第四章静电场边值问题4.1如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为U。，求槽内的电位函数。Uo工aX题4.1图解根据题意，电位β(xy）满足的边界条件为① p(0,y)=p(a,y)=0② p(x,0)=0p(x,b)=U.根据条件①和②，电位(x，y）的通解应取为A,sinh(nay)n元xLp(x,y)=)sin(aan=l由条件③，有n元bn元xA.sinh(U. =)sinaan=l两边同乘以sin(n元xa)，并从0到a对x积分，得到2U.Cn元x)dxsin(A.=aasinh(nb/a)2U。(1-cosn元)nsinh(nb/a)4Un=1,3,5,.n元sinh(n元ba)[0,n=2,4,6....故得到槽内的电位分布14U。sinh(ny))sin(nxp(x,y)=元.=1,3,5... sinh(n元b/a)aa4.2两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由J=d到y=b（-oo<z<oo）。上板和薄片保持电位U。，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y=O到y=d，电位线性变化，p(O,y)=Uy/d。解应用叠加原理，设板间的电位为p(x,y)=(x,y)+p(x,y)
第四章 静电场边值问题 4.1 如题 4.1 图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝 缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为 U0 ，求槽内的电位函数。 U0 y a x b o 题 4.1 图 解 根据题意，电位 ( , ) x y 满足的边界条件为 ① (0, ) ( , ) 0 y a y = = ② ( ,0) 0 x = ③ 0 ( , ) x b U= 根据条件①和②，电位 ( , ) x y 的通解应取为 1 ( , ) sinh( )sin( ) n n n y n x x y A a a = = 由条件③，有 0 1 sinh( )sin( ) n n n b n x U A a a = = 两边同乘以 sin( ) n x a ，并从 0 到 a 对 x 积分，得到 0 0 2 sin( )d sinh( ) a n U n x A x a n b a a = 0 0 2 (1 cos ) sinh( ) 4 , 1,3,5, sinh( ) 0 2, 4,6, U n n n b a U n n n b a n = − = = ， = 故得到槽内的电位分布 0 1,3,5, 4 1 ( , ) sinh( )sin( ) sinh( ) n U n y n x x y n n b a a a = = 4.2 两平行无限大 导体平 面， 距离为 b ，其 间有一 极薄的 导体 片由 y = d 到 y = b (− z ) 。上板和薄片保持电位 U0 ，下板保持零电位，求板间电位的解。设在 薄片平面上，从 y = 0 到 y = d ，电位线性变化， 0 (0, ) y U y d = 。 解 应用叠加原理，设板间的电位为 ( , ) x y = 1 2 ( , ) ( , ) x y x y +
tyU.dTx0一题4.2图其中，（x，y）为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为U。）的电位，即P(x,y)=UJ/b；P(x,Jy)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：P(x,0)= P(x,b) =0①p2(x,y)=0 (x→0)②U。U.(0≤y≤d)1ab?P,(0,y) =p(0, y)-g(0, y)=U.U.(d<y≤b)1b根据条件①和②，可设P(xy)的通解为0.(a.0)-24 siclen元y6n=l由条件③有(U.U.(0≤y≤d)12208Vbn元yAsin(U.bn=1U(d≤y<b)两边同乘以sin(n元y/b)，并从0到b对y积分，得到d2U0TG12U。1n元yyn元y[(1-A:)dy)ysin()dy+)sin(bbbbbbdd2U。 bndSing(n元)db故得到U.2bU。1nWn元dn元yp(x,y) =De-sin()sin(V+bd元?bb=n4.3求在上题的解中，除开U/b6一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按2WC一定出边缘电容。U?解在导体板（y=0）上，相应于β（x,y）的电荷面密度ap228.U1ndJeb==sin(02=-80nbay元dly=0则导体板上（沿=方向单位长）相应的总电荷
U0 y o x b d 题 4.2 图 其中， 1 ( , ) x y 为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为 U0 ）的电位，即 1 0 ( , ) x y U y b = ； 2 ( , ) x y 是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界 条件为： ① 2 2 ( ,0) ( , ) 0 x x b = = ② 2 ( , ) 0 ( ) x y x = → ③ 0 0 2 1 0 0 (0 ) (0, ) (0, ) (0, ) ( ) U U y y y d d b y y y U U y d y b b − = − = − 根据条件①和②，可设 2 ( , ) x y 的通解为 2 1 ( , ) sin( )e n x b n n n y x y A b − = = 由条件③有 0 0 1 0 0 (0 ) sin( ) ( ) n n U U y y y d n y d b A b U U y d y b b = − = − 两边同乘以 sin( ) n y b ，并从 0 到 b 对 y 积分，得到 0 0 0 2 2 1 1 ( ) sin( )d (1 )sin( )d d b n d U U n y y n y A y y y b d b b b b b = − + − 0 2 2 sin( ) ( ) U b n d n d b = 故得到 ( , ) x y = 0 0 2 2 1 2 1 sin( )sin( )e n x b n U bU n d n y y b d n b b − = + 4.3 求在上题的解中，除开 U y b 0 一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按 2 0 2 U W C e f = 定出边缘电容。 解 在导体板（ y = 0 ）上，相应于 2 ( , ) x y 的电荷面密度 2 0 0 2 0 0 1 2 1 sin( )e n x b y n U n d y d n b − = = = − = − 则导体板上（沿 z 方向单位长）相应的总电荷
28Un元d)ebdxg.dx=2o,dxsin(=1bn元d0 n=l4U.b1元d-sino=Znb元d相应的电场储能为12EbU1n元d,sin(W =-90n?元dh2其边缘电容为2W.-48b1n元dC, =sin(U?b元d=n如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位U。，其余两面电位为零，求槽内的电位4.4的解。Uoa题4.4图解根据题意，电位(x,Jy）满足的边界条件为① p(0,y)=p(a,y)=0② (x,y)→0(y-→o)(x,0)=U根据条件①和②，电位(xy）的通解应取为n元xA,e-nz y/a sin((x,y)=an=l由条件③，有n元xU。Asin(an=l两边同乘以sin(n元xa），并从0到a对x积分，得到2Unx)dxA.sin(aa0(4U。2U (1-cos nm)=n=1,3,5,...=n元n元0,n=2,4,6,..*故得到槽内的电位分布为4U。1n元xnry/ap(x,y)=sinde元n=l,3,.. a
2 2 2 0 q x x d 2 d − = = 0 0 0 1 2 2 sin( )e d n x b n U n d x n d b − = = − 0 0 2 2 1 4 1 sin( ) n U b n d d n b = = − 相应的电场储能为 2 0 0 2 0 2 2 1 1 1 2 sin( ) 2 e n bU n d W q U d n b = = − = 其边缘电容为 0 2 2 2 0 1 2 4 1 sin( ) e f n W b n d C U d n b = = = 4.4 如题 4.4 图所示的导体槽，底面保持电位 U0 ，其余两面电位为零，求槽内的电位 的解。 题 4.4 图 U0 y a x a o 解 根据题意，电位 ( , ) x y 满足的边界条件为 ① (0, ) ( , ) 0 y a y = = ② ( , ) 0 ( ) x y y → → ③ 0 ( ,0) x U= 根据条件①和②，电位 ( , ) x y 的通解应取为 1 ( , ) sin( ) n n n y a n x x y A e a − = = 由条件③，有 0 1 sin( ) n n n x U A a = = 两边同乘以 sin( ) n x a ，并从 0 到 a 对 x 积分，得到 0 0 2 sin( )d a n U n x A x a a = 0 0 4 2 , 1,3,5, (1 cos ) 0 2, 4,6, U U n n n n n = = − = ， = 故得到槽内的电位分布为 0 1,3,5, 4 1 ( , ) sin( ) n y a n U n x x y e n a − = =
4.5一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为元X元2p=y(y-b)sin(Osin(aC的电荷。求体积内的电位?。解在体积内，电位?满足泊松方程1元X元y(y-b)sin(sin((1)022ax?y?60a长方体表面S上，电位满足边界条件=0。由此设电位的通解为1SE2Am元xnyP元p(x,y,z)=-sin(sin)sin(ba%盒信险c代入泊松方程（1），可得222Am[(")m元n元ynn0元202+0+0lsinOsin)sino6bacacm=l n=l p=l元X元2= y(y-b)sin()sin(OC由此可得=0(m±1或p±1)n元y元+（"）sinA= J(y-b)(2)bh0p=l由式（2），可得27() +(“)]=jx(y-b)sin()d yAm[(=) +(b:bbac4.b)(cosn元-1)6n元8b2n=13,5....(n元)0n=2,4,6,..故8b211n元y元Xp(x, y,=) = -sin()sin)sin元0 (+(b(naC-12+CbaC4.6如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与轴平行的线电荷9i，其位置为（Od）。求板间的电位函数。qiOX题4.6图
4.5 一长、宽、高分别为 a、b 、c 的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为 ( )sin( )sin( ) x z y y b a c = − 的电荷。求体积内的电位 。 解 在体积内，电位 满足泊松方程 222 2 2 2 0 1 ( )sin( )sin( ) x z y y b x y z a c + + = − − （1） 长方体表面 S 上，电位 满足边界条件 0 S = 。由此设电位 的通解为 0 1 1 1 1 ( , , ) sin( )sin( )sin( ) mnp m n p m x n y p z x y z A a b c = = = = 代入泊松方程（1），可得 2 2 2 1 1 1 [( ) ( ) ( ) ] mnp m n p m n p A abc = = = + + sin( )sin( )sin( ) m x n y p z a b c ( )sin( )sin( ) x z y y b a c = − 由此可得 0 A mnp = ( 1 m 或 p 1) 2 2 2 1 1 1 [( ) ( ) ( ) ]sin( ) ( ) n p n n y A y y b a b c b = + + = − （2） 由式（2），可得 2 2 2 1 1 0 2 [( ) ( ) ( ) ] ( )sin( )d b n n n y A y y b y a b c b b + + = − 4 3 ( ) (cos 1) b n b n = − 2 3 8 1,3,5, ( ) 0 2,4,6, b n n n − = = = 故 2 5 1,3,5, 3 2 2 2 0 8 1 ( , , ) sin( )sin( )sin( ) 1 1 [( ) ( ) ( ) ] n b x n y z x y z n a b c n abc = = − + + 4.6 如题 4.6 图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与 z 轴平行的线电荷 l q ， 其位置为 (0,d) 。求板间的电位函数。 x y o a d ql 题 4.6 图
解由于在(0,d)处有一与z轴平行的线电荷qi，以x=0为界将场空间分割为x>0和x0)a=lnyEB,enmrxa sin((x0)二sin(lea= na(x,)=n元dn元ynx/a(x<0)sin(sin(le元8nOa4.7如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷q。求槽内的电位函数
解 由于在 (0, ) d 处有一与 z 轴平行的线电荷 l q ，以 x = 0 为界将场空间分割为 x 0 和 x 0 两个区域，则这两个区域中的电位 1 ( , ) x y 和 2 ( , ) x y 都满足拉普拉斯方程。而在 x = 0 的分界面上，可利用 函数将线电荷 l q 表示成电荷面密度 0 ( ) ( ) l y q y y = − 。 电位的边界条件为 ① 1 1 ( ,0) ( , ) 0 x x a = = 2 2 ( ,0) ( , ) 0 x x a = = ② 1 ( , ) 0 x y → ( ) x → 2 ( , ) 0 x y → ( ) x → − ③ 1 2 (0, ) (0, ) y y = 2 1 0 0 ( ) ( ) l x q y d x x = − = − 由条件①和②，可设电位函数的通解为 1 1 ( , ) sin( ) n n n x a n y x y A e a = − = ( 0) x 2 1 ( , ) sin( ) n n n x a n y x y B e a = = ( 0) x 由条件③，有 1 sin( ) n n n y A a = = 1 sin( ) n n n y B a = （1） 1 sin( ) n n n n y A a a = + 1 sin( ) n n n n y B a a = 0 ( ) l q y d = − （2） 由式（1），可得 A B n n = （3） 将式（2）两边同乘以 sin( ) m y a ，并从 0 到 a 对 y 积分，有 0 0 0 2 2 ( )sin( )d sin( ) a l l n n q q n y n d A B y d y n a n a + = − = （4） 由式（3）和（4）解得 0 sin( ) l n n q n d A B n a = = 故 1 0 1 1 ( , ) sin( ) sin( ) l n q n d n y n x a x y e n a a = − = ( 0) x 2 0 1 1 ( , ) sin( ) sin( ) l n q n d n y n x a x y e n a a = = ( 0) x 4.7 如题 4.7 图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷 l q 。求槽 内的电位函数
qro(xo,yo)a题4.7图解由于在（xo,yo）处有一与z轴平行的线电荷qi，以x=xo为界将场空间分割为0sinoAbbbn=ln元(ny)cosh[n元(a-xo)=(-)+EB.sin((2)bbb6n=I由式（1），可得A, sinh(ntx))-B, sinh[元(-(α-x)= 0(3)hb将式（2）两边同乘以sin(m），并从0到b对积分，有b2q(nx)+B,cosh[(a-x0)=(y-o)sin(n)dyA,cosh(bbbn2q,n元y)sind(4)bTe由式（3）和（4）解得
y o a x l q b ( , ) 0 0 x y 题 4.7 图 解 由于在 ( , ) 0 0 x y 处有一与 z 轴平行的线电荷 l q ，以 0 x = x 为界将场空间分割为 0 0 x x 和 0 x x a 两个区域，则这两个区域中的电位 1 ( , ) x y 和 2 ( , ) x y 都满足拉普 拉斯方程。而在 0 x = x 的分界面上，可利用 函数将线电荷 l q 表示成电荷面密度 0 ( ) ( ) l y q y y = − ，电位的边界条件为 ① 1 (0, ) 0 y = ， 2 ( , ) 0 a y = ② 1 1 ( ,0) ( , ) 0 x x b = = 2 2 ( ,0) ( , ) 0 x x b = = ③ 1 0 2 0 ( , ) ( , ) x y x y = 0 2 1 0 0 ( ) ( ) l x x q y y x x = − = − − 由条件①和②，可设电位函数的通解为 1 1 ( , ) sin( )sinh( ) n n n y n x x y A b b = = (0 ) 0 x x 2 1 ( , ) sin( )sinh[ ( )] n n n y n x y B a x b b = = − ( ) x0 x a 由条件③，有 0 0 1 1 sin( )sinh( ) sin( )sinh[ ( )] n n n n n y n y n n x A B a x b b b b = = = − （1） 0 1 sin( )cosh( ) n n n n y n x A b b b = 0 0 1 0 sin( )cosh[ ( )] ( ) l n n n n y n q B a x y y b b b = + − = − （2） 由式（1），可得 0 0 sinh( ) sinh[ ( )] 0 n n n x n A B a x b b − − = （3） 将式（2）两边同乘以 sin( ) m y b ，并从 0 到 b 对 y 积分，有 0 0 0 0 0 2 cosh( ) cosh[ ( )] ( )sin( )d b l n n n x q n n y A B a x y y y b b n b + − = − 0 0 2 sin( ) l q n y n b = （4） 由式（3）和（4）解得
2q1元n元ysinhl-xo)]sin(Aabsinh(na/b) nob29i1元xntyosinh(B, =sin(bsinh(na/b)n0b故291sinh[n元g(x,y):(a-x)=nsinh(n元a/b)bn元yo)sinh(nxn元ysin((0<x<x)sirbbh12qin元x0sinh(p(x,y) :b= nsinh(n元a/b)n元(n元 y0)sinh["n元ysin((a-x)sin((xo <x<a)bbb若以y=为界将场空间分割为<y<y和y<y<b两个区域，则可类似地得到1297n元g(x,y)=sinh[(b- y%))元nsinh(n元b/a)an元yn元xn元x(0<y<y)sinsinhsinaaa124nyosinh(P2(x,y)=元nsinh(n元b/a)an元xon元n元x) sinh[-(b-y)lsin((% <y<b)sin(aaa4.8如题4.8图所示，在均匀电场E。=e.E。中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为α。求导体圆柱外的电位和电场E以及导体表面的感应电荷密度。AyEX题4.8图解在外电场E。作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场E。的电位Po与感应电荷的电位的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z无关。在圆柱面坐标系中，外电场的电位为P(r,)=-Ex+C=-ErcosΦ+C（常数C的值由参考点确定），而感应电荷的电位m(r,Φ)应与P(r,Φ)一样按cosΦ变化，而且在无限远处为0。由于导体是等位体，所以p(r，）满足的边界条件为① p(a,Φ)=C② (r,d)-→-Ercos@+C (r→o)由此可设
0 0 0 2 1 sinh[ ( )]sin( ) sinh( ) l n q n y n A a x n a b n b b = − 0 0 0 2 1 sinh( )sin( ) sinh( ) l n q n x n y B n a b n b b = 故 1 0 0 1 2 1 ( , ) sinh[ ( )] sinh( ) l n q n x y a x n n a b b = = − 0 sin( )sinh( )sin( ) n y n x n y b b b (0 ) 0 x x 0 2 0 1 2 1 ( , ) sinh( ) sinh( ) l n q n x x y n n a b b = = 0 sin( )sinh[ ( )]sin( ) n y n n y a x b b b − ( ) x0 x a 若以 0 y y = 为界将场空间分割为 0 0 y y 和 0 y y b 两个区域，则可类似地得到 1 0 0 1 2 1 ( , ) sinh[ ( )] sinh( ) l n q n x y b y n n b a a = = − 0 sin( )sinh( )sin( ) n x n y n x a a a 0 (0 ) y y 0 2 0 1 2 1 ( , ) sinh( ) sinh( ) l n q n y x y n n b a a = = 0 sin( )sinh[ ( )]sin( ) n x n n x b y a a a − 0 ( ) y y b 4.8 如题 4.8 图所示，在均匀电场 E e 0 0 = x E 中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆 柱，圆柱的半径为 a 。求导体圆柱外的电位 和电场 E 以及导体表面的感应电荷密度 。 x y o E0 a 题 4.8 图 解 在外电场 E0 作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场 E0 的电位 0 与感应电荷的电位 in 的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量 z 无关。在圆柱面 坐标系中，外电场的电位为 000 ( , ) cos r E x C E r C = − + = − + （常数 C 的值由参考点确 定），而感应电荷的电位 ( , ) in r 应与 0 ( , ) r 一样按 cos 变化，而且在无限远处为 0。 由于导体是等位体，所以 ( , ) r 满足的边界条件为 ① ( , ) a C= ② 0 ( , ) cos ( ) r E r C r → − + → 由此可设
p(r,g)=-Eorcosg+ A,r-' cosp+C由条件①，有-Egacosp+Aa-'cos$+C=C于是得到A =α?E.故圆柱外的电位为p(r,d)=(-r +ar-")E, cos@+C若选择导体圆柱表面为电位参考点，即β(a,Φ)=0，则C=0。导体圆柱外的电场则为aplapE=-Vo(r,0)=-e,%-e,F00a?O=e,(l+-)E.cosp+e(-1+-)E, sin g2导体圆柱表面的电荷面密度为op(r,d)r=a=28.E.cospG=-60Or4.9在介电常数为8的无限大的介质中，沿z轴方向开一个半径为α的圆柱形空腔。沿x轴方向外加一均匀电场E。=e,E。，求空腔内和空腔外的电位函数。解在电场E。的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加电场E与极化电荷的电场E，的叠加。外电场的电位为P(r,)=-Egx=-Eorcos而感应电荷的电位Pm(r,d)应与P(r,d)一样按cos变化，则空腔内、外的电位分别为(r,)和(r,)的边界条件为① r→o时, β(r,)→-E,rcosg②r=0时，9(r,)为有限值；③r=a时, P(a,)=P(a,)001-000Sor"Or由条件①和②，可设g(r,p)=-Eorcosp+Arcosp(r≤a)p2(r,g)=-Eorcosg+ Ar-"cosg(r≥a)代入入条件③，有Aa=Aa-l,-6,E+6A=-E,-caA由此解得A=---Eo, A =--dE.+606+60所以26_Ercosdp(r,g)=-(r≤a)6+60(r,0)=-[1+-0(9)]Ercos(r≥a)+60
1 0 1 ( , ) cos cos r E r A r C − = − + + 由条件①，有 1 0 1 E a A a C C cos cos − − + + = 于是得到 0 2 A1 = a E 故圆柱外的电位为 2 1 0 ( , ) ( ) cos r r a r E C − = − + + 若选择导体圆柱表面为电位参考点，即 ( , ) 0 a = ，则 C = 0 。 导体圆柱外的电场则为 2 2 2 2 0 0 1 ( , ) (1 ) cos ( 1 ) sin r r r r r a a E E r r = − = − − = + + − + E e e e e 导体圆柱表面的电荷面密度为 0 0 0 ( , ) 2 cos r a r E r = = − = 4.9 在介电常数为 的无限大的介质中，沿 z 轴方向开一个半径为 a 的圆柱形空腔。沿 x 轴方向外加一均匀电场 E e 0 0 = x E ，求空腔内和空腔外的电位函数。 解 在电场 E0 的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场 E 为外加电场 E0 与极化电荷的电场 E p 的叠加。外电场的电位为 0 0 0 ( , ) cos r E x E r = − = − 而感应电荷的电位 ( , ) in r 应与 0 ( , ) r 一样按 cos 变化， 则空腔内、外的电位分别为 1 ( , ) r 和 2 ( , ) r 的边界条件为 ① r → 时， 2 0 ( , ) cos r E r → − ； ② r = 0 时， 1 ( , ) r 为有限值； ③ r = a 时， 1 2 ( , ) ( , ) a a = 1 2 0 r r = 由条件①和②，可设 1 0 1 ( , ) cos cos r E r A r = − + ( ) r a 1 2 0 2 ( , ) cos cos r E r A r − = − + ( ) r a 代入入条件③，有 1 A a A a 1 2 − = ， 2 0 0 0 1 0 2 E A E a A− − + = − − 由此解得 0 1 0 0 A E − = − + ， 0 2 2 0 0 A a E − = − + 所以 1 0 0 2 ( , ) cos ( ) r E r r a = − + 0 2 2 0 0 ( , ) [1 ( ) ] cos ( ) a r E r r a r − = − + +
二个半径为b、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面，如题4.104.10图所示。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象限分别保持电位U。和-U。。求圆柱面内部的电位函数。yL题4.10图解由题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为①p(0,)为有限值；[U。0<Φ<元/20元/2<<元②p(b,)=-U.元<<3元/203元/2<<2元由条件①可知，圆柱面内部的电位函数的通解为r"(A, sin ng+B, cosng)p(r,)=(r≥a)/a代入条件②，有25(4.sinp+ ,cosmn)=0(6.)n=l由此得到21[p(b,g)sin ngdpA.:b"元1x/23元/2U.sinnodo--TU.sinnodgb"元2U。U.n=1,3,5,...-(1-cosn元)n元bb"n元0,n=2,4,6,...271[ p(b,p)cosngdgB. :b"元3元/21U.cosngdg-U.cosngdqb"元元n+32U(-1) 2U.3n元n元n=1,3,5,..-(sinsinn元b"-22b"n元0,n=2,4,6,..故
4.10 一个半径为 b 、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面，如题 4.10 图所示。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象限分别保持电位 U0 和 −U0 。求圆柱面内部的电位函数。 x y o U0 −U0 b 0 0 题 4.10 图 解 由题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为 ① (0, ) 为有限值； ② 0 0 0 2 0 2 ( , ) 3 2 0 3 2 2 U b U = − 由条件①可知，圆柱面内部的电位函数的通解为 1 ( , ) ( sin cos ) ( ) n n n n r r A n B n r a = = + 代入条件②，有 1 ( sin cos ) ( , ) n n n n b A n B n b = + = 由此得到 2 0 1 ( , )sin d n n A b n b = 2 3 2 0 0 0 1 [ sin d sin d ] n U n U n b = − 0 0 2 , 1,3,5, (1 cos ) 0 2, 4,6, n n U U n n n b b n n = = − = ， = 2 0 1 ( , )cos d n n B b n b = 2 3 2 0 0 0 1 [ cos d cos d ] n U n U n b = − 3 2 0 0 2 3 ( 1) , 1,3,5, (sin sin ) 2 2 0 2,4,6, n n n U U n n n n b b n n + − = = − = ， = 故
n+32U。！p(r,g)=3(-)"[sin ng+(-1) 2 cosng](r≤b)元n=l,35... b如题4.11图所示，一无限长介质圆柱的半径为、介电常数为8，在距离轴线4.11r(r>α)处，有一与圆柱平行的线电荷qi，计算空间各部分的电位。4J题4.11图解在线电荷9作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位@(r，Φ）均为线电荷q,的电位,(r,)与极化电荷的电位,(r,)的叠加，即(r,)=(r,)+,(r,)。线电荷q,的电位为InR=-%In JP+-2rr cosop(r,g)=-(1)2元602元80而极化电荷的电位，（r，）满足拉普拉斯方程，且是Φ的偶函数。介质圆柱内外的电位g(r,)和(r）满足的边界条件为分别为9(0,)为有限值：?②(r,Φ)-→p(r) (r→)?r=a时，=2001=000raPSOr由条件①和②可知，g(r，）和p（r，）的通解为g(r,g)=p,(r,g)+A,r" cos np(0≤r≤a)(2)n=1P2(r,g)=9,(r,)+EB,r-" cosng(a≤r<0)(3)n=1将式（1）～（3）带入条件③，可得到A,d" cos ng=B.a-" cos ng(4)n=1n=1qolnR(A,sna"l + B,8ona-"-l)cosnp=(-8)(5)Or2元0n=当r<r时，将nR展开为级数，有!(y cos ngIn R= Inro -(6)台nro带入式（5），得
3 0 2 1,3,5, 2 1 ( , ) ( ) [sin ( 1) cos ] ( ) n n n U r r n n r b n b + = = + − 4.11 如题 4.11 图所示，一无限长介质圆柱的半径为 a 、介电常数为 ，在距离轴线 ( ) r0 r0 a 处，有一与圆柱平行的线电荷 l q ，计算空间各部分的电位。 y o x a ql 0 r 0 题 4.11 图 解 在线电荷 l q 作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位 ( , ) r 均为线电荷 l q 的电位 ( , ) l r 与极化电荷的电位 ( , ) p r 的叠加，即 ( , ) ( , ) ( , ) l p r r r = + 。线电 荷 l q 的电位为 0 ( , ) ln 2 l l q r R = − 2 2 0 0 0 ln 2 cos 2 l q r r rr = − + − （1） 而极化电荷的电位 ( , ) p r 满足拉普拉斯方程，且是 的偶函数。介质圆柱内外的电位 1 ( , ) r 和 2 ( , ) r 满足的边界条件为分别为 ① 1 (0, ) 为有限值； ② 2 ( , ) ( , ) ( ) l r r r → → ③ r = a 时， 1 2 = 1 2 0 r r = 由条件①和②可知， 1 ( , ) r 和 2 ( , ) r 的通解为 1 1 ( , ) ( , ) cos n l n n r r A r n = = + (0 ) r a （2） 2 1 ( , ) ( , ) cos n l n n r r B r n − = = + ( ) a r （3） 将式（1）～（3）带入条件③，可得到 1 1 cos cos n n n n n n A a n B a n − = = = （4） 1 1 0 0 1 0 ln ( )cos ( ) 2 n n l n n r a n q R A na B na n r − − − = = + = − （5） 当 0 r r 时，将 ln R 展开为级数，有 0 1 0 1 ln ln ( ) cos n n r R r n n r = = − （6） 带入式（5），得