《固体物理》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 晶格振动与晶体的热学性质 §3.6 晶格热容 §3.7 非简谐效应

§3.6晶格热容 一、晶格振动对热容的贡献 第新个筒诺振子的能量本征值：￡-？+》侧 在一定温度下，频率为@的简谐振子的统计平均能量： nhoj 瓦， ∑n,ho,exp B= nho ∑exp-k kBT

§3.6 晶格热容 一、晶格振动对热容的贡献 在一定温度下，频率为j的简谐振子的统计平均能量： j j j j j j j j j j exp 1 2 exp n n B B n n k T E n k T         −   = +     −     1 B k T  = j j j 1 2 E n    = +     第j个简谐振子的能量本征值：

∑n,ho,exp(-n,Bho） 1 E= nj 2 ∑exp(-n,Bho) 空enm】 aB ni1-ep-h0,） aB ho h0,+expBhw,）-l

( ) ( ) j j j j j j j j j j exp 1 2 exp n n n n E n       − = + −   ( ) 1 exp 2 n    n n     = − −         j j j j 1 exp( ) 1 2 1 j j         − −  = − n 1 2 exp( ) 1     = + − j j j

厚-+h0 其中 n,= 一平均声子数 ho exp 在一定温度下，晶格振动的总能量为： E-m,+公 ho; =Eo+E(T) j exp kBT

1 2 E n     = +     j j j 其中 exp 1 1 −        = k T n B j j  —— 平均声子数 在一定温度下，晶格振动的总能量为： 0 1 ( ) 2 exp 1 B E E E T k T    = + = +     −       j j j j j

一晶体的零点能 ho: 与温度有关的能量 将对Q的求和改为积分 r=j号og(odw E(T）=j6 ho g(o)do ho exp -1

将对j的求和改为积分 1 0 2 E =  j j —— 晶体的零点能 ( ) exp 1 B E T k T   =     −      j j j —— 与温度有关的能量 ( ) 0 0 1 2 m E d  =    g ω ( ) ( ) 0 exp 1 m B E T d k T     =     −    g ω

g():晶格振动的模式密度，om:截止频率 g(o)do:频率在o一o十do之间的振动模式数 ∫g(o)do=3N 晶格热容： ho exp kgT g(odo (h0

g()：晶格振动的模式密度，m：截止频率 ( ) 0 3 m g d N    =  晶格热容： ( ) 2 2 0 exp exp 1 m B V B V B B E k T C k d T k T k T g                  = =                  −      g()d ：频率在－＋d之间的振动模式数

二、晶格热容模型 l.Dulong一Petit定律 Dulong一Petit定律：在常温下大多数固体的热容量差不多 都等于6 callmol-K 经典统计理论的解释：能量均分定理 一摩尔晶体的振动能为： E=3NokgT =3Nkg=3R≈6cal/mol.K

二、晶格热容模型 1. Dulong－Petit定律 经典统计理论的解释：能量均分定理 0 3 3 6 / V B V E C N k R cal mol K T     = = =       Dulong－Petit定律：在常温下大多数固体的热容量差不多 都等于6 cal/mol·K 0 3 一摩尔晶体的振动能为： E N k T = B

经典的能量均分定理可以很好地解释室温下晶格热 容的实验结果。 困难：低温下，Ty,Cvy;且当T→0时，Cv→0， 经典的能量均分定理无法解释。 2.Einstein模型 假设：晶体中各原子的振动相互独立，且所有原子都 以同一频率o振动。 即：ω=0=C0nSt 在一定温度下，由N个原子组成的晶体的总振动能为： E(T)=3N. h@o h@o exp kgT

经典的能量均分定理可以很好地解释室温下晶格热 容的实验结果。 2. Einstein模型 在一定温度下，由N个原子组成的晶体的总振动能为： ( ) 0 0 3 exp 1 B E T N k T   =      −   假设：晶体中各原子的振动相互独立，且所有原子都 以同一频率0振动。 0 即：  = = const. 困难：低温下， , ; 且当T→0时，CV →0， 经典的能量均分定理无法解释。 T CV

exp .Cv= OE =3NkB 定义Einstein:温度： hao OEkB 高温下：T>⊙ 即kT>hoo hoo exp Cy =3NkB kgT

0 2 0 2 0 exp 3 exp 1 B V B B B E k T C Nk T k T k T              = =               −     定义 Einstein温度： 0 E B k   = 0 2 0 2 0 exp 3 exp 1 B V B B B k T C Nk k T k T            =              −     ❖ 高温下：T >> E 即 B 0 k T 

2 Cy=3NkB hoo kI exp ≈3NkB hoo =3NkB

2 0 2 0 0 1 3 exp exp 2 2 V B B B B C Nk k T k T k T      =                  − −       2 0 2 0 0 1 3 1 1 2 2 B B B B Nk k T k T k T                + − +   3 = NkB

在低温下：T<⊙ε即 kgT<hoo hwo exp Cy=3NkB hoo kgT exp ≈3Nk hoo h@o kgT 当T→0时，Cy→0，与实验结果定性符合。 但实验结果表明，T→0，Cv∝T3; 根据Einstein模型，T-→0，( →0

0 2 0 2 0 exp 3 exp 1 B V B B B k T C Nk k T k T            =              −     ❖ 在低温下：T << E 即 2 0 0 3 exp B B B Nk k T k T         −         当T→0时，CV →0，与实验结果定性符合。 0 exp 0 V B C k T    → − →     根据Einstein模型，T→0， 但实验结果表明， T→0 ， CV ∝T3 ; B 0 k T 