第三章静电场的边值问题主要内容电位微分方程，镜像法，分离变量法电位微分方程镜像法直角坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法D
第三章 静电场的边值问题 主 要 内 容 电位微分方程，镜像法，分离变量法。 1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中的分离变量法 4. 圆柱坐标系中的分离变量法 5. 球坐标系中的分离变量法
1.电位微分方程已知电位 β 与电场强度 E 的关系为E=-VdV.E =-V?p对上式两边取散度，得对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E的散度为V.E=P8那么，电位满足的微分方程式为V?β=-P泊松方程8
1. 电位微分方程 已知电位 与电场强度 E 的关系为 E = − 对上式两边取散度，得 2 E = − 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E 的 散度为 E = 那么，电位满足的微分方程式为 = − 2 泊松方程
V?β=-P对于无源区，p=Q上式变为?β= 0拉普拉斯方程已知分布在V中的电荷在无限大的自由空间产生的电位为VD4元8上式为泊松方程在自由空间的特解利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解
拉普拉斯方程 = − 2 0 2 = 对于无源区， = ，上式变为 0 V V − = d | | ( ) 4π 1 ( ) r r r r 已知分布在V 中的电荷 在无限大的自由空间 产生的电位为 (r) 上式为泊松方程在自由空间的特解。 利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的 通解
数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性初始条件定解条件边界条件静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件
静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及 拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。 定解条件 初始条件 边界条件 数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。 根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静 电场的边值问题。 此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于 前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件
边界条件有三种类型：第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄利克雷问题β ls= f(S)第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值dp这种边值问题又称为诺依曼问题Is= f,(S)On第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另直，这种边界条件又一部分边界上物理量的法向导数值apβ ls = fi(S,)称为混合边界条件= f(S,)SOn
边界条件有三种类型： 第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值， 这种边值问题又称为诺依曼问题。 第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另 一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又 称为混合边界条件。 第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边 值问题又称为狄利克雷问题。 1 | ( ) S = f S 2 | ( ) S f S n = 1 1 1 | ( ) S = f S 、 2 2 2 | ( ) S f S n =
PsE.1a0Ps给定导体可知D2n - Din = Psan8可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界。因此，当边界上的电位，或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理
给定导体可知 因此，当边界上的电位，或电位的法向导数给定 时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一 地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。 可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。 因此，若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界。 S n = − D D 2n 1n − = S S En =
静态场的边值问题及解的惟一性定理边值问题：在给定的边界条件下，求解位函Vβ=_P数的泊松方程或拉普拉斯方程边值问题的类型第一类边值问题第二类边值问题第三类边值问题S惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据
7 静态场的边值问题及解的惟一性定理 边值问题的类型 1 | ( ) S = f S 2 2 2 | ( ) S f S n = 1 1 1 | ( ) S = f S 、 边值问题：在给定的边界条件下，求解位函 数的泊松方程或拉普拉斯方程 第一类边值问题 第三类边值问题 第二类边值问题 S V = − 2 惟一性定理的重要意义 给出了静态场边值问题具有惟一解的条件 为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据 为求解结果的正确性提供了判据
2aa0例：1Uaxdp(0, y) = 0, p(a, y) = 0p(x, 0) = 0, Φ(x, b) =Uxa（第一类边值问题）a020?例:= 0福axayaaeag= 0.91a=0=0axx=0=0x=aaxaxp(x, 0) = 0, p(x,b) =UCxa（第三类边值问题）8
8 2 2 2 2 0 x y + = 例： (0, ) 0, ( , ) 0 y a y = = 0 ( ,0) 0, ( , ) x x b U = = （第一类边值问题） U0 b a o x y U0 b a o x y 0 x = 0 x = 2 2 2 2 0 x y + = 0 0, 0 x x a x x = = = = 0 ( ,0) 0, ( , ) x x b U = = （第三类边值问题） 例：
静电场的边值问题根据给定的边界条件求解静电场的电位分布利用格林函数，可以求解泊松方程利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法
静电场的边值问题 —— 根据给定的边界条件求解 静电场的电位分布。 利用格林函数，可以求解泊松方程。 利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。 求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法
镜像法ImageMethodandElectricAxisMethod当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布非均匀感应电荷几个实例接地导体板附近有一个点电荷，如图所等效电荷示。非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代
当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出 现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。 非均匀感应电荷产生的电位很难求 解，可以用等效电荷的电位替代 几个实例 接地导体板附近有 一个点电荷，如图所 示。 q′ q 非均匀感应电荷 等效电荷 镜像法 Image Method and Electric Axis Method