第一章量分析一、概述1.引入原因矢量分析是分析矢量场的重要数学工具，在电磁场理论中经常用到。2.内容（1）标量场和矢量场的基本概念（2）矢量的通量、散度（3）矢量的环流、旋度（4）标量的梯度（5）亥姆霍兹定理（6）圆柱和球坐标系3.重点矢量的散度、旋度和标量的梯度，亥姆霍兹定理。概念的理解和数学计算。4.难点正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理。5. 建议加强对概念的理解注重分析建议学时：6二、标量场和矢量场1.标量场和矢量场（1）概念标量：只有大小而没有方向的量。如电压U、电荷量Q、电流I、面积S等。矢量：具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力失量、速度矢量等。标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。天量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个失量唯一地描述，则该失量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。F(,t)D(r,t)产（位置矢量）标量场矢量场
第一章 矢量分析 一、概述 1. 引入原因 矢量分析是分析矢量场的重要数学工具，在电磁场理论中经常用到。 2. 内容 （1）标量场和矢量场的基本概念 （2）矢量的通量、散度 （3）矢量的环流、旋度 （4）标量的梯度 （5）亥姆霍兹定理 （6）圆柱和球坐标系 3. 重点 矢量的散度、旋度和标量的梯度，亥姆霍兹定理。 概念的理解和数学计算。 4. 难点 正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理。 5. 建议 加强对概念的理解 注重分析 建议学时：6 二、标量场和矢量场 1. 标量场和矢量场 （1）概念 标量：只有大小而没有方向的量。如电压 U、电荷量 Q、电流 I、面积 S 等。 矢量：具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速 度矢量等。 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出 标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出 矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。 标量场 矢量场
（2）矢量描述矢量可采用有向线段、文字、单位量、分量表示等多种方式来描述。（3）场的"场图表示研究标量和矢量场时，用场图”表示场变量在空间逐点演变的情况具有很大的意义。对标量场中(1)，用等值面图表示。空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面，例如气象图上的等压线，地图上的等高线等。显然，等值面的方程式为Φ(1）=常数值。对矢量场(1)），则用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布，称为力线或流线。力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同，即dF×(1）-0，称为力线的微分方程式。式中&为力线切向的一段矢量。dxdydz在直角坐标内，力线的微分方程式可写成)“F,(）“()按统一规则，绘制出力线，则既能根据力线确定失量场中各点矢量的方向，又可根据各处力线的疏密程度，判别出各处矢量的大小及变化趋势。F()力线图P点处的矢量2.矢量代数（1）求和差A+ B作图法：遵循平行四边形法则分量法：oA+B=,AB,+e,AB,+eAB（2）求点积（标量积、内积）AB-ABcos@=AB,+AB,+AB公式：平行四边形法则特点：AB-B-A
（2）矢量描述 矢量可采用有向线段、文字、单位矢量、分量表示等多种方式来描述。 （3）场的"场图"表示 研究标量和矢量场时，用“场图”表示场变量在空间逐点演变的情况具有很大的意义。 对标量场 ，用等值面图表示。空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面， 例如气象图上的等压线，地图上的等高线等。显然，等值面的方程式为 ＝常数值。 对矢量场 ，则用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布，称为力线或流线。 力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同，即 , 称为力线的 微分方程式。式中 为力线切向的一段矢量。 在直角坐标内，力线的微分方程式可写成 按统一规则，绘制出力线，则既能根据力线确定矢量场中各点矢量的方向，又可根据 各处力线的疏密程度，判别出各处矢量的大小及变化趋势。 P 点处的矢量 力线图 2. 矢量代数 （1）求和差 作图法：遵循平行四边形法则 分量法： （2）求点积 （标量积、内积） 公式： 平行四边形法则 特点：
应用：电通量的计算（3）求矢积（矢量积、外积）eeAxB=ABsinE,=AxAABB,B.公式：特点：AxB--B×A应用：磁感应强度的计算三、矢量的通量、散度1.矢量的通量（1）面元矢量：有两种情况αs为一个开表面上的面元，其方向与围成该开表面的闭合回路的方向呈右螺旋关系。ds为一个闭合面上的面元，其方向为该闭合面的外法线方向。dS-ndsdsS面元失量开表面TA.as（2）通量定义：矢量A沿某一有向曲面S的面积分为A通过S的通量，即J（3）物理意义：矢量通过闭合面的通量反映了闭合面内源的性质。2.矢量的散度（1）引出：研究闭合面内每一点附近的通量。（2）定义：在矢量场A中，围绕P点做一闭合面，所围体积为△t，若垂直穿过闭合面的通量与△之比的极限存在，则该极限称为矢量场A在P点的散度，即：fA·asdivA-limAr1r-0（3）物理意义：矢量的散度是通量体密度，即通过包围单位体积闭合面的通量。aA,AxCA.=V.AdivA_（4）计算公式：axOzdy
应用：电通量的计算 （3）求矢积 （矢量积、外积） 公式： 特点： 应用：磁感应强度的计算 三、矢量的通量、散度 1. 矢量的通量 （1）面元矢量：有两种情况 为一个开表面上的面元，其方向与围成该开表面的闭合回路的方向呈右螺旋关系。 为一个闭合面上的面元，其方向为该闭合面的外法线方向。 面元矢量 开表面 （2）通量定义：矢量 沿某一有向曲面 的面积分为 通过 的通量，即 。 （3）物理意义：矢量通过闭合面的通量反映了闭合面内源的性质。 2. 矢量的散度 （1）引出：研究闭合面内每一点附近的通量。 （2）定义：在矢量场 中，围绕 P 点做一闭合面，所围体积为 ，若垂直穿过闭合面 的通量与 之比的极限存在，则该极限称为矢量场 在 P 点的散度，即： （3）物理意义：矢量的散度是通量体密度，即通过包围单位体积闭合面的通量。 （4）计算公式： A z A y A x A divA x y z = + + =
3.散度（高斯）定理定理：IV.Adt =+A-dsT四、矢量的环流、旋度1.失量的环流FA·di定义：矢量A沿某一有向闭合曲线一的线积分为A沿一的环流，即物理意义：矢量沿闭合曲线的环流反映了闭合曲线内源的性质。2.矢量的旋度（1）引出：研究闭合曲线内每一点处的环流。（2）定义：在矢量场A中，围绕P点做一闭合回路，rotds所围面积为△S，A的旋度是矢量，其大小为△S→0时环流面密度的最大值，其方向为使环流面密度取最大值时面元的法线方向，即：fA.aiCuriA-rotA-VxA-llimS45→0m矢量的旋度在面元矢量上的投影（3）物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。（4）计算公式：（5）任一矢量的旋度的散度恒为零，即：3.斯托克斯定理定理：五、标量的梯度1.引出：由求等值面的最大变化率引出标量的梯度概念。2、定义：标量场u在某点的梯度是一个失量，其方向为u增加最大的方向，即等值面法线方向：其大小等于u在该方向上的增加率，即最大增加率。3.物理意义：标量的梯度表示了标量u增加率的最大值及方向。auOuouOu4.计算公式：gradu=Vu=-é,=éx+éyoy+e.alnxaxOz5.梯度与方向导数的关系：标量沿某一方向的方向导数等于标量的梯度在该方向上的投影，即：codad6.特点：Vu是矢量，与坐标系无关，Vu与u的等位面正交。7.任一标量的梯度的旋度恒为零，即：√×(V)=0
3. 散度（高斯）定理 定理： = s Ad A ds 四、矢量的环流、旋度 1. 矢量的环流 定义：矢量 沿某一有向闭合曲线 的线积分为 沿 的环流，即 。 物理意义：矢量沿闭合曲线的环流反映了闭合曲线内源的性质。 2. 矢量的旋度 （1）引出：研究闭合曲线内每一点处的环流。 （2）定义：在矢量场 中，围绕 P 点做一闭合回路， 所围面积为 ， 的旋度是矢量，其大小为 时环流面密度的最大值，其方向为使环流面密度取最大 值时面元的法线方向，即： 矢量的旋度在面元矢量上的投影 （3）物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。 （4）计算公式： （5）任一矢量的旋度的散度恒为零，即： 3. 斯托克斯定理 定理： 五、标量的梯度 1. 引出：由求等值面的最大变化率引出标量的梯度概念。 2. 定义：标量场 u 在某点的梯度是一个矢量，其方向为 u 增加最大的方向，即等值面法 线方向；其大小等于 u 在该方向上的增加率，即最大增加率。 3. 物理意义：标量的梯度表示了标量 u 增加率的最大值及方向。 4. 计算公式： z u e y u e x u e e l u gradu u n x y z n + + = = = 5. 梯度与方向导数的关系： 标量沿某一方向的方向导数等于标量的梯度在该方向上的投影，即： 6. 特点： 是矢量，与坐标系无关， 与 u 的等位面正交。 7. 任一标量的梯度的旋度恒为零，即： () = 0
标量场标量场的等值面和梯度失量u沿不同方向的变化率六、矢量恒等式任一标量的梯度的旋度恒为零。V×(V)=0V.(V×A)=0任一失量的旋度的散度恒为零。VXXA-V(V.A-VA.0-V·(AxB)-B·(VXA-A·(VXB)VX(pA)-×A+V×AV (βA)= A+A·V(0102) =012 +1V(0i+02)=V+V02V·(A+B)=V·A+V·BVX(A+B)=VXA+V×BA (B×C)= B.(C×A)=C.(A×B)AX(BxC)= (A·C)B-(A·B)CJVAaV-fA·as(高斯定理或散度定理)IVxA·as-fAai(斯托克斯定理）
标量场 标量场的等值面和梯度矢量 u 沿不同方向的变化率 六、矢量恒等式 () = 0 任一标量的梯度的旋度恒为零。 ( A) = 0 任一矢量的旋度的散度恒为零。 .(高斯定理或散度定理) .(斯托克斯定理)
七、亥姆霍兹定理1.定理位于空间有限区域内的矢量场，当它的散度，旋度以及它在区域边界上的场分布给定之后，该矢量场就被唯一确定：对于无限大空间，如果失量在无限远处减少至零，则该失量由其散度和旋度唯一确定。2.几个场的名称和性质（1）保守场Vu沿线积分与路径无关，沿闭合回路的积分为零。-Vudi=u(pa)-u(p2)，则Vu称为即JP保守场，u称为保守位场。（2）无旋场：旋度为零的矢量场叫做无旋场。标量函数的梯度是无旋场，如静电场。无旋场的散度不能处处为零。R（3）无散场：散度为零的矢量场叫做无散场。矢量的旋度是无散场，如恒定磁场。无散场的旋度不能处处为零。标量场梯度的不同的积分路径（4）无散场：散度为零的矢量场叫做无散场。矢量的旋度是无散场，如恒定磁场。无散场的旋度不能处处为零。（5）一般场：既有旋度，又有散度。这个矢量场可以表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和，即F(F) = R(P) + F()其中(）为无旋度分量，其散度不为0，设为()，,()为无散度分量，而它的旋度不为0，设为了(），因此有：√·京-(+)-·克-和V×F-VX(F+F)-VXF-如上可见，F的散度代表着形成矢量场的一种“源"P，而的旋度则代表着形成的另一种*源"了。一般当这两类源在空间的分布确定时，矢量场本身也就唯一的确定了。这一规律2:即亥姆霍兹定理。3.意义由亥姆霍兹定理可知，对矢量场的研究应从散度和旋度两方面进行。散度方程和旋度方程组成了失量场的基本微分方程，通量方程和环流方程组成了失量场的基本积分方程
七、亥姆霍兹定理 1. 定理 位于空间有限区域内的矢量场，当它的散度，旋度以及它在区域边界上的场分布给定 之后，该矢量场就被唯一确定；对于无限大空间，如果矢量在无限远处减少至零，则该矢量 由其散度和旋度唯一确定。 2. 几个场的名称和性质 （1）保守场 沿线积分与路径无关，沿闭合回路的积分为零。 即 ，则 称为 保守场，u 称为保守位场。 （2）无旋场： 旋度为零的矢量场叫做无旋场。标 量函数的梯度是无旋场，如静电场。无旋场的散度 不能处处为零。 （3）无散场： 散度为零的矢量场叫做无散场。 矢量的旋度是无散场，如恒定磁场。 无散场的旋度不能处处为零。 标量场梯度的不同的积分路径 （4）无散场： 散度为零的矢量场叫做无散场。矢量的旋度是无散场，如恒定磁场。 无散场的旋度不能处处为零。 （5）一般场：既有旋度，又有散度。 这 个 矢 量 场 可 以 表 示 为 一 个 无 旋 场 分 量 和 一 个 无 散 场 分 量 之 和 ， 即 其中 为无旋度分量，其散度不为 0，设为 ， 为无散度分量，而它的旋 度不为 0 ， 设 为 ， 因 此 有 : 和 。 如上可见， 的散度代表着形成矢量场的一种“源” ，而的旋度则代表着形成的另一 种“源” 。一般当这两类源在空间的分布确定时，矢量场本身也就唯一的确定了。这一规律 即亥姆霍兹定理。 3. 意义 由亥姆霍兹定理可知，对矢量场的研究应从散度和旋度两方面进行。散度方程和旋度方 程组成了矢量场的基本微分方程，通量方程和环流方程组成了矢量场的基本积分方程
八、坐标系1.概念空间中任一点与有序数",u2,u3—一对应，则称",u2,u3为空间点的曲线坐标。2.特点坐标曲线相互正交，且符合右手定则，即，，×高，一，，，，，一3.三种常用的坐标系常用的正交坐标系有三种：直角坐标系(*，,z高，高，)，圆柱坐标系("，α,z;，百。高)以及球坐标系(",8,,可,。,可)。圆柱坐标球坐标球坐标中的线元圆柱坐标中的体积元4.矢量和矢量场的不变性
八、坐标系 1. 概念 空间中任一点与有序数 一一对应，则称 为空间点的曲线坐标。 2. 特点 坐标曲线相互正交，且符合右手定则，即： 3. 三种常用的坐标系 常用的正交坐标系有三种：直角坐标系( )，圆柱坐标系( ) 以及球坐标系( )。 圆柱坐标 球坐标 球坐标中的线元 圆柱坐标中的体积元 4. 矢量和矢量场的不变性
描述物理状态空间分布的标量函数Φ(1）和矢量函数(1)，在时间为一定值的情况下,它们是唯一的，其大小或方向与所选择的坐标系无关，即对于坐标系的变换，中(1）和(1)的大小和方向保持不变。矢量函数在三种坐标系内应有的关系为：F(r) =F(x,y,2) =,F,(x,y,z)+,F,(x,y,z)+F(x,y,z)=F(r,α,z) =e,F,(r,α,z)+egFo(r,α,z)+e,F,(r,α,z)=F(r,8,0) =e,F,(r,8,0)+e.F(r,8,0)+,F,(r,0,0)由矢量不变特性，可得下列恒等式：F2-F2+F?+F?-F?+F2+F?-F?+F+F?5.拉梅系数（1）引入：给出三种坐标系中矢量散度、旋度和标量梯度的统一表达式。hi,hy,hy（2）拉梅系数：直角坐标中的拉梅系数值：1，1，11,r,1圆柱坐标中的拉梅系数值：1,r,rsine球坐标中的拉梅系数值：（3）计算公式1 f1af+1 af+Vf =euhCuiohyCuahyOu3aaa1V.A-(hhA) +(hhA)+(hhs)auCuaQushihhy0hyeuhensaa1VXAQuQusuihhghshsMAhA6.圆柱坐标系05<8,0@52元,-8<z<+8坐标+ge-坐标变换式xe.ep.e单位失量
描述物理状态空间分布的标量函数 和矢量函数 ，在时间为一定值的情况下， 它们是唯一的，其大小或方向与所选择的坐标系无关，即对于坐标系的变换， 和 的大小和方向保持不变。 矢量函数在三种坐标系内应有的关系为： 由矢量不变特性，可得下列恒等式： 5. 拉梅系数 （1）引入：给出三种坐标系中矢量散度、旋度和标量梯度的统一表达式。 （2）拉梅系数： 直角坐标中的拉梅系数值：1，1，1 圆柱坐标中的拉梅系数值： 球坐标中的拉梅系数值： （3）计算公式 6. 圆柱坐标系 坐标 ， ， 坐标变换式 ， 单位矢量 ，
e,e, -0,o,-0,e,-1单位失量,,,,e,-0之间的关系e,xe,ee,xe,ye,xe,-e,e,-excos@+esinme,=-,sin+cosmee,cosm-a,sine,-e,sinwe,cosq与直角坐标中d,--,sin p+2, cos-0p单位矢量的关系dede,---,cos-, sin p--,daA(n)-e,A()+e,A()+e,A(r)失量表示式F=e,r+a,z产是位置失量dr =a,dr +e,rdo+e,dz微分长度元式中，r、和z增加方向上的微分元为dr、rd和dzdt = rdrd odz体积元ds,-rd odz, ds, drdz, ds, -rdrd 面积元失量as -e,ds, +e,ds,te,dss算符的$+，1+元V-e,-ar"az2eprae表示式
单位矢量 之间的关系 ， ， 与直角坐标 中 单位矢量的关系 ， ， 矢量表示式 是位置矢量 . 微分长度元 式中，r、 和 z 增加方向上的微分元为 dr、 和 dz 体积元 面积元矢量 ， ， 算符 的 表示式
7.球坐标系坐标05<0,0505元.0≤0<2元r-+y+tga-+y坐标变换式80ey,,ep单位矢量,,,,1ey,-ae,-e,e,-0单位失量之间的关系e,xe,e,e,xe,eye,xe, =eee,sinecospe,sinesine,cose,=e,cosecospe,cosesin@-e,sinea,=-a,sin+e,cosme=e,sinecosme,cosocos@-esinme=e,sinesine,cosesin@-a,cosm与直角坐标中单位失量的关系a, e,coso-, sin o,-,sine-0a0aed5.0=-0L-e,cose802e, -, sin 8-, cs850dae
7. 球坐标系 坐标 ， ， 坐标变换式 ， ， 单位矢量 ， ， 单位矢量之间的关系 ， ， 与直角坐标中单位矢量的关系 ， ，