《电磁场》课程教学资源_习题训练_第九章 电磁波辐射

第九章电磁波辐射9.1设元天线的轴线沿东西方向放置，在远方有一移动接收台停在正南方而收到最大电场强度，当电台沿以元天线为中心的圆周在地面移动时，电场强度渐渐减小，问当电场强度减小到最大值的/Z时，电台的位置偏离正南多少度？解元天线（电基本振子）的辐射场为Idl sineoe-jkrE=ej24rV60可见其方向性函数为(0,)=sinO，当接收台停在正南方向（即の=90）时，得到最大电场强度由1sing=V2得0=450此时接收台偏离正南方向±45°。9.2上题中如果接收台不动，将元天线在水平面内绕中心旋转，结果如何？如果接收天线也是元天线，讨论收发两天线的相对方位对测量结果的影响。解如果接收台处于正南方向不动，将天线在水平面内绕中心旋转，当天线的轴线转至沿东西方向时，接收台收到最大电场强度，随着天线地旋转，接收台收到电场强度将逐渐变小，天线的轴线转至沿东南北方向时，接收台收到电场强度为零。如果继续旋转元天线，收台收到电场强度将逐渐由零慢慢增加，直至达到最大，随着元天线地不断旋转，接收台收到电场强度将周而复始地变化。当接收台也是元天线，只有当两天线轴线平行时接收台收到最大电场强度：当两天线轴线垂直时接收台收到的电场强度为零；当两天线轴线任意位置，接收台收到的电场强介于最大值和零值之间。9.3如题9.3图（1）所示一半波天线，其上电流分布为11I = Im cos(kz)>时元cos(cos0)A=HolmeJko2sin?2元k（2）求远区的磁场和电场：（3）求坡印廷矢量：（4）已知元2元COs(=cOsの)2d0=0.609sine求辐射电阻；（5）求方向性系数

第九章 电磁波辐射 9.1 设元天线的轴线沿东西方向放置，在远方有一移动接收台停在正南方而收到最大 电场强度，当电台沿以元天线为中心的圆周在地面移动时，电场强度渐渐减小，问当电场强 度减小到最大值的 1 2 时，电台的位置偏离正南多少度？ 解 元天线（电基本振子）的辐射场为 0 0 sin 2 jkr Idl j e r      − E e = 可见其方向性函数为 f ( , ) sin    = ，当接收台停在正南方向（即 0  = 90 ）时，得到最大 电场强度 由 1 sin 2  = 得 0  = 45 此时接收台偏离正南方向 0 45 。 9.2 上题中如果接收台不动，将元天线在水平面内绕中心旋转，结果如何？如果接收天线 也是元天线，讨论收发两天线的相对方位对测量结果的影响。 解 如果接收台处于正南方向不动，将天线在水平面内绕中心旋转，当天线的轴线转至 沿东西方向时，接收台收到最大电场强度，随着天线地旋转，接收台收到电场强度将逐渐变 小，天线的轴线转至沿东南北方向时，接收台收到电场强度为零。如果继续旋转元天线，收 台收到电场强度将逐渐由零慢慢增加，直至达到最大，随着元天线地不断旋转，接收台收到 电场强度将周而复始地变化。 当接收台也是元天线，只有当两天线轴线平行时接收台收到最大电场强度；当两天线轴 线垂直时接收台收到的电场强度为零；当两天线轴线任意位置，接收台收到的电场强介于最 大值和零值之间。 9.3 如题 9.3 图（1）所示一半波天线，其上电流分布为 ( ) 1 1 cos ( ) 2 2 m I I kz z = −   （1）求证：当 0 r l  时 0 0 2 0 cos( cos ) 2 2 sin jkr m z I e A kr      − =  （2）求远区的磁场和电场； （3）求坡印廷矢量； （4）已知 2 2 0 cos( cos ) 2 d 0.609 sin      =  求辐射电阻； （5）求方向性系数

NI,d1=元/2r1/2题9.3图（1）解（1）沿z方向的电流"：在空间任意一点P(r,①)产生的矢量磁位为A (6,0)=1e-k-dz4元_12 r假设>>，则[r~r-zcosal~+zcoso11~1rrr将以上二式代入4(6，0)的表示式，得cos(k)e-krcos(k-)eHolmA. (r,0)=4元rorocos(k)e-(o-=coso)cos(kz)e-(+cos)Holm4元roroHolme[cos kz (ejkcoso +e-jkcos) dz4元4. (r0,0)= 40/mme-jkr[2cos(k=)cos(kzcos0)dz4元10Holm e-Jko(cos[ k-(1+cos0)]+cos[k (1-cos0)7)d4元cos）(1+cos)cos(cos)coscos)Molsin’esin’04元10LcosO)cos(Holmsin?2元kr由此得证

1 I dz 2 r 1 r 0 r  l /2 l /2 l =  /2 z 题 9.3 图（1） 解 （1）沿 z 方向的电流 z I 在空间任意一点 0 P r( , )  产生的矢量磁位为 ( ) / 2 0 0 / 2 , 4 l jkr z z l I e A r dz r    − − =  假设 0 r l  ，则 1 0 2 0 cos cos r r z r r z     −    + 1 2 0 1 1 1 r r r   将以上二式代入 ( ) 0 , A r z  的表示式，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 0 0 / 2 0 0 0 0 / 2 0 0 / 2 cos cos 0 0 0 0 / 2 0 cos cos 0 0 cos cos , d d 4 cos cos d 4 cos d 4 l jkr jkr m z l l jk r z jk r z m l m jkr jkz jkz I kz e kz e A r z z r r I kz e kz e z r r I e kz e e z r            − − − − − − + − −     = +           = +       = +         ( ) ( ) ( ) 0 / 2 0 0 0 0 , 2cos cos cos d 4 l m jkr z I A r e kz kz z r     − =   ( ) ( )  0 / 2 0 0 0 cos 1 cos cos 1 cos d 4 l m jkr I e kz kz z r     − = + + −          ( ) ( ) 0 0 2 2 0 1 cos cos( cos ) 1 cos cos( cos ) 2 2 4 sin sin m jkr I e r           −   − +   = +       0 0 2 0 cos( cos ) 2 2 sin m jkr I e kr      − = 由此得证

（2）远区的磁场和电场为ersinderoe.aaa111VXA:H=a0asarorsingHloArsingAroA.而A, = A. cosOAg=-A, sinGA,=0得元cos)cos(Ime-jkga2H.(rA, sing)2元0singoroOroH,=0,H。=0由麦克斯韦方程1E=-VxHjos得E,=nH,= jle cos(co0)2元10sinE,=0,E=0由远区场的表示式，可得其方向性函数为元cos(=cosの)2f (0)=sing在极坐标系下E面和H面的方向图如题9.3图（2）所示。ZEA北EXE面方向图H面方向图题9.3图（2）（3）平均坡印廷矢量为S.=ReExH*n

（2）远区的磁场和电场为 0 0 2 0 0 0 0 0 0 sin 1 1 1 sin sin r r r r r r A r A r A               =  =    e e e H A 而 cos sin 0 r z z A A A A A     = = − = 得 ( ) 0 0 0 0 0 0 cos( cos ) 1 2 sin 2 sin jkr m z I e H r A j r r r        −  = =   0, 0 H H r = = 由麦克斯韦方程 1 j E H =   得 0 0 0 0 cos( cos ) 2 2 sin jkr m I e E H j r         − = =  0, 0 E E r = =  由远区场的表示式，可得其方向性函数为 ( ) cos( cos ) 2 sin f     = 在极坐标系下 E 面和 H 面的方向图如题 9.3 图（2）所示。 y z  E x y E  E 面方向图 H 面方向图 题 9.3 图（2） （3）平均坡印廷矢量为 1 Re 2 av  =      S E H

-[E = .cos(gcoso)2r8元1sin（4）由总辐射功率cos(cos)2 nl22.ds=rsinedede-018元sin’e2元-cos0)ocos12PRde=4元sine20故辐射电阻-cos0)-cos①)cos?x/2COsnono222R, =de-de2元sing2元sine由题给条件元("cosの)x/2cosLdo=0.609sine0所以%×0.609 = 73(2)R, =元（5）方向系数D-PP（最大辐射方向考察点的电场强度相等）式中Po表示理想无方向性天线的辐射功率，P表示考察天线的辐射功率，于是[Em P,=4元2.S=4元2no元-cos90°cos(no/me-Jikanoli12=4元2nosin 90°2元2元cos'( cos 0)221.n132dsrsinodedpsin"e08元alipcos'(gcos0)cos①)2xCOs701222de=desing2元sin4元则1Po1D:=1.64P0.609Tcos)Cosdesine

2 2 2 0 2 2 2 0 0 cos ( cos ) 1 1 2 2 2 8 sin m av I E H E r          S = = =  （4）由总辐射功率 2 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 0 2 0 cos ( cos ) 2 d sin d d 8 sin cos ( cos ) 1 2 d 4 sin 2 m av s m m r I P r r I I R                =  =  = =     S S 故辐射电阻 2 2 / 2 0 0 0 0 cos ( cos ) cos ( cos ) 2 2 d 2 d 2 sin 2 sin Rr               = =   由题给条件 2 / 2 0 cos ( cos ) 2 d 0.609 sin      =  所以 ( ) 0 0.609 73 R r   =  =  （5）方向系数 P0 D P = （最大辐射方向考察点的电场强度相等） 式中 P0 表示理想无方向性天线的辐射功率， P 表示考察天线的辐射功率，于是 0 2 2 2 max 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 4 4 2 cos( cos90 ) 1 2 4 2 2 sin 90 2 jkr m m E P r r I e I r j r           − =  =      =    =       S 2 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 0 cos ( cos ) 2 d sin d d 8 sin m av s I P r r         =  =     S S 2 2 2 2 / 2 0 0 0 0 cos ( cos ) cos ( cos ) 2 2 d d 4 sin 2 sin m m I I               = =   则 0 2 / 2 0 1 1 1.64 0.609 cos ( cos ) 2 d sin P D P      = = = = 

用分贝表示D= 10loglo 1.64 = 2.15(dB)9.4半波天线的电流振幅为1A，求离开天线1km处的最大电场强度。解半波天线的电场强度为元cos)Eg= o/me-ko cos(12元rsine=90%=1×10（m）代入上式，得可见，当0=90°，时电场为最大值。将60[Em / = 10 /m =-= 60×10-3 (V/m)1032元2α=900d=X9.5在二元天线阵中，设求阵因子方向图。解在如题9.5图中，天线0和天线1为同类天线。其间距为d，它们到场点P的距离,=ml.e-j分别为和。天线0和天线1上的电流关系为当考察点远离天线计算两天线到P点的距离采用=ro，计算两天线到P点的相位差采用=-dsingcosp则天线1的辐射场到达P点时较天线0的辐射场超前相位=kdsinocosp-αZ4P(r,0.0)天线01V天线题9.5图天线0和天线1在P点产生的总的辐射场为E=E+E,=E.(1+me/)其模为[E|=|E +E|=E (1+ me)=E//1+m2+2mcosy=E/ /1+m+2mcos(kdsincosΦ-α)=Elf(0,g)式中f(0,g)= 1+m2+2mcos(kd sinocosp-α)

用分贝表示 ( ) 10 D = = 10log 1.64 2.15 dB 9.4 半波天线的电流振幅为 1A，求离开天线 1km 处的最大电场强度。 解 半波天线的电场强度为 0 0 0 cos( cos ) 2 2 sin jkr m I e E r       − =  可见，当 0  = 90 ，时电场为最大值。将 ( ) 0 3 0  = =  90 , 1 10 r m 代入上式，得 ( ) 0 3 max 3 0 60 60 10 V/m 2 10 m I E r   − = = =  9.5 在二元天线阵中，设 0 , 90 4 d  = =  ，求阵因子方向图。 解 在如题 9.5 图中，天线 0 和天线 1 为同类天线。其间距为 d，它们到场点 P 的距离 分别为 0 r 和 1 r 。天线 0 和天线 1 上的电流关系为 1 0 j I mI e−  = 当考察点远离天线计算两天线到 P 点的距离采用 1 0 r r  ，计算两天线到 P 点的相位差采 用 1 0 r r d  − sin cos   。 则天线 1 的辐射场到达 P 点时较天线 0 的辐射场超前相位  = − kd sin cos    P r( , ,   )   0 r 天线 1 天线 0 x y Z d 1 r 题 9.5 图 天线 0 和天线 1 在 P 点产生的总的辐射场为 0 1 0 (1 ) j me  E E E E = + = + 其模为 ( ) ( ) ( ) 0 1 0 2 0 2 0 0 1 1 2 cos 1 2 cos sin cos , j me m m m m kd f        = + = + = + + = + + − = E E E E E E E 式中 ( ) ( ) 2 f m m kd      , 1 2 cos sin cos = + + −

即为二元天线阵的阵因子9.6两个半波天线平行放置，相距/2，它们的电流振幅相等，同相激励。试用方向图乘法草绘出三个主平面的方向图。解由上题结论可知，二元阵的方向性函数为F(0,0)= F(0,Φ)f(0,Φ)其中5(9.0)为单元天线的方向性函数，(0,0)为阵因子，对于半波天线，cos( cos 0)2F (0,g)=sine（其方向图由题9.3给出）阵因子（由上题结论）f(0,g)=/i+m2 +2mcos(kd sincosp-α)当两天线相距d=/2，其上的电流振幅相等，同相激励时有m=1,α=0代入上式，得元sincos2元元singcosd2+2cosf(0,g)=12cos2在三个主平面内的单元天线方向性函数和阵因子方向性函数分别为"(x~y)元0=1F =1, f = 2 cos(=cosd)22平面：元元cos0)cos(2(=sinの)F.=2coslsing2T-cos0)cos(Lnf=2FΦ=2sine平面：方向图见题9.6图"(x~y)0=平面F.(e.g)f(e,g)F(0,0)Φ=0(x~2)平面

即为二元天线阵的阵因子 9.6 两个半波天线平行放置，相距  2 ，它们的电流振幅相等，同相激励。试用方向 图乘法草绘出三个主平面的方向图。 解 由上题结论可知，二元阵的方向性函数为 ( ) ( ) ( ) 0 F F f       , , , = 其中 ( ) 0 F  , 为单元天线的方向性函数， f ( , ) 为阵因子，对于半波天线， 0 ( ) cos( cos ) 2 , sin F      = （其方向图由题 9.3 给出） 阵因子（由上题结论） ( ) ( ) 2 f m m kd      , 1 2 cos sin cos = + + − 当两天线相距 d =  2 ，其上的电流振幅相等，同相激励时有 m = = 1, 0  代入上式， 得 ( ) 2 sin cos , 2 2cos sin cos 2cos 2 2 f               = + =         在三个主平面内的单元天线方向性函数和阵因子方向性函数分别为 ( ) 2 x y   = 平面： 0 1, 2cos( cos ) 2 F f  = =   = 0( x z) 平面： 0 cos( cos ) 2 , 2cos( sin ) sin 2 F f      = = ( ) 2 y z   = 平面： 0 cos( cos ) 2 , 2 sin F f    = = 方向图见题 9.6 图 ( ) 2 x y   = 平面 x y y x x y ( ) 0 F  , f ( , ) F ( , )  = 0( x z) 平面

F(e.g)f(e,0)F(0.)-(y~z)平面f(0,g)F.(e.g)F(0,0)题9.6图9.7均匀直线式天线阵得元间距d=2/2，如要求它得最大辐射方向在偏离天线阵轴线±60°的方向，问单元之间的相位差应为多少，？解：均匀直线式天线阵的阵因子为sin(NY/2)f(4)=sin(Y/2)dr()0dy求得其最大辐射条件可由=0即=kdsinocosg-α=0式中α为单元天线上电流的相位差考虑0=90°的平面，当=±60°时有kdcos60°-α=0所以α= kd cos60°_ 2元 。coS60°_元229.83求半波天线的主瓣宽度

x z z x x z ( ) 0 F  , f ( , ) F ( , ) ( ) 2 y z   = 平面 z y y z y z ( ) 0 F  , f ( , ) F ( , ) 题 9.6 图 9.7 均匀直线式天线阵得元间距 d =  2 ，如要求它得最大辐射方向在偏离天线阵轴 线 0 60 的方向，问单元之间的相位差应为多少，？ 解：均匀直线式天线阵的阵因子为 ( ) sin ( 2) sin ( 2) N f   =  其最大辐射条件可由 ( ) 0 df d  =  求得 = 0 即  = − = kd sin cos 0    式中  为单元天线上电流的相位差 考虑 0  = 90 的平面，当 0  = 60 时有 0 kd cos60 0 − =  所以 0 0 2 cos60 cos60 2 2 kd      = = = 9.8 求半波天线的主瓣宽度

Z1Emx/12E.11112题9.8图解天线的主瓣宽度定义为最大辐射方向上两个半功率（两个Fx/22）点之间的夹角20.5如题9.8图所示。半波天线的方向性函数为cos(F cos 0)2F(0)=sine半功率点（场强为|Emx/2）时所对应的角度可由下列公式求得cos(F cos )12F(0)=12sine解得0=510于是主瓣宽度为20.5s =2(90°-0)= 2(90° -51°)= 7809.9用方向图乘法求题9.9图(1)的由半波天线组成的四元侧射式天线阵在垂直于半波天线轴线平面内的方向图。入/2入/2212天线阵轴线OII题9.9图（1）解四元天线阵如题9.9(1）图其合成波场强为E=E+E,+E, +E,=E(1+e/+ej2" +ej3y=E (1+el*)(1+ej2*)式中

 Emax max E / 2 max E / 2 max E0.5 / 2 2 y z 题 9.8 图 解 天线的主瓣宽度定义为最大辐射方向上两个半功率（两个 max E 2 ）点之间的夹 角 0.5 2 ,  如题 9.8 图所示。 半波天线的方向性函数为 ( ) cos( cos ) 2 sin F     = 半功率点（场强为 max E 2 ）时所对应的角度  可由下列公式求得 ( ) cos( cos ) 1 2 sin 2 F     = = 解得 0  = 51 于是主瓣宽度为 ( ) ( ) 0 0 0 0 0.5 2 2 90 2 90 51 78   = − = − = 9.9 用方向图乘法求题 9.9 图(1)的由半波天线组成的四元侧射式天线阵在垂直于半波 天线轴线平面内的方向图。  /2 天线阵轴线 I II  1 2 3 4  /2  /2 题 9.9 图（1） 解 四元天线阵如题 9.9(1)图其合成波场强为 ( ) ( )( ) 2 3 0 1 2 3 0 2 0 1 1 1 j j j j j e e e e e      = + + + = + + + = + + E E E E E E E 式中

Y=kdsinocos@-α其方向性函数为F(0,)=F(0,Φ)F(0,9)F(0,0)其中 F(0,0)为半波天线的方向性函数元cos)cos(F(0,9)=sineF2 (0,)）为相距/2的天线1和天线2（或天线3和天线4）构成的二元天线阵1（或二元天线阵II）的阵因子方向性函数，设各单元天线上电流同相，则F;(0,0)=2cos(sinO cosd)2F(0,)为相距的天线阵1和天线阵1I 构成的阵列天线的方向性函数F (0,9)=2cos(元sin0cos)在垂直于半波天线轴线的平面内（0=元/2)F(0,0),F(0,0),F5(0,)的方向图如题9.9(2)图所示。由方向图相乘原理可得该四元阵在θ=元/2平面内的辐射方向图如题9.9图(2)所示。F.0（）F()F()题9.9图（2）求波源频率了=1MHz，线长/=1m的导线的辐射电阻：9.10(1) 设导线是长直的；(2)设导线弯成环形形状。解波源的波长元=_3×108=300(m)106f由此可知，导线的线度小于波长，故可将该长直导线视为电偶极子天线，其辐射电阻R,=80元= 8.8 ×10- (2)

 = − kd sin cos    其方向性函数为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 F F F F         , , , , = 其中 ( ) 1 F  , 为半波天线的方向性函数 1 ( ) cos( cos ) 2 , sin F      = ( ) 2 F  , 为相距  /2 的天线 1 和天线 2（或天线 3 和天线 4）构成的二元天线阵 I（或 二元天线阵 II）的阵因子方向性函数，设各单元天线上电流同相，则 2 ( , 2cos( sin cos ) ) 2 F      = ( ) 3 F  , 为相距  的天线阵 I 和天线阵 II 构成的阵列天线的方向性函数 ( ) ( ) 3 F      , 2cos sin cos = 在垂直于半波天线轴线的平面内（   = 2 ） ( ) ( ) ( ) 1 2 3 F F F       , , , , , 的方向图 如题 9.9(2)图所示。由方向图相乘原理可得该四元阵在   = 2 平面内的辐射方向图如题 9.9 图(2)所示。 1 , 2 F         2 , 2 F         3 , 2 F         , 2 F         题 9.9 图(2) 9.10 求波源频率 f = 1MHz ，线长 l m =1 的导线的辐射电阻： （1） 设导线是长直的； （2） 设导线弯成环形形状。 解 波源的波长 ( ) 8 0 6 3 10 300 10 v m f   = = = 由此可知，导线的线度小于波长，故可将该长直导线视为电偶极子天线，其辐射电阻 ( ) 2 2 3 80 8.8 10 r dl R     − = =      

对于环形导线可视为磁偶极子天线，其辐射电阻R, = LsS't_ Ho'a(2)6元%6元(3×10°)式中α为圆环的半径，由2元α=1于是α=1/(2元）代入上式，得R =2.44x10-8 (2)由以上的计算结果可知，环形天线的辐射电阻远远小于长直天线的辐射电阻，即环形天线的辐射能力远远小于长直天线的辐射能力。9.11为了在垂直于赫兹偶极子轴线的方向上，距离偶极子100km处得到电场强度的有效值大于100uV/m，赫兹偶极子必须至少辐射多大功率？解赫兹偶极子的辐射场为Idlke-jkrsingEg=j22r08当0=90°，电场强度达到最大值为IdlIdlkEo=n2Ar082r于是Idl_ 2r/Foel1n将"=1x10'm/[F%0|/≥V2×10-V/m 代入上式，得Idl、2×10°×/2×10-4元n而辐射功率ToP=80元12有2×105×/2×10-4P>4n得P≥2.22(W)

对于环形导线可视为磁偶极子天线，其辐射电阻 ( ) ( ) 4 2 4 2 4 0 0 2 2 8 0 2 6 6 3 10 r S a f R v        = =  式中 a 为圆环的半径，由 2 1 a = 于是 a =1 (2 )  代入上式，得 ( ) 8 2.44 10 R r − =   由以上的计算结果可知，环形天线的辐射电阻远远小于长直天线的辐射电阻，即环形天 线的辐射能力远远小于长直天线的辐射能力。 9.11 为了在垂直于赫兹偶极子轴线的方向上，距离偶极子 100km 处得到电场强度的有 效值大于 100 / V m ，赫兹偶极子必须至少辐射多大功率？ 解 赫兹偶极子的辐射场为 sin 2 jkr Idl k E j e r     − = 当 0  = 90 ，电场强度达到最大值为 0 90 2 2 Idl k Idl E r r     = = 于是 0 90 Idl 2r E   = 将 0 5 4 90 r E 1 10 m, 2 10 V/m − =    代入上式，得 5 4 Idl 2 10 2 10   −     而辐射功率 2 2 2 2 80 3 dl Idl P I          = =         有 2 5 4 2 10 2 10 3 P    −           得 P W  2.22( )