《电磁场与电磁波》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 静电场的边值问题

第三章静电场的边值问题主要内容电位微分方程，镜像法，分离变量法电位微分方程1.镜像法2. 直角坐标系中的分离变量法3.圆柱坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法5

第三章 静电场的边值问题 主 要 内 容 电位微分方程，镜像法，分离变量法。 1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中的分离变量法 4. 圆柱坐标系中的分离变量法 5. 球坐标系中的分离变量法

1.电位微分方程已知电位β与电场强度E的关系为E=-VβV.E =-V?p对上式两边取散度，得对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E的散度为V.E=P8那么，电位满足的微分方程式为?β=-P泊松方程8

1. 电位微分方程 已知电位  与电场强度 E 的关系为 E = − 对上式两边取散度，得  2  E = − 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E 的 散度为     E = 那么，电位满足的微分方程式为     = − 2 泊松方程

V?=_P8对于无源区，p=上式变为V?p= 0拉普拉斯方程已知分布在V中的电荷在无限大的自由空间产生的电位为DC4元8上式为泊松方程在自由空间的特解利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解

拉普拉斯方程     = − 2 0 2   = 对于无源区，  = ，上式变为 0 V V  −   =   d | | ( ) 4π 1 ( ) r r r r    已知分布在V 中的电荷 在无限大的自由空间 产生的电位为 (r) 上式为泊松方程在自由空间的特解。 利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的 通解

数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性初始条件定解条件边界条件静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件

静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及 拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。 定解条件 初始条件 边界条件 数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。 根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静 电场的边值问题。 此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于 前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件

边界条件有三种类型：第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄利克雷问题第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值这种边值问题又称为诺依曼问题第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件

边界条件有三种类型： 第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值， 这种边值问题又称为诺依曼问题。 第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另 一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又 称为混合边界条件。 第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边 值问题又称为狄利克雷问题

解的存在稳定及惟一性问题存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否变化很大惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否是惟一的。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明可以证明电位微分方程解具有惟一性

解的存在、稳定及惟一性问题。 泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经 得到证明。 惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否是 惟一的。 稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的 解是否变化很大。 存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在 确信无疑。 可以证明电位微分方程解具有惟一性

若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位就是第一类边界。apPs已知On8可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值因此，若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界因此，对于导体边界，当边界上的电位，或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理

若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位就 是第一类边界。 已知 S n     = −  因此，对于导体边界，当边界上的电位，或电位 的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的 静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性 定理。 可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。 因此，若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界

对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满V?p=_P足泊松方程方程8在无源区，电位满足拉普拉斯方程V?p= 0静电场的边值问题根据给定的边界条件求解静电场的电位分布利用格林函数，可以求解泊松方程。利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法

静电场的边值问题 —— 根据给定的边界条件求解 静电场的电位分布。 对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满 足泊松方程方程     = − 2 在无源区，电位满足拉普拉斯方程 0 2   = 利用格林函数，可以求解泊松方程。 利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。 求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法

镜像法2.实质：以一个或几个等效电荷代替边界的影响将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法

2. 镜像法 实质: 以一个或几个等效电荷代替边界的影响， 将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自 由空间，从而使计算过程大为简化。 这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此 称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法

依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原来的边界条件关键：确定镜像电荷的大小及其位置局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电荷分布才有可能确定其镜像电荷

依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原 来的边界条件。 关键：确定镜像电荷的大小及其位置。 局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电 荷分布才有可能确定其镜像电荷