4.1、如例4.1图所示，横截面为矩形的封闭区域由四块导体板构成，左右两边的板接地，顶板和底板分别保持恒定电位U,和U，。求矩形区域内的电位分布。分析先根据齐次边界条件写出相应的通解。由于电位(x,y）在x方向满足第一类齐次边界条件，所U,n元x以通解中关于变量x函数应取为sin(，才能满足.a二X方向上的第一类齐次边界条件，而对变量y则应取U2ax为双曲函数，并再利用方向的非齐次的边界条件确定通解中的待定系数。例4.1图解根据题意，电位(x,y）满足的边界条件为p(0,y) = p(a,y)= 0①②p(x,0)=U,③ p(x,b)=U,因此电位(x,y)的通解可取为n元1n元元+B, sinhp(x,y)=A_sinh(1)an=I (由条件②，有n元bn元xU, =B.sinsinhaa=n元x两边同乘以sin(并从0到a对x积分，得到a2U,2U,n元xB, =)dr(1-cosn元)sin(asinh( n元b)n元bansinh(aa4U,n为奇数n元b=nsinh（n为偶数[0,由条件③，同理可得4Un为奇数n元bA, =} n sinh(a10,n为偶数将A,和B代入式（1），即得到槽内的电位分布
例 4.1 如例 4.1 图所示，横截面为矩形的封闭区域由四块导体板构成，左右两边的板 接地，顶板和底板分别保持恒定电位 U1 和 U2 。求矩形区域内的电位分布。 分析 先根据齐次边界条件写出相应的通解。由 于电位 ( , ) x y 在 x 方向满足第一类齐次边界条件，所 以通解中关于变量 x 函数应取为 sin( ) a nx ，才能满足 x 方向上的第一类齐次边界条件，而对变量 y 则应取 为双曲函数，并再利用 y 方向的非齐次的边界条件确 定通解中的待定系数。 解 根据题意，电位 ( , ) x y 满足的边界条件为 ① (0, ) ( , ) 0 y a y = = ② 2 ( ,0) x U= ③ 1 ( , ) x b U= 因此电位 ( , ) x y 的通解可取为 1 ( , ) sinh( ) sinh ( ) sin( ) n n n n y n n x x y A B b y a a a = = − ＋ （1） 由条件②，有 = = 1 2 sin( )sinh( ) n n a n b a n x U B 两边同乘以 sin( ) a nx ，并从 0 到 a 对 x 积分，得到 2 0 2 sin( )d sinh( ) a n U n x B x n b a a a = (1 cos ) ) a n b sinh ( 2 2 − = n n U = ， 为偶数 为奇数 n n n U 0 , ) a n b sinh ( 4 2 由条件③，同理可得 = ， 为偶数 为奇数 n n n U An 0 , ) a n b sinh ( 4 1 将 An 和 Bn 代入式（1），即得到槽内的电位分布 y x U1 a a b o U2 例 4.1 图
n元+U,sinhp(x,y)sinhn元ba7alnsinh.n元y和cosh(n元y）2"(b-)是sinh("评注由于sinh["）的线性组合，根据顶板和底板aaa均为非齐次的边界条件，将变量>的函数取为4.sinh("元)+B,sinh["h[(b-y)]，可简化ba2计算过程。例4.2求如例4.2图所示的二维矩形区域中的电位和电场分布。分析由于电位(x,y)在y方向满足第二类齐次边界条件，所以在通解中，对变量V应取dp=0ann元y为三角函数。但sin(）显然不能满足y方向上6P=U0=0的第二类齐次边界条件，所以应取变量V的函数XaO0=0(元)。此外，由于常数也满足第二类齐次为cos(Onb边界条件，所以通解中还应包含线性函数项。例4.2图解电位P(x,y)满足的边界条件为oploph=0dy ly=0ehyp(0, y) =U.p(a,y)=0因此，电位的通解为0(x, )= Aox + B +Z[4, sinh(n)+ B,cosh()]cos(")]n=1由p(0,y)=U和p(a,y)=0，有n元yB + E B, cos()=U。bn=ln元an元an元y[A,sinh=0Aa+B.+)+B.coshb6bn=l由此解得U.B, = U。A =O
1 2 1,3, 4 1 ( , ) sinh( ) sinh ( ) sin( ) sinh( ) n n y n n x x y U U b y n b a a a n a = = + − 评注 由于 sinh[ ( )] n b y a − 是 sinh( ) n y a 和 cosh( ) n y a 的线性组合，根据顶板和底板 均为非齐次的边界条件，将变量 y 的函数取为 n sinh( ) sinh[ ( )] n n y n A B b y a a + − ，可简化 计算过程。 例 4.2 求如例 4.2 图所示的二维矩形区域中的电位和电场分布。 分析 由于电位 ( , ) x y 在 y 方向满足第二 类齐次边界条件，所以在通解中，对变量 y 应取 为三角函数。但 sin( ) b ny 显然不能满足 y 方向上 的第二类齐次边界条件，所以应取变量 y 的函数 为 cos( ) b ny 。此外，由于常数也满足第二类齐次 边界条件，所以通解中还应包含线性函数项。 解 电位 (x, y) 满足的边界条件为 0 0 y y b y y = = = = 0 (0, ) y U= ( , ) 0 a y = 因此，电位的通解为 0 0 1 ( , ) [ sinh( ) cosh( )]cos( )] n n n n x n x n y x y A x B A B b b b = = + + + 由 0 (0, ) y U= 和 ( , ) 0 a y = ，有 0 0 1 cos( ) n n n y B B U b = + = 0 0 1 [ sinh( ) cosh( )]cos( ) 0 n n n n a n a n y A a B A B b b b = + + + = 由此解得 0 0 0 0 , U A B U a = − = y =U0 b a x a o 0 n = 0 n = 例 4.2 图 = 0
A, =B, =0 (n=1,2,..)故得到p(x,y)=Uo(1-U.E(x,y)=-Vp(x,y)=ex0评注应用分离变量法解边值问题时，通解中所包含的函数形式与齐次边界条件的类型有关，对于不同的类型齐次边界条件，通解中所包含的函数形式一般是不同的。具体的函数形式，必须由满足相应的齐次边界条件来确定。例4.3如例4.3图所示，两平行无限大导体平中面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y=d到Uoy=b(-<x<)。上板和薄片保持电位U。，下板保持零电位，设在薄片平面上，从y=0到y=d，dlX0IU.电位线性变化，p(0,J)=y。（1）求板间电位的d例4.3图U.解；（2）在板间电位的解中，除开y一项外，其d:2W他所有项对电场总储能的贡献，并按C，定出边缘电容。U分析应用叠加原理，把场分解为两个场的叠加：一个是距离为b的两无限大平行板间不存在薄片时，外加电压为U。的场：另一个是距离为b的两两无限大接地平行导体板间有电位为U.的导体薄片时的场。解（1）设板间的电位为p(x,y)=q(x,y)+(x,y)其中，（x，y）为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为U。）的电位，即Uoyp(x,y)=6JP(x,y)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：① P(x,0)=P(x,b)=0(x,y)=0 (x→0)②
0 ( 1,2, ) A B n n n = = = 故得到 0 ( , ) (1 ) x x y U a = − 0 ( , ) ( , ) x U x y x y a E e = − = 评注 应用分离变量法解边值问题时，通解中所包含的函数形式与齐次边界条件的类型 有关，对于不同的类型齐次边界条件，通解中所包含的函数形式一般是不同的。具体的函数 形式，必须由满足相应的齐次边界条件来确定。 例 4.3 如例 4.3 图所示，两平行无限大导体平 面，距离为 b ，其间有一极薄的导体片由 y = d 到 y = b (− x ) 。上板和薄片保持电位 U0 ，下 板保持零电位，设在薄片平面上，从 y = 0 到 y = d ， 电位线性变化， y d U y 0 (0, ) = 。（1）求板间电位的 解；（2）在板间电位的解中，除开 y d U0 一项外，其 他所有项对电场总储能的贡献，并按 2 0 2 U W C e f = 定出边缘电容。 分析 应用叠加原理，把场分解为两个场的叠加：一个是距离为 b 的两无限大平行板间 不存在薄片时，外加电压为 U0 的场；另一个是距离为 b 的两两无限大接地平行导体板间有 电位为 U0 的导体薄片时的场。 解 (1) 设板间的电位为 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) x y x y x y = + 其中， 1 ( , ) x y 为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为 U0 ）的电位，即 0 1 ( , ) U x y y b = 2 ( , ) x y 是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为： ① 2 2 ( ,0) ( , ) 0 x x b = = ② 2 ( , ) 0 ( ) x y x = → U0 x 例 4.3 图 d o b y
U.U(0≤y≤d)b③P(0,y)=(0,y)-q(0,y) =U.U.(d≤y<b)Vdh根据条件①和②，可设(xy）的通解为ZA.sim-n元y(x,y)=Jebn=l由条件③有U.U.(0≤y≤d)2sbn元yA.sin(LLbn=1(d≤y≤b)V12-l d bn元y两边同乘以sin(并从0到b对y积分，得到b2U。rd(2U1n元y-yn元yA. =)ysin()dy+d(1-Osin(JobhbJObdaa2U。bn元dsin(b(n元)d故得到p(x,y)=p(x,y)+p(x,y)U.2bU。nad1nyLy+=inesin()sin(e6d元2bb（2）在导体板（y=0）上，相应于P(xy)的电荷面密度p28.U.1nrdesin(一02=-60bay元dny=0则导体板上（沿≥方向单位长）相应的总电荷n元d26.U.0,dx= 20,dx=-2)ebdxsin(1=6n元d1=l4U.b1n元dsin(nein?b元d相应的电场储能为.2Eb2 sin()90=-W.:n=in?h元d其边缘电容为
③ 0 0 2 1 0 0 (0 ) (0, ) (0, ) (0, ) ( ) U U y y d b y y y U U y y d y b d b − = − = − 根据条件①和②，可设 ( , ) 2 x y 的通解为 2 1 ( , ) sin( )e n x b n n n y x y A b − = = 由条件③有 0 0 1 0 0 (0 ) sin( ) ( ) n n U U y y d n y b A b U U y y d y b d b = − = − 两边同乘以 sin( ) b ny ，并从 0 到 b 对 y 积分，得到 0 0 0 0 2 2 1 1 ( ) sin( )d (1 )sin( )d d d n U U n y y n y A y y y b d b a b b a = − + − 0 2 2 sin( ) ( ) U b n d n d b = 故得到 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) x y x y x y = + 0 0 2 2 1 2 1 sin( )sin( )e n x b n U bU n d n y y b d n b b − = = + （2）在导体板（ y = 0 ）上，相应于 ( , ) 2 x y 的电荷面密度 2 0 0 2 0 0 1 2 1 sin( )e n x b y n U n d y d n b − = = = − = − 则导体板上（沿 z 方向单位长）相应的总电荷 0 0 2 2 2 0 0 1 2 d 2 d 2 sin( )e d n x b n U n d q x x x n d b − − = = = = − 0 0 2 2 1 4 1 sin( ) n U b n d d n b = = − 相应的电场储能为 2 0 0 2 0 2 2 1 1 1 2 sin( ) 2 e n bU n d W q U d n b = = = − 其边缘电容为
2W。- 46.b 1.dCsih(b评注应用电位的叠加原理解边值问题时，应特别注意的是：边界条件中的电位是总的电位，因此，两部分电位叠加起来后必须满足原来的边界条件。所以，此题中，在x=0处的边界条件应为(0,y)十(0,y)=(0,y)，即(0,y)=(0,y)-(0,y)，而不是P2(0, y) =p(0, y) 。例4.4如例4.4图所示，在均匀电场E。=e,E.中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为。求导体圆柱外的电位和电场E以及导体表面的感应电荷密度d.分析在外电场E。作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场E。的电位P。与感应电荷的电位的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z无关。在圆柱面坐标系中，外电场的电位为P(r,Φ)=-E.x+C=-E.rcosΦ+C（常数C的值由参考点确定），而感应电荷的电位m(r,Φ)应与(r,）一样按cosΦ变化，而且在无限远处为0。解由于导体是等位体，所以(r,)满足的边界条件为① (a,d)=C一②p(r,)→-ErcosΦ+C (r→o)由此可设60p(r,g)=-Eorcos+Ar-lcosp+CE由条件①，有-E,acos+Aa-'cosΦ+C=C例4.4图于是得到A, =α’E.故圆柱外的电位为p(r,Φ)=(-r+a'r-")EcosΦ+C若选择导体圆柱表面为电位参考点，即β(a,Φ)=0，则C=0。导体圆柱外的电场则为apel0E=-V(r,0)=-6or-e000+)Ecoso+e.(-1+=-e,(1+)E,sindr
sin( ) 2 4 1 1 2 2 0 2 0 = = = n e f b n d d n b U W C 评注 应用电位的叠加原理解边值问题时，应特别注意的是：边界条件中的电位 是总 的电位，因此，两部分电位叠加起来后必须满足原来的边界条件。所以，此题中，在 x = 0 处的边界条件应为 1 2 (0, ) (0, ) (0, ) y y y ＋ = ，即 2 1 (0, ) (0, ) (0, ) y y y = − ，而不是 2 (0, ) (0, ) y y = 。 例 4.4 如例 4.4 图所示，在均匀电场 E e 0 0 = x E 中垂直于电场方向放置一根无限长导 体圆柱，圆柱的半径为 a 。求导体圆柱外的电位 和电场 E 以及导体表面的感应电荷密度 。 分析 在外电场 E0 作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场 E0 的电位 0 与感应电荷的电位 in 的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量 z 无关。在圆柱 面坐标系中，外电场的电位为 000 ( , ) cos r E x C E r C = − + = − + （常数 C 的值由参考点 确定），而感应电荷的电位 ( , ) in r 应与 0 ( , ) r 一样按 cos 变化，而且在无限远处为 0。 解 由于导体是等位体，所以 ( , ) r 满足的边界条件为 ① ( , ) a C= ② 0 ( , ) cos ( ) r E r C r → − + → 由此可设 1 0 1 ( , ) cos cos r E r A r C − = − + + 由条件①，有 1 0 1 E a A a C C cos cos − − + + = 于是得到 0 2 A1 = a E 故圆柱外的电位为 2 1 0 ( , ) ( ) cos r r a r E C − = − + + 若选择导体圆柱表面为电位参考点，即 (a,) = 0 ，则 C = 0 。 导体圆柱外的电场则为 1 ( , ) r r r r = − = − − E e e 2 2 2 2 0 0 (1 ) cos ( 1 ) sin r a a E E r r = − + + − + e e x y o E0 a 例 4.4 图 0
导体圆柱表面的电荷面密度为ap(r,g)=26.E.cosG=-60Or评注由于外电场E。的电位按cos规律变化，故可设感应电荷的电位im(r,)也按cos变化。根据唯一性定理，只要最终结果满足边界条件，即为正确解。这样的技巧应在解题过程中注意应用。A例4.5如例4.5图所示，一无限长介质圆柱的半径为a、介电常数为ε，在距离轴线rr>a)处有一与圆柱平行的线电荷91，计算空间各部分的电位。分析在线电荷qi作用下，介质圆柱产生极化，例4.5图介质圆柱内外的电位(r.)均为线电荷q的电位p(r,g)与极化电荷的电位,(r,)的叠加，即(r,)=(r,)+,(r,)。线电荷q,的电位为0(r,0)=-_-In R=-2In yr2+r-2rgcosg(1)2元02元80而极化电荷的电位,(r,)满足拉普拉斯方程，且是Φ的偶函数。解设介质圆柱内外的电位分别为g(r,d)=P(r,)+Pp(r,Φ), (0≤r<a)P(r,d)=p(r,g)+Pp2(r,g), (a<r<00)则(r,)和,(r,)满足的边界条件为①(0,)为有限值；(r,g) →p(r,d) (r→)②00=00?r=a时，9=，860arr由于电位分布是中的偶函数，故l(r,)和p2(r,)的通解为ZA.r"cosngPpl(r,p)=)(2)n=1
导体圆柱表面的电荷面密度为 0 0 0 ( , ) 2 cos r a r E r = = − = 评注 由于外电场 E0 的电位按 cos 规律变化，故可设感应电荷的电位 (r,) in 也按 cos 变化。根据唯一性定理，只要最终结果满足边界条件，即为正确解。这样的技巧应在 解题过程中注意应用。 例 4.5 如例 4.5 图所示，一无限长介质圆柱的 半径为 a 、介电常数为 ，在距离轴线 ( ) r0 r0 a 处， 有一与圆柱平行的线电荷 l q ，计算空间各部分的电 位。 分析 在线电荷 l q 作用下，介质圆柱产生极化， 介质圆柱内外的电位 ( , ) r 均为线电荷 l q 的电位 ( , ) l r 与极化电荷的电位 ( , ) p r 的叠加，即 ( , ) ( , ) ( , ) l p r r r = + 。线电荷 l q 的 电位为 2 2 0 0 0 0 ( , ) ln ln 2 cos 2 2 l l l q q r R r r rr = − = − + − （1） 而极化电荷的电位 ( , ) p r 满足拉普拉斯方程，且是 的偶函数。 解 设介质圆柱内外的电位分别为 1 1 ( , ) ( , ) ( , ), (0 ) l p r r r r a = + 2 2 ( , ) ( , ) ( , ), ( ) l p r r r a r = + 则 1 ( , ) r 和 2 ( , ) r 满足的边界条件为 ① 1 (0, ) 为有限值； ② 2 ( , ) ( , ) ( ) l r r r → → ③ r = a 时， 1 2 1 2 0 , r r = = 由于电位分布是 的偶函数，故 1 ( , ) p r 和 2 ( , ) p r 的通解为 1 1 ( , ) cos n p n n r A r n = = （2） x y o a l q 0 r 0 例 4.5 图
Br-ncosndPp2(r,p)=(3)n=l将式（1）～（3）带入条件③，可得到24,a"cosn=2B.a""cosng(4)n=ln=l2(4,gna+B,ona")cosn=(s-s),%R(5)ar2元60月=1当r<r时，将nR展开为级数，有(")cos ngIn R=Inr -(6)n ro带入式（5），得(6-50)(Z(4,na+B,na")cosn =--)n- cos ng(7)2元800elr由式（4）和（7)，有Ana"= B,a"(8-E0)(-)r-IA,ena"- +B,cona-"-l 2元500ro由此解得1q;(8-80)q(-8)2nBaA.:2元(8+)mr2元(+80)故得到圆柱内、外的电位分别为q(-)qi!-Jn-(")"cosng+rp(r,g) =-2rr.cosg(8)2元802元（+）nq(8-) 1,qiIn1Jr2+r-2rrcosgP(r,g)=)"cosng(9)2元802元0(6+6)n讨论：利用式（6），可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为(6-)-() cos n=g(6-6) (n R-Inr)2元（+%）台n2元8+60)q(8-8) 1,ag(6-%) (n R'-Inr)-)"cos ng=_2元（+）n0r2元（+8）
2 1 ( , ) cos n p n n r B r n − = = （3） 将式（1）～（3）带入条件③，可得到 1 1 cos cos n n n n n n A a n B a n − = = = （4） 1 1 0 0 1 0 ln ( )cos ( ) 2 n n l n n r a n q R A na B na n r − − − = = + = − （5） 当 0 r r 时，将 ln R 展开为级数，有 0 1 0 1 ln ln ( ) cos n n r R r n n r = = − （6） 带入式（5），得 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 ( ) ( )cos ( ) cos 2 n n n l n n n n q a A na B na n n r r − − − − = = − + = − （7） 由式（4）和（7），有 n n n An a B a − = 1 0 0 0 1 0 0 1 ( ) 2 ( ) − − − − − + = − n l n n n n r a r q A na B na 由此解得 n l n nr q A 0 0 0 0 1 2 ( ) ( ) + − = − ， n n l n nr q a B 0 2 0 0 0 2 ( ) ( ) + − = − 故得到圆柱内、外的电位分别为 2 2 1 0 0 0 ( , ) ln 2 cos 2 l q r r r rr = − + − 0 0 0 0 1 ( ) 1 ( ) cos 2 ( ) l n n q r n n r = − − + （8） 2 2 2 0 0 0 ( , ) ln 2 cos 2 l q r r r rr = − + − 2 0 0 0 0 1 ( ) 1 ( ) cos 2 ( ) l n n q a n n r r = − − + （9） 讨论：利用式（6），可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 1 ( ) cos (ln ln ) 2 ( ) 2 ( ) l l n n q q r n R r n r = − − − = − + + 2 0 0 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 1 ( ) cos (ln ln ) 2 ( ) 2 ( ) l l n n q q a n R r n r r = − − − = − + +
其中R=+(a2/)-2r(ar)cos。因此可将(r,)和p(r,)分别写成为 261 inR- (6-0) ingP(r,)=2元6+02元0（6+6)1-(6-)i In R'-"-1(6-0)n(r,0)=-%-In R-:2元806+802元806+802元80260-9i的电位相同，评注由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（ro，0）的电荷+606-80而介质圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：q1、位于（ro，0)：8+8位于()6-60q1、位于r=0。,0) ;6+60ro例4.6在均匀外电场E。=e.E。中放入半径为a的导体球，设（1）导体充电至U。；（2）导体上充有电荷9。试分别计算两种情况下球外的电位分布。分析这里导体充电至U。应理解为未加外电场E。时导体球相对于无限远处的电位为U。，此时导体球面上的电荷密度α=8.U。/a，总电荷q=4元6aU。。将导体球放入均匀外电场E。中后，在E。的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q仍保持不变，导体球仍为等位体。解(1)设p(r,)=P(r,)+Pm(r,)，其中Po(r,0)=-Eo==-Ercos0是均匀外电场E。的电位，Pm(r,①)是导体球上的电荷产生的电位。电位(r,の)满足的边界条件为① r→o时, (r,0)→-Ercos9;as=q@ r=a时, (a,0)=Co,-sof,%d其中C。为常数，若适当选择β(r,の)的参考点，可使C。=U。由条件①，可设(r,0)=-Eorcos0+Ar- cos0+B,r-" +C代入条件②，可得到
其中 2 2 2 2 0 0 R r a r r a r = + − ( ) 2 ( )cos 。因此可将 1 ( , ) r 和 2 ( , ) r 分别写成为 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 ( ) ( , ) ln ln 2 2 ( ) l l q q r R r − = − − + + 0 0 2 0 0 0 0 0 1 1 ( ) ( ) ( , ) ln ln ln 2 2 2 l l l q q q r R R r − − − = − − − + + 评注 由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（ 0 r , 0）的电荷 0 0 2 l q + 的电位相同， 而介质圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为： l q 、位于（ 0 r , 0）； 0 0 l q − − + 、 位于 2 0 ( ,0) a r ； 0 0 l q − + 、位于 r = 0。 例 4.6 在均匀外电场 E e 0 0 = z E 中放入半径为 a 的导体球，设（1）导体充电至 U0 ； （2）导体上充有电荷 Q 。试分别计算两种情况下球外的电位分布。 分析 这里导体充电至 U0 应理解为未加外电场 E0 时导体球相对于无限远处的电位为 U0 ，此时导体球面上的电荷密度 = 0U0 a ，总电荷 0 0 q aU = 4 。将导体球放入均匀 外电场 E0 中后，在 E0 的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷 q 仍保持不变，导体球仍为等位体。 解 （1）设 0 ( , ) ( , ) ( , ) in r r r = + ，其中 0 0 0 ( , ) cos r E z E r = − = − 是均匀外电场 E0 的电位， ( , ) in r 是导体球上的电荷产生的电位。 电位 ( , ) r 满足的边界条件为 ① r → 时， 0 ( , ) cos r E r → − ； ② r = a 时， 0 0 ( , ) , d S a C S q r = − = 。 其中 C0 为常数，若适当选择 ( , ) r 的参考点，可使 C0 = U0。 由条件①，可设 2 1 0 1 1 1 ( , ) cos cos r E r A r B r C − − = − + + + 代入条件②，可得到
A =a'Eo, B, =aU。, C,=C。-U。若使C。=U。，可得到0(r,0)=-Eor cos0+a'Eor-2 cos0+aU.r（2）导体上充电荷Q时，令Q=4元8%aU。，有QU.=4元0a利用（1）的结果，得到(r,0)=-Eor cos0+d'Eor~ cos0+4元80斤评注在有外加均匀电场时，由于无穷远处的电场不为0，不能选取无穷远点为电位参考点，因而电位表达式中含有一个任意常数。适当选取有限远处的某一点为电位参考点，则该常数即为确定值。虽然选择不同的点为电位参考点时，会使电位的值不同，但不会影响空间的电场分布，也不会影响导体球面上电荷分布。例4.7如例4.7图所示，无限大的介质中外加均匀电场E。=e.E。，在介质中有一个半径为α的球形空腔。求空腔内、外的电场E和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为6)。E分析在电场E。的作用下，介质产生极例4.7图化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加电场E。与极化电荷的电场E，的叠加。空腔内、外的电位在空腔的表面上满足电位的边界条件。解设空腔内、外的电位分别为9(r,の)和P(r,の)，则边界条件为① r→o0时,P(r,)→-Ercos;②r=0时，(r,の)为有限值：001=600③ r=a时, 0(a,0)=P(a,0),60rar由条件①和②，可设0(r,0)=-Eor cos0+ A,rcos
0 3 A1 = a E ， B1 = aU0 ，C1 = C0 −U0 若使 C0 = U0 ，可得到 3 2 1 0 0 0 ( , ) cos cos r E r a E r aU r − − = − + + （2）导体上充电荷 Q 时，令 0 0 Q aU = 4 ，有 0 0 4 Q U a = 利用（1）的结果，得到 3 2 0 0 0 ( , ) cos cos 4 Q r E r a E r r − = − + + 评注 在有外加均匀电场时，由于无穷远处的电场不为 0，不能选取无穷远点为电位参 考点，因而电位表达式中含有一个任意常数。适当选取有限远处的某一点为电位参考点，则 该常数即为确定值。虽然选择不同的点为电位参考点时，会使电位的值不同，但不会影响空 间的电场分布，也不会影响导体球面上电荷分布。 例 4.7 如例 4.7 图所示，无限大的介质 中外加均匀电场 E e 0 0 = z E ，在介质中有一个 半径为 a 的球形空腔。求空腔内、外的电场 E 和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常 数为 ）。 分析 在电场 E0 的作用下，介质产生极 化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的 电场 E 为外加电场 E0 与极化电荷的电场 E p 的叠加。空腔内、外的电位在空腔的表面上满 足电位的边界条件。 解 设空腔内、外的电位分别为 1 ( , ) r 和 2 ( , ) r ，则边界条件为 ① r → 时， 2 0 ( , ) cos r E r → − ； ② r = 0 时， 1 ( , ) r 为有限值； ③ r = a 时， 1 2 1 2 0 ( , ) ( , ), a a r r = = 由条件①和②，可设 1 0 1 ( , ) cos cos r E r A r = − + o a z E0 0 例 4.7 图
P2(r,0)=-Eor cos0+ Ar-2 cos0带入条件③，有A,a=Aa-2,-8E+80A=-E-26aA由此解得- E, A ---oa'E.A =2+6026+80所以36Eorcoso0(r,0)=28+806-0(2)JEorcoseP2(r,0)=-[1+ -25+60空腔内、外的电场为3E.E, =-Vq(r,0):28+80E =-V0(r,0) =E,-(20)()[e,2cos0+e,sin)26+80空腔表面的极化电荷面密度为O, =-nP|r=a =-(8-80)e,·E2 r=0_36(6-60) E. cos026+60评注空腔内为均匀电场，而且大于外加电场，这是1q由于空腔表面的极化电荷在空腔中产生的电场是与外加qxx10电场方向一致的均匀场：极化电荷在介质中产生的电场-X4（-)E的电偶极则与一个电偶极矩为-e:28+60子所产生的电场相同。例4.8图例4.8一个点电荷9与无限大导体平面距离为d，如果把它移到无穷远处，需要作多少功？分析点电荷位于接地导体平面附近时，导体平面上有感应电荷。先利用镜像法求出感应电荷产生的电场E，然后由W。=『，qE·dr计算出电场所作的功。解当点电荷9移动到距离导体平面为x的点P处时，其像电荷q'=-q，与导体平面相距为x=-x，如例4.8图所示。像电荷q在点P处产生的电场为
2 2 0 2 ( , ) cos cos r E r A r − = − + 带入条件③，有 2 1 2 − A a = A a ， 3 0 0 0 1 0 2 E A E a A 2 − − + = − − 由此解得 0 1 0 0 2 A E − = − + ， 0 3 2 0 0 2 A a E − = − + 所以 1 0 0 3 ( , ) cos 2 r E r = − + 0 3 2 0 0 ( , ) [1 ( ) ] cos 2 a r E r r − = − + + 空腔内、外的电场为 1 1 0 0 3 ( , ) 2 r = − = + E E 2 2 E = − ( , ) r 0 0 3 0 0 ( ) ( ) [ 2cos sin ] 2 r E a r − = − + + E e e 空腔表面的极化电荷面密度为 2 0 2 ( ) p r a r r a = − = − − n P e E = = 0 0 0 0 3 ( ) cos 2 E − = − + 评注 空腔内为均匀电场，而且大于外加电场，这是 由于空腔表面的极化电荷在空腔中产生的电场是与外加 电场方向一致的均匀场；极化电荷在介质中产生的电场 则与一个电偶极矩为 0 0 3 0 0 4 ( ) 2 z E a − − + e 的电偶极 子所产生的电场相同。 例 4.8 一个点电荷 q 与无限大导体平面距离为 d ，如果把它移到无穷远处，需要作多 少功？ 分析 点电荷位于接地导体平面附近时，导体平面上有感应电荷。先利用镜像法求出感 应电荷产生的电场 E ，然后由 d e d W q = E r 计算出电场所作的功。 解 当点电荷 q 移动到距离导体平面为 x 的点 P 处时，其像电荷 q = −q ，与导体平面 相距为 x = −x ，如例 4.8 图所示。像电荷 q 在点 P 处产生的电场为 x x x − x q q 例 4.8 图 o