《电磁场》课程教学资源_教学教案_第二章 电磁场中的基本物理量

第一章电磁场中的基本物理量和基本实验定律主要内容：在静止、稳定条件下确立：J分布电荷（C/m）的概念【分布电流J（A/m）库仑定律/电场强度E安培定律/磁感应强度B电磁场头量计算积分公式2.1电荷气电分有【静止质量m=9.107×10-3kg电子电荷量e=-1.602x10-19c自然界最小粒子【静止质量m，=1.673×10-27kg质子电荷量e=+1.602×10-19c精确地说，任何带电物体的电量都是以e为正负整数倍微观上：与物体质量一样，电荷以离散方式分布于空间工程上：可以认为电荷以连续的方式分布于空间。（或某个体积之内）电荷密度：AqC/m2.1.1电荷分布：p(r)=limAr-0AT是空间位置的连续分布函数。----构成标量场2.1.2某体积中的总电量：9=p(r)dtAq若分布在几何面上=面分布：(r)=lim45-0 A5Aq若分布在空间线上→线分布：p(r)=limN0面分布总电量：q=o(r)ds2.1.3°1 2.1.4*线分布总电量：q=J,p()dl单位分别为库/米2（C/m2）和库/米2（C/m）

第二章 电磁场中的基本物理量和基本实验定律 主要内容: 在静止、稳定条件下确立： 3 2 / ( / ) / / C m J A m E B         分布电荷（ ）的概念 分布电流 库仑定律 电场强度 安培定律 磁感应强度 电磁场矢量计算积分公式 §2.1 电荷与电荷分布 31 19 27 19 9.107 10 1.602 10 1.673 10 1.602 10 e p m kg e C m kg e C − − − −   =      = −     =     = +   静止质量 电子 电荷量 自然界最小粒子 静止质量 质子 电荷量 精确地说，任何带电物体的电量都是以 e 为正负整数倍 微观上：与物体质量一样，电荷以离散方式分布于空间 工程上：可以认为电荷以连续的方式分布于空间。（或某个体积之内） 电荷密度： 3 0 / 2.1.1 lim q r C m    →   =  电荷分布：（ ） 是空间位置的连续分布函数。-构成标量场 0 0 ( ) 2.1.2 ; ; ( ) 2.1.3 ( ) 2.1.4 lim lim S l l S l l q r d q r S q r l q r dS q r dl         →  →   =   =    =  = =    某体积中的总电量： 若分布在几何面上 面分布： （ ） 若分布在空间线上 线分布： （ ） 面分布总电量： 线分布总电量： 单位分别为库/米 2（C/m 2）和库/米 2（C/m）

点电荷的场与概念点电荷：将电荷量q想象集中在几何点上。理论分析电磁场时此概念非常重要。a从极限的观点如果电荷q集中分布于几何点必有：p()=lim=804r0 △1or+r点电荷可用函数表示：密度p=q·S(r-)其中：8(r-)=Or=ro例题2. 1. 1某一电子束,其电荷体密度为p=-5*10-6exp(-10102）C/m2（柱面坐标）求 z轴上单位长度内两平行面体积空间的电荷量。解：先定性作图，『=0,p=-5；r=80,p=0体积元：dt=2元rdrdz空间的总电荷量： q=J,p(F)dt=J°d-J (-5x10~e-10)2元rdr=-10元 ×10-(}-10-10) ] e-10" [10°dr =5元×10-16Cq=Qe-10- [0 =9[e- -1]= 0.630对于r=10~5m的园柱：可见大部分电荷均集中于该圆柱内，故对于远场区来讲，可认为全部电荷仅均匀分布于此小圆柱内，即：[5×1066C/m2rro称r=ro为电子束的有效作用半径。另外由于o非常细小，对于远场区，也可看成为线电荷：AO_POASA=Po元r2=-5×10pC/mP, =Nm=10-3mm毫米、mC毫库常用的单位;μ=10° Lm微米、UIC微库n=10-9nm纳米、nC纳库p=10-12pf皮法、pC皮库

点电荷的场与概念 点电荷：将电荷量 q 想象集中在几何点上。理论分析电磁场时此概念非常重要。 0 0 0 q r lim q r    →  = =   从极限的观点如果电荷 集中分布于几何点 必有：（ ） 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 r r r r q r r     r r   =  =   = − −  点电荷可用 函数表示：密度 其中： 例题 2.1.1 某一电子束,其电荷体密度为 = − − exp(-10 10 r 2 ) C/m 3 (柱面坐标) 求 z 轴上单位长度内两平行面体积空间的电荷量。 解：先定性作图，r =0, = -5 ; r =∞, = 0 ( ) 10 2 10 2 1 6 10 0 0 6 10 10 10 2 0 16 2 ( ) 5 10 2 1 10 10 10 10 2 5 10 r r d rdrdz q r d dz e rdr e d dr C          − −  − − − − = = = −    = −    =         = −      体积元： 空间的总电荷量： 对于 r=10-5 m 的园柱: 5 10 2 10 10 1 0 1 0.63 r q Qe Q e Q − − − = = − =     可见大部分电荷均集中于该圆柱内，故对于远场区来讲，可认为全部电荷仅均匀分布于此小 圆柱内，即： 6 2 0 0 5 10 / 0 Q C m r r V r r   −   = =    称 r=r0 为电子束的有效作用半径。 另外由于 r0 非常细小，对于远场区，也可看成为线电荷： 0 2 4 0 0 3 6 9 12 5 10 / 10 10 10 10 l Q S l r pC m l l m mm mC m C n nm nC p pf pC        − − − − −    = = = = −    = = = = 毫米、 毫库 微米、 微库 常用的单位： 纳米、 纳库 皮法、 皮库

82.2电流与电流密度电荷流动→电流：量纲：C/m3sg_dg定义：1(0-lim一2.2.1恒定电流：电荷流动不随时间变化I为恒定值为了描述体积分部电荷在空间各处的流动状态在垂直与电流运动的方向取面元AS流过的电流为△I则矢量J（方向为正电荷移动的方向）：j-==limA/m2.2.3（体积电流密度）45-045电流密度的速度表示：设At时间内Ag的流动距离为△1则小柱体中电荷为：pAr=pASA1：在At时间内全部通过AS流走，故有：ASAAqN=AAtAtlimN→0N:J=..运动电荷体密度=pvAS或j=pi2.2.4电流的其它定义若空间存在多种运动电荷p速度为vi则总电流密度J-p·2.2.51-1I =[J(r)-ds电流定义：2.2.6i(t)=[J(r,t)·asS电荷流动场中电流密度矢量在某一面积上的通量例题2.2.1中，如果给出的是速度v则可用2.2.4式求出J(r)=pv;进而根据2.2.6式积分算出电流的大小表面电流：实际中电荷在薄层中流动的现象。可抽象的认为是在某个几何面（厚度为零）流动的电流。表面电荷运动形成的电流

§2.2 电流与电流密度 电荷流动→电流；量纲：C/m3s 恒定电流：电荷流动不随时间变化 I 为恒定值 为了描述体积分部电荷在空间各处的流动状态在垂直与电流运动的方向取面元S 流过 的电流为I 则矢量 J(方向为正电荷移动的方向)： 0 / 2.2.3 ( ) lim S I J J A m  → S  = =  体积电流密度 电流密度的速度表示： 设t 时间内q 的流动距离为l 则小柱体中电荷为：=Sl; 在t 时间内全部通过S 流走，故有： lim 0 2.2.4 t q S l I v S t t I J v S J v      →     = =      = =  = = 运动电荷体密度 或 电流的其它定义 若空间存在多种运动电荷速度为 vi 电荷流动场中电流密度矢量在某一面积上的通量 例题 2.2.1 中，如果给出的是速度 v 则可用 2.2.4 式求出 J r v ( ) ; =  进而根据 2.2.6式积分算出电流的大小 表面电流: 实际中电荷在薄层中流动的现象。 可抽象的认为是在某个几何面（厚度为零） 流动的电流。 表面电荷运动形成的电流

表面电荷密度：（在表面电流场中取工的运动方向）A安米AIIIIIII类似地有：J,=o41任意表面线元△表面电流：AI显见有角度因素存在即：L I I&N = J N= JA.sina其中α为与的夹角。041由于:sinα=nsinα=(×)故有： N=[(i)×(,)=(×J)2.2.10任意有向曲线穿过的电流：1=[,n(di×J,)=,Js(nxdi)2.2.11轮换法则成立: A(BxC)=C(AxB)=B.(C×A)例题2.2.1表面电流J=(exy+eyx)A/m计算空间（2,1）及（5,1)间的线段电流。k=0才由力线方程：dr×F()=0,或k=l作图法dxdyk=2dzK=0分解因子有：有：(x-y) (x+y)=0F(F)F()F(F)(wy3方向：与间向Kml_-y2x=1.myA=inf.y=+/-图2.2.3Js=ety+erx的力线图显然：di=é.dx（：y恒定，仅沿x移动）法线方向n=é.,于是：I=J,(e.y+e,x).(e.xé,dx)=fom xdx=10.5mA正联叉乘法则ex,é,,é,,ex,éy,é.二一逆序取负一

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin ( ) 2.2.10 2.2.11 S S S l l n n n l j I n l l jJ n l J I n dl J J n dl A B C C A B B C A   = =   =   =       =  =   =  = •    由于： 故有： 任意有向曲线穿过 轮换法则成立 的电流： ： 例题 2.2.1 表面电流 J=(exy+ eyx)A/m,计算空间（2,1）及(5,1)间的线段电流。 ( ) ( ) 0.05 0.02 x , 10.5 , , , , , x z x y z x l dl e dx y n e I e y e x e e dx xdx mA x y z x y z e e e e e e       = = = + •  = =   逆序取负 正序取正 显然： （ 恒定，仅沿 移动）法线方向 于是： 叉乘法则： I l

线电流及电流的类型·线电流：电荷在一根很细的导线中流动，导线的截面积很小时的电流。近似认为是无限细：I=pr电流是由电荷运动产生的。根据载体的不同可分为：体电流J---在体积元中面电流Js---在表面元中线电流J1--在线元中运动的驱动力：来源于外界的各种源如机械能、热能、化学能、光能、电磁能（感应）82.3电流连续性方程：分析空间取任意闭合面S（包围的体积为V）闭合面流出的总电流=j(r,1)·ds=-d2.3.1电荷守恒dt（每秒从t穿过S跑到外部的电荷数）=V中电荷减少率利用高斯定理及电荷密度定义有：0Iod-- l oc.r-4p(r,t)dt2.3.2Jrat由于体积任意并可随意减小，上式的被积函数必然相等：aV. J(r,t)=-2.3.3ar0(r,).j.ds-0op=0对于恒定电流的场，I不随时间变化=2.3.4atV.J-0/*穿出闭合面的恒定电流=0有入有出，动态平衡*场为无散度场对于表面电流分布的场也有类似的结果raaas对于时变电流U(nxal)as=-3Jsat[0对于恒定电流上述表示式即为电流连续性方程。习题：思考2.1/2.2：比较2.3/2.4的差别并完成其中题

线电流及电流的类型 • 线电流：电荷在一根很细的导线中流动,导线的截面积很小时的电流。 电流是由电荷运动产生的。 根据载体的不同可分为：体电流 J -在体积元中 面电流 Js -在表面元中 线电流 Jl -在线元中 运动的驱动力：来源于外界的各种源如 机械能、热能、化学能、光能、电磁能（感应） §2.3 电流连续性方程： 分析空间取任意闭合面 S(包围的体积为 V) ( , ) 2.3.1 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2.3.2 2.3.3 s dq J r t dS dt S J r t r t V J r t d r t d r t d t t t I            = • − =   • = −     • = − = −    =    电荷守恒 闭合面流出的总电流 每秒从 穿过 跑到外部的电荷数 中电荷减少率 利用高斯定理及电荷密度定义有： 由于体积 任意并可随意减小，上式的被积函数必然相等： 对于恒定电流的场， 不随时间变化 0 0 2.3.4 0 S J dS t J   • =  =     • =  *穿出闭合面的恒定电流=0 / 有入有出，动态平衡 *场为无散度场 上述表示式即为电流连续性方程。 习题：思考 2.1/2.2 ；比较 2.3/2.4 的差别并完成其中一题

$2.4电场强度、库仓定律电场强度定义：单位电荷在电场中受的力即：F→静电力（N，牛顿）E-V / m(伏/米)lim9→静止试验电荷（C库仑）不就品金男费库仑从实验上（1785年静电场基础实验）总结了真空中两点电荷间的作用规律得到：RqiQ2g192g192F=Re.2.4.24nE,R3r248R?其中：R=r2-rl,q2为实验电荷电场强度的尘标表示将库仑定律中的实验电荷用定义除去即可得到。qqRE=2.4.3eR:4元,R24元R31_Ra(1=eRR"RRaR(RR-a-q:E(r,r)=-2.4.4R4元604元0库仓定律的重要结论：点电荷周围的电场强度（1）与距离平方成反比：（2）与源点的电荷量成正比（3）源场满足叠加原理。即如果有源4,产生场E;(=1,n)则：总场E-之三,i=l评论：库仑当时的实验方法并不准确，麦克斯韦证明平方定律中的2误差小于1/21600近代物理实验（1936）近一步证明正确性大于10-9g志为大于零的正数4n8.R2-eR例题2.4.1电偶极子的场及电力线方程

§2.4 电场强度、库仑定律 电场强度定义：单位电荷在电场中受的力即: , 0 ( ) / ( / ) lim N q C F E V m q → → → = 静电力（ 牛顿） 引入的试验电荷 静止试验电荷（ 库仑） 不影响源电荷的分布 伏 米 库仑从实验上（1785 年静电场基础实验）总结了真空中 两点电荷间的作用规律得到： 其中：R=r2 - r1 , q2 为实验电荷 电场强度的坐标表示 -将库仑定律中的实验电荷用定义除去即可得到。 2 3 0 0 2 3 ' ' 0 0 2.4.3 4 4 1 1 1 1 1 ( , ) 2.4.4 4 4 R R R q q E e R R R R e e R R R R R q q E r r R r r     = =       = = − =            − −    =  =         −   库仑定律的重要结论：： 点电荷周围的电场强度（1）与距离平方成反比；（2）与源点的电荷量成正比（3）源场满 足叠加原理。 1 ( 1, ) n i i i i q E i n E E = 即如果有源 产生场 = = 则：总场  评论：库仑当时的实验方法并不准确，麦克斯韦证明平方定律中的“2”误差小于 1/21600 近 代物理实验（1936）近 一步证明正确性大于 10-9 例题 2.4.1 电偶极子的场及电力线方程

电偶极子是由相距极近的正负电荷组成，空间的场可从场的定义及叠加原理得到。==(()-()N: R- =(r2 +/? -2rlcos0)-（余弦定理）1_21cos0)-R11R-L（二阶穷小号略去）r1IcoseR-1~泰勒展开：(1±x)~1±αxr2r(Icose)qlcosaqlsing-q-E=y224元802元80r34元60rxe.aaa球坐标：V=é,arra0rsingap(-q 0 +q)2.4.7通常偶极子定义为：P=ql(qlcoso)1(p·r)1E=(P.rP)VVV(p.r)r24元804元804元分步微分[3(P.)1p（p=qi为常矢量）-2.4.8rsr34元8di=kF(FαE)力线方程：球坐标：édr+égrdo+érsinodp=K(é,E,+é.E+éE)故有：5rdo_1sinoE,dr2coseK.E=drdsin1 dr对比有：K·E.=rdosing2rK.E=rsinadpr=csin*0=c(1-cos20)

电偶极子是由相距极近的正负电荷组成， 空间的场可从场的定义及叠加原理得到。 0 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 3 3 0 0 0 1 1 4 ( 2 cos ) ) 1 2 cos 1 1 cos (1 ) 1 cos cos sin 4 2 4 r r q E R r R r l rl l R r r l R x x r r q l ql ql E e e r r r e e r               − − − − − −       =  −              = + −    −      +    −   =  = +       = +  2 2 a r （余弦定理 （二阶穷小 略去） 泰勒展开： 球坐标： sin e r r       +   通常偶极子定义为：p=ql (-q  +q) 2.4.7 ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 0 0 0 ( ) 5 3 0 1 cos 1 1 1 1 4 4 4 1 3 2.4.8 4 ( ) sin ( ) p ql r r r ql p r E p r p r r r r r p r p r r r dl kF F E e dr e rd e r d K e E e E e E               =       • = −  = −  − •  +  •               • ⎯⎯⎯⎯⎯→ −     =  + + = + + =分步微分 为常矢量 力线方程： 球坐标： 对比 ( ) 2 ' 1 sin 2 cos sin 1 sin 2 sin sin 1 cos 2 r r E rd E dr K E dr d dr K E rd r K E r d r c c              = =   =    =   =   =  = = − 故有： 有： z P R1 r +q  -q y x

E处处垂直与VC增加V<OY图2.4.3电偶极子场图电偶极子力线1点电荷在库仑场中的受力情况：fJ,=qEOrxE0设原点为O,任意点电荷q在r处则q对O点的电矩为=q·产库仑力矩：=×=q×对于电偶极子：Edidi,=+=qE(+9)-qE(r_CO22o直角坐标= fae+fue,+fae讨论x方向分量：0<u-+3 =g8,(F+4)di2)-9(F-2根据微分定义/(x+Ax)=(x)+(x)Ax展开有：aidiJ=gE()+VE,()-E(D+VE(D)22=qdl.VE,(D)=p.VE,()

电电偶偶极极子子力力线线 点电荷在库仑场中的受力情况： q O, q r O T ( ) ( ) 2 2 q q q qx x qy y qz z f qE q q r r f qr E dl dl f f f qE r qE r f e f e f e + − = = • =  =  = + = + − −  + + 直角坐标 设原点为 任意点电荷 在 处则 对 点的电矩为 库仑力矩： 对于电偶极子： 讨论 x 方向分量： E q fq r r x E O E +q fq r+ -q r- o

类似有：Jg=P·VE,(F);J=P.VE(F)故有：J=[E(),+E,(),+[EE()e=(.)E(r)边些类量→(·(F)对于偶极子的转动力矩*：1x1=LxxE（+T=qdi×E()=pxE(r)(中心近似)-Er222外场为均匀场时：V(p·E)=0故f,=0力矩：T=pxE练习：绕原点库仑力矩T,=#xi+x=F+[+[x(+[]A2=rx(P.V)E+PxE()可见在均匀外场的作用下，电偶极子转向E并向电场较强的方向移动。52.5安培定律，建捷应实验表明：库仑力作用的空间必然存在电场电统回路（1)受另一电流回路库仑作用-共存，静态场可分开讨论。R2- 4off Lal x(badl er)R24元J0,J0z对换下标可得回路2对回路1的作用力

对于偶极子的转动力矩*： q 0 T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ( ) 0 0 q q l l l l l f f q E r E r qdl E r p E r p E f T p E + −   =  −  =  + − − =  =       •   =  中心近似 外场为均匀场时： 故 力矩： 2 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) q dl dl T r f r f r f r f dl qdl r f f f f r p E E E r p E p E r E + + − − + − + − + − + −     =  +  = +  + −          =  + +  − =  • +  −             =  • +  练习：绕原点库仑力矩 可见在均匀外场的作用下，电偶极子转向 并向电场较强的方向移动。 §2.5 安培定律，磁感应 实验表明：库仑力作用的空间  必然存在电场 电流回路 (1)受另一电流回路库仑作用 (有电荷） (2)安培力-共存， 静态场可分开讨论。 对换下标可得回路 2 对回路 1 的作用力

显见：F1=-F（满足牛顿第三定律）Fa=ffara可将2.5.1改写为2.5.2(a)Cc则: df,- "oLdl,x(a xa)2.5.2(6)R24元of f Ldl,x(idixe)F2 =4R?4元J0,J2C2Cidlz12dliK2.Y2,Z2RXi,y,zZi1P图2.5.1回路C和C2间的安培力0理论上可以认为是孤立电流元I1dl1对另一个孤立电流元I2dl2的安培力。对换1，2则：adlxeR)uo一dF,-dF21R4元可见并不满足牛顿第三定律孤立直流电源不存在。记任何电流元产生的磁场为：dB=H(lalxR)2.5.34元R3三者间满足有手螺旋定则一比奥-萨定律

理论上可以认为是孤立电流元 I1dl1 对另一个孤立电流 元 I2dl2 的安培力。对换 1，2 则: 可见并不满足牛顿第三定律  孤立直流电源不存在