《电磁场与电磁波》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 矢量分析

第一章矢量分析主要内容梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理5.格林定理1．标量场的方向导数与梯度6.矢量场的惟一性定理2．矢量场的通量与散度7. 亥姆霍兹定理3.矢量场的环量与旋度8.．正交曲面坐标系4．无散场和无旋场VK

第一章 矢量分析 主 要 内 容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度 2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场 5. 格林定理 6. 矢量场的惟一性定理 7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系

标量场（Φ)和矢量场(A)X以箭头表示的量场A以浓度表示的标量场Φ

y x 以浓度表示的标量场 以箭头表示的矢量场A 标量场（）和矢量场（A） y x

1．标量场的方向导数与梯度标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。ΦPad定义为标量场Φ在P点沿l方向上的方向导数aladΦ(P')-Φ(P) lim一al△1N/0TVKV

1. 标量场的方向导数与梯度 标量场在某点的方向 导数表示标量场自该点沿 某一方向上的变化率。 Δ 0 ( ) ( ) lim P l Δ P P l l          标量场  在 P 点沿 l 方向上的方向导数 定义为 P l  P l Δl P 

梯度是一个矢量。某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，某点梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。在直角坐标系中，标量场Φ的梯度可表示为adadadgrad Φ =ex++ee1Ozaxdy的缩写。式中grad 是英文字 gradient 白KLV

梯度是一个矢量。 x y z y z              e e e x grad 在直角坐标系中，标量场  的梯度可表示为 式中grad 是英文字 gradient 的缩写。 某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，某点 梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向

若引入算符√，在直角坐标系中该算符√可表示为aaaV=e.teteyaxayz则梯度可以表示为gradΦ = V@(及叭例 计算V一RP'xR)r这里R=r-r+ 0P(x, y, 2)ry表示对x,y,z运算OV表示对x,y,z运算KV

x y z x y z           e e e 若引入算符，在直角坐标系中该算符  可表 示为 则梯度可以表示为 grad   z x y r O r' P(x, y, z) r – r' P'(x ' , y ' , z ') 例 计算  及 。       R 1        R 1 表示对 x, y, z 运算 表示对 x  , y  ,z  运算   这里 R  r  r  0

解r = xe + ye, +ze.Z1P'(x',y,z )r'=x'e, +y'e, +z'e.-r>P(x, y, 2)R=(x-x)e, +(y-y')e,+(z-z')ery0R= /(x-x)*+(y-y') +(z-z)?1aaaaaaV=erVte+e2ey ayOzOz'axayaxRR11()--()R3R3(RRP'表示源点，P表示场点。MKV

x y z r  xe  ye  ze x y z r  x e  y e  z e 解 x y z R  (x  x )e  ( y  y )e  (z  z )e 2 2 2 R  (x  x )  ( y  y )  (z  z ) x y z x y z           e e e x y z x y z              e e e 3 1 R R R                         R R 1 1 3 1 R R R         P表示源点，P 表示场点。 z x y r O r' P(x, y, z) r – r' P'(x ' , y ' , z ')

2.矢量场的通量与散度矢量A沿某一有向曲面 S的面积分称为矢量A通过该有向曲面S的通量，以标量表示，即Y=A.dsS通量可为正、负、或零当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭（或汇）。合面中存在汇聚该量场的洞KVV

矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过 该有向曲面 S 的通量，以标量  表示，即 2. 矢量场的通量与散度    S  A dS 通量可为正、负、或零。 当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产 生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭 合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）

A.dsD闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为负。前述的源称为正源，而洞称为负源VVK

闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外 法线方向。 当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量 一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该 闭合面的通量一定为负。 前述的源称为正源，而洞称为负源。    S S  A dS

已知真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量q与真空介电常数ε。之比，即E·ds = q80当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。V

已知真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的 通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量 q 与真空 介电常数  0 之比，即， 当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合 面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无 源区中，穿过任一闭合面的通量为零。    S q 0 d  E S ㊀ ㊉

但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度当闭合面S向某点无限收缩时，矢量A通过该闭合面S的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该点的散度，以 div A 表示，即 A.dsdivA= lim△VAV-→0式中div 是英文字divergence 的缩写，△V为闭合面 S包围的体积。VKV

但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能 显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。 当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭 合面 S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为 矢量场 A 在该点的散度，以 div A 表示，即 V S V Δ d div lim Δ 0     A S A 式中div 是英文字divergence 的缩写， V 为闭合面 S 包围的体积