第六章时变电磁场一、概述1.概念时变电磁场：随时间变化的电荷和电流产生的电场和磁场也随时间变化，而且电场和磁场相互关联，密不可分。时变的电场产生磁场，时变的磁场产生电场，统称为时变电磁场。对时变电磁场的认识和发展过程：1831年，法拉第发现电磁感应定律，即变化的磁场产生电场。1864年，麦克斯韦提出位移电流假说，即变化的电场产生磁场。1864年，麦克斯韦提出麦克斯韦方程，全面总结了电磁现象的基本定律，深刻揭示了场源关系。以麦克斯韦方程为核心的经典电磁理论是研究所有电磁现象的理论基础。1888年，赫兹用实验证实了电磁波的存在。2.内容法拉第电磁感应定律，麦克斯韦位移电流假说，麦克斯韦方程。时变电磁场的边界条件。时变电磁场的能流和能流定理，即坡印亭矢量和坡印亭定理。波动方程。3.重点麦克斯韦方程的深刻含义、能流问题的计算。实际问题的分析及求解。4.难点正确理解和掌握场的能量分布在哪里，是如何在传输设备中传输的。5.建议循序渐进、由浅入深，加强对概念的理解。注重本质与现象的结合，理论与实际的结合，建议学时：10二、法拉第电磁感应定律1.法拉第电磁感应定律dme=dt表达式为：物理意义：若通过导体回路的磁通量是变化的，则在闭和回路中会产生感应电动势即时变的磁场产生电场。2.积分形式的法拉第电磁感应定律aB·al --B·dsE·di=dsdtlat表达式为：3.微分形式的法拉第电磁感应定律VxE--aBat表达式为：fV.E+aBfE.di-TVE).as.as-0at4推导：由于1，故。上式对任意回路所
第六章 时变电磁场 一、概述 1. 概念 时变电磁场：随时间变化的电荷和电流产生的电场和磁场也随时间变化，而且电场和 磁场相互关联，密不可分。时变的电场产生磁场，时变的磁场产生电场，统称为时变电磁场。 对时变电磁场的认识和发展过程： 1831 年，法拉第发现电磁感应定律，即变化的磁场产生电场。 1864 年，麦克斯韦提出位移电流假说，即变化的电场产生磁场。 1864 年，麦克斯韦提出麦克斯韦方程，全面总结了电磁现象的基本定律，深刻揭示了 场源关系。以麦克斯韦方程为核心的经典电磁理论是研究所有电磁现象的理论基础。 1888 年，赫兹用实验证实了电磁波的存在。 2. 内容 法拉第电磁感应定律，麦克斯韦位移电流假说，麦克斯韦方程。 时变电磁场的边界条件。 时变电磁场的能流和能流定理，即坡印亭矢量和坡印亭定理。 波动方程。 3. 重点 麦克斯韦方程的深刻含义、能流问题的计算。 实际问题的分析及求解。 4. 难点 正确理解和掌握场的能量分布在哪里，是如何在传输设备中传输的。 5. 建议 循序渐进、由浅入深，加强对概念的理解。 注重本质与现象的结合，理论与实际的结合。 建议学时：10 二、法拉第电磁感应定律 1. 法拉第电磁感应定律 表达式为： 物理意义：若通过导体回路的磁通量是变化的，则在闭和回路中会产生感应电动势， 即时变的磁场产生电场。 2. 积分形式的法拉第电磁感应定律 表达式为: ， 3. 微分形式的法拉第电磁感应定律 表达式为： 推导：由于 ，故 。上式对任意回路所
E-aBat。这就是法拉第电磁感应电率包围的面积都成立，故被积函数必定为零，即的微分形式。三、安培环路定律1.简单安培环路定律应用于时变电磁场中出现的矛盾如图所示电路，电路中电流为I，取一个闭合积分路径C包围导线，按简单安培环路定律（即恒定磁场中的安培环路定律），则磁场强度H沿回路C的线积分等于穿过该回路所张的任一个面的电流。在回路上张两个不同的面Si和S，其中Si和导线相S1S2穿过电容器的两个极板。积分得到两个不交，FH·ll=iH·d =0同的结果,即这说明简单安培环路定律的应用受到了限制，不适合时变场的情况。图5.2.1包含电容器的交流电路2.位移电流麦克斯韦提出了位移电流假说，修正和完善了简单安培环路定律，揭示出时变的电场产生磁场这一基本定律。位移电流假说：随时间变化的电场形成位移电流。aDJf-s位移电流密度：atfJ.as--dgdt推导：图5.2.1对于S1和S2构成的闭合面，应用电流连续性原理，有D.as=g式中的q为极板上的电荷量。再应用高斯定律于这个闭合面，上式变为aD3-aDds ---3,asfJ.as-atYat。麦克斯韦称之为位移电流密度，式中(AIm").J+Ja-+aD/at全电流密度：3.修正的安培环路定律VxA-J+aD+aD.asH·datat表达式为：
包围的面积都成立，故被积函数必定为零，即 。这就是法拉第电磁感应电率 的微分形式。 三、安培环路定律 1. 简单安培环路定律 应用于时变电磁场中出现的矛盾 如图所示电路，电路中电流为 I，取一个闭合积分路 径 C 包围导线，按简单安培环路定律（即恒定磁场 中的安培环路定律），则磁场强度 沿回路 C 的线 积分等于穿过该回路所张的任一个面的电流。在回 路上张两个不同的面 和 ，其中 和导线相 交， 穿过电容器的两个极板。积分得到两个不 同的结果,即 、 ，这说明 简单安培环路定律的应用受到了限制，不适合时变 场的情况。 图 5.2.1 包含电容器的交流电路 2. 位移电流 麦克斯韦提出了位移电流假说，修正和完善了简单安培环路定律，揭示出时变的电场 产生磁场这一基本定律。 位移电流假说：随时间变化的电场形成位移电流。 位移电流密度： t D J d = 推导：图5.2.1对于 和 构成的闭合面，应用电流连续性原理，有 ， 式中的 q 为极板上的电荷量。再应用高斯定律 于这个闭合面，上式变为 ，式中 。麦克斯韦称之为位移电流密度 ( )。 全电流密度： 3. 修正的安培环路定律 表达式为：
该方程妥善的解决了上图中的矛盾，并且给出了安培环路定律的全面含义。它揭示了交变电场产生磁场的规律。四、麦克斯韦方程麦克斯韦方程是经典电磁理论的基本方程，以数学形式概括了宏观电磁现象的基本性质。1.基本方程积分形式微分形式物理意义VxH-J+aDaDLta.dsfH·al=安培环路定律at (5.3.1.1)atVxE--aBfeal--aB.ds12法拉第电磁感应定律Latatf8.as-0V.B=0磁通连续性定律V.D= , (5.3.1.2)fD.as-g高斯定律2.电流连续性方程（电荷守恒原理）V.J--30f3.as---aa"ahadyat表达式：说明：该方程可由麦克斯韦方程导出，故未列于方程组内。V (V×H) -(J+aD)，由于散度的散度恒等于零，推导：把前式两边取散度得V+aDV.J+%0-0=0atat故得，再把前式代入上式即得，此即电流连续性方程。3.本构方程对于线性和各向同性介质，其本构方程（或称物质方程、辅助方程）如下：D－函，-哒B-五、复数形式的麦克斯韦方程最常见的研究情况是场源电荷、电流随时间做正弦变化（简谐变化），故引入场源正弦变化情况下麦克斯韦方程的复数形式。1.表达形式（以电场为例）E,(x,y,z,t)=E(x,y,z)cos[t+m(x,y,z)瞬时值形式：E,(x,y,z,t) =Em(x,y,z)cos[t+ (x,y,z)]E(x,J,z,t)=E(x,y,z)cos[eut +(x,y,z))
该方程妥善的解决了上图中的矛盾，并且给出了安培环路定律的全面含义。它揭示了 交变电场产生磁场的规律。 四、麦克斯韦方程 麦克斯韦方程是经典电磁理论的基本方程，以数学形式概括了宏观电磁现象的基本性 质。 1. 基本方程 积分形式 微分形式 物理意义 (5.3.1.1) 安培环路定律 法拉第电磁感应定律 磁通连续性定律 .(5.3.1.2) 高斯定律 2. 电流连续性方程（电荷守恒原理） 表达式： ， 说明：该方程可由麦克斯韦方程导出，故未列于方程组内。 推导：把前式两边取散度得 ，由于散度的散度恒等于零， 故得 ，再把前式代入上式即得 ，此即电流连续性方程。 3. 本构方程 对于线性和各向同性介质，其本构方程（或称物质方程、辅助方程）如下： ， ， 五、复数形式的麦克斯韦方程 最常见的研究情况是场源电荷、电流随时间做正弦变化（简谐变化），故引入场源正弦 变化情况下麦克斯韦方程的复数形式。 1. 表达形式（以电场为例） 瞬时值形式：
E, -Re[Emea w ] -Re[Emeist]复数形式：E, - Re[Bme a +] -Re[Emet]E, -Re[Emea]-Re[Emejet]式中的m me。、mBme、mBme称为复数振幅。故+,,+Re[,,)e]Re[] 中百，, +可，m称为电场强度复矢量。瞬时值形式与复数形式之间的关系(a) Re[)] Re[)2.复矢量运算a21a.fdt-42>1(1)αdt2jaRe[R(Re[j(2）推导：ataatE- Re[%(Be)] - Re[-,e]at?at[Edt - [Re[Eme a at -Re [Emeatdt -Re[me iat ]3.复数形式的麦克斯韦方程VxH=J+joD ， VxE=-joB ， V.D=p ，V.B=0六、边界条件如静电场一样，分析边界条件，必须使用方程的积分形式。1.一般情况的分界面DBHE矢量边界条Ey=E2B1x = B2xHu-H2 =J,D-Dax件失量形(D-D)= 0·(BI-B)=0nX(H1-H2)=JsX( -E) =0式边界条维导雁导件的推与静电场同与恒定磁场同导
复数形式： 式中的 、 、 称为复数振幅 。故 式中的 称为电场强度复矢量。 瞬时值形式与复数形式之间的关系 2. 复矢量运算 （1） ， ， （2）推导： 3. 复数形式的麦克斯韦方程 H J j D = + ， E j B = − ， D = ， B = 0 六、 边界条件 如静电场一样，分析边界条件，必须使用方程的积分形式。 1. 一般情况的分界面 矢量 边界条 件 矢量形 式 边界条 件的推 导 与静电场同 与恒定磁场同
在分界面上存在自由面电在两种介质分界面上存在传导荷时，D 的法向分量不电流时，H的切向分量是不连物理意在分界面上B的在分界面上E的切连续：若分界面上没有自义续的。若分界面上没有面电流，向分量是连续的法向分量是连续的由面电荷，则D的法向则H的切向分量是连续的分量是连续的2.理想介质和理想导体的分界面D-β,E=0,Bu-0,Hu=J,矢量形式：万×后-3。，万×B=0，万·D-4。，元B=03.边界条件总结基本方程边界条件H·ai-T+aD1.#X(HI-H2)-JS.asat积分形式2. xX(H, -H,)= 0VXH-J+aD3. #xH,-Jsat微分形式aB1. x(-E) =0'asfE·di=at积分形式2. xx( -) = 0VxE--aB3. #xE, =0at微分形式1. K (B, -B,) = 0fB·as-0积分形式2. N (B,-B,) = 0微分形式√·B=03#·B=0 x (D -D)- (0fD.ds=g积分形式2. K·(D, -D,) = 0微分形式D-3. N·D, = (0情况一：一般边界条件情况二：两种媒质中没有一种是理想导体情况三：媒质2是理想导体
物理意 义 在两种介质分界面上存在传导 电流时， 的切向分量是不连 续的。若分界面上没有面电流， 则 的切向分量是连续的 在分界面上 的切 向分量是连续的 在分界面上存在自由面电 荷时， 的法向分量不 连续；若分界面上没有自 由面电荷，则 的法向 分量是连续的 在分界面上 的 法向分量是连续的 2. 理想介质和理想导体的分界面 ， ， ， 矢量形式： ， ， ， 3. 边界条件总结 基本方程 边界条件 积分形式 微分形式 1. 2. 3. 积分形式 微分形式 1. 2. 3. 积分形式 微分形式 1. 2. 3. 积分形式 微分形式 1. 2. 3. 情况一：一般边界条件 情况二：两种媒质中没有一种是理想导体 情况三：媒质 2 是理想导体
七、坡印亭定理及坡印亭矢量1. 引入电场和磁场的能量密度随电场强度和磁场强度变化，空间各点能量密度的变化引起能量流动。能流矢量：单位时间内穿过与能量流动方向向垂直的单位表面的能量为能流矢量，其意义是电磁场中某点的功率密度，方向为该点能量流动的方向。坡印亭定理表征了时变场中的电磁能量守恒关系，坡印亭矢量代表了时变场中的能流失量。2.坡印亭定理arl1定理：-(E×H)dS=GH?+dV+odv2at/2"sV含义：等式右边第一项表示体积V内总的电磁场储能对时间的变化率（可正可负），第二项表示体积V内单位时间总的热损耗功率（只能为正）。根据能量守恒原理，等式左边的表达式代表穿过闭合面S进入体积V内的功率。3.复数形式的坡印亭定理1hdaem-at(ExH)aS-dv2Jv2JV2含义：进入闭合面S所围体积V内的复电磁功率=有功功率+j无功功率4.坡印亭矢量定义：S=E×H（也称能流密度矢量，能流矢量，功率密度）5.平均坡印亭矢量-Tisas.定义：含义：平均坡印亭矢量是坡印亭失量在一个周期内的平均值，代表平均传输功率密度s-fsa，S=IR"Re(ExH)计算公式：2应用：平均坡印亭矢量常用于计算各种传输线的传输功率、传输损耗及天线发射功率。Pay"fsayds其中S能量流经的传输线横截面。.S平均传输功率的计算公式八、波动方程时变电磁场的波动性指时变的电场和磁场互相激励，彼此为源，由近及远向外传播。研究区域为无源区域，且介质均匀、线性、各向同性、理想（无耗）含义：和为常数，=0，=0，=01.矢量形式的波动方程a"Ea"HVE-e=O，-波动方程：=0at?at?意义：波动方程的解是空间中一个沿特定方向传播的电磁波，研究电磁波的传播问题
七、坡印亭定理及坡印亭矢量 1. 引入 电场和磁场的能量密度随电场强度和磁场强度变化，空间各点能量密度的变化引起能 量流动。 能流矢量：单位时间内穿过与能量流动方向向垂直的单位表面的能量为能流矢量，其 意义是电磁场中某点的功率密度，方向为该点能量流动的方向。 坡印亭定理表征了时变场中的电磁能量守恒关系，坡印亭矢量代表了时变场中的能流 矢量。 2. 坡印亭定理 定理： + + − = S V V H E dV E dV t E H dS 2 2 2 ) 2 1 2 1 ( ) ( 含义：等式右边第一项表示体积 V 内总的电磁场储能对时间的变化率（可正可负），第 二项表示体积 V 内单位时间总的热损耗功率（只能为正）。根据能量守恒原理，等式左边的 表达式代表穿过闭合面 S 进入体积 V 内的功率。 3. 复数形式的坡印亭定理 含义：进入闭合面 S 所围体积 V 内的复电磁功率=有功功率+j 无功功率 4. 坡印亭矢量 定义： S E H = （也称能流密度矢量，能流矢量，功率密度） 5. 平均坡印亭矢量 定义： = T av Sdt T S 0 1 含义：平均坡印亭矢量是坡印亭矢量在一个周期内的平均值，代表平均传输功率密度 计算公式 ： ， Re( ) 2 1 * Sav E H = 应用：平均坡印亭矢量常用于计算各种传输线的传输功率、传输损耗及天线发射功率。 平均传输功率的计算公式 其中 能量流经的传输线横截面。 八、波动方程 时变电磁场的波动性指时变的电场和磁场互相激励，彼此为源，由近及远向外传播。 研究区域为无源区域，且介质均匀、线性、各向同性、理想（无耗） 含义： 和 为常数， ， ， 1. 矢量形式的波动方程 波动方程： 0 2 2 2 = − t E E ， 0 2 2 2 = − t H H 意义：波动方程的解是空间中一个沿特定方向传播的电磁波，研究电磁波的传播问题
均可归结为在给定边界条件下求波动方程的解。2.直角坐标系中标量形式的波动方程矢量形式的波动方程可以分解为三个标量方程：aE3"E--0 "E,-sa'E.VE-uS=00VE.at3at2at?，3.复数形式的波动方程（亥姆霍兹方程）VE+-0,+-0其中-4九、小结1.法拉第电磁感应定律表征的是变化的磁场产生电场的规律。对于磁场中的任意闭合回路raBVxE=-aBC0=-dp.asfa.a=Jsaat.dt，即有，其微分形式为2．麦克斯韦提出位移电流的假说，对安培环路定律作了修正，它表征变化的电场产生磁场VxH-J+aD+aD).dsatat.微分形式为，3.麦克斯韦方程是经典电磁理论的基本定律。麦克斯韦方程如下：积分形式微分形式aDVxA-J+D-dsHatataBVxE=-aBfE.ai -{-dsata.atfB.as=0V.B=05ID.as=qV.D=p本构关系为D=e，B=u，了=。只有代入本构关系，麦克斯事方程才可以求解。4.麦克斯韦方程的复数形式表达式为：VxH-J+jaDVxE=-jaBV.D=V.B=05.分界面上的边界条件法向分量的边界条件：n·(D,-D,)=C若分解面上O=0，则"·(D,-D,)=0而 n·(B,-B)=0切向分量的边界条件n×(-2)=0和n×(,-H,)=J
均可归结为在给定边界条件下求波动方程的解。 2. 直角坐标系中标量形式的波动方程 矢量形式的波动方程可以分解为三个标量方程： ， ， 3. 复数形式的波动方程（亥姆霍兹方程） ， 其中 九、小结 1. 法拉第电磁感应定律表征的是变化的磁场产生电场的规律。对于磁场中的任意闭合回路 有 ，即 ，其微分形式为 。 2. 麦克斯韦提出位移电流的假说，对安培环路定律作了修正，它表征变化的电场产生磁场 ，微分形式为 。 3. 麦克斯韦方程是经典电磁理论的基本定律。麦克斯韦方程如下： 积分形式 微分形式 本构关系为 ， ， 。只有代入本构关系，麦克斯韦方程才可 以求解。 4. 麦克斯韦方程的复数形式表达式为： ， ， ， 5. 分界面上的边界条件 法向分量的边界条件 ： 若分解面上 ，则 而 切向分量的边界条件 和
若分解面上3,=0 ,则*×(F,-H,)=0对于理想导体（=00）表面，边界条件为"×=0和n×H,=,6.坡印廷定理是电磁场中的能量守恒关系，单位时间内体积中能量的增加量等于从表面进入体积的功率-fExH.as-[%e'+u"dt+Jy'dt-Lat22s能流矢量表示沿能流方向的单位表面的功率的矢量S=E×H（瞬时值）平均坡印廷矢量是坡印廷矢量在一个周期内的平均值，代表平均传输功率密度T'satS-Re(ExR)Say=TJ27.在无源区域内，E，H的波动方程为：33EV?EH--=0=0at?at?
若分解面上 ，则 对于理想导体 表面，边界条件为 和 6. 坡印廷定理是电磁场中的能量守恒关系，单位时间内体积中能量的增加量等于从表面进 入体积的功率 能流矢量表示沿能流方向的单位表面的功率的矢量 （瞬时值） 平均坡印廷矢量是坡印廷矢量在一个周期内的平均值，代表平均传输功率密度 7. 在无源区域内， ， 的波动方程为：