《电磁场》课程教学资源_习题训练_第三章 静电场分析

第三章静电场分析3.1真空中半径为α的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷和一q，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ（如题3.1图所示）。赤道平面题3.1图解由点电荷9和一q共同产生的电通密度为D=(R_R)4元RR-I,er+e(z-a)e,r+e.(z+a)4元[ +(2-a)/2~[72+(2+a)32则球赤道平面上电通密度的通量@=[D.ds=[D.e.-. dsSs(-a)aq+a（+a12元dr4元qa1-1)q=-0.293q(+a)/。=(V23.21911年卢瑟福在实验中使用的是半径为r。的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为一7e的电子云，在球心有一正电荷7e（7是原子序数，eZe1F），试证是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为D。=e，会(宁Pa明之。解位于球心的正电荷Ze在球体内产生的电通量密度为ZeD,=e,4元2原子内电子云的电荷体密度为Ze3ZeP=4元/3-～4元电子云在原子内产生的电通量密度则为

第三章 静电场分析 3.1 真空中半径为 a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷 q 和− q ，试计算球赤 道平面上电通密度的通量  (如题 3.1 图所示)。 q −q a 赤道平面 题 3.1 图 解 由点电荷 q 和 − q 共同产生的电通密度为 3 3 2 2 3 2 2 2 3 2 ( ) 4 ( ) ( ) { } 4 [ ( ) ] [ ( ) ] r z r z q R R q r z a r z a r z a r z a   + − + − = − + − + + = − + − + + R R D e e e e 则球赤道平面上电通密度的通量 0 2 2 3 2 2 2 3 2 0 2 2 1 2 0 d d ( ) [ ]2 d 4 ( ) ( ) 1 ( 1) 0.293 ( ) 2 z z S S a a S q a a r r r a r a qa q q r a    = = = − = − + + = = − = − +    D S D e 3.2 1911 年卢瑟福在实验中使用的是半径为 a r 的球体原子模型， 其球体内均匀分布有总电荷量为 − Ze 的电子云，在球心有一正电荷 Ze （ Z 是原子序数， e 是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为 0 2 3 1 ( ) 4 r a Ze r  r r D e = − ，试证 明之。 解 位于球心的正电荷 Ze 在球体内产生的电通量密度为 1 2 4 r Ze  r D e = 原子内电子云的电荷体密度为 3 3 3 4 3 4 a a Ze Ze r r    = − = − 电子云在原子内产生的电通量密度则为

p4元3/3Ze rD, =e4元24元3故原子内总的电通量密度为Ze,1D= D, +D, =e,4元2Ya3.3电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为P.C/m，两圆柱面半径分别为a和b，轴线相距为c(cb区域中，由高斯定理SEdS=qS60可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为rb"po-Pob'rE=e260r22元80rPoa'r'-元a"poE'=e280/22元80r点P处总的电场为b'ra'rPoE=E, +E'=-(r?260在rα区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为元r"po=PorE,=e2元80r260Poa'r'-元d'poE, =e28gr'22元80r

3 2 2 3 4 3 4 4 r r a r Ze r r r     D e e = = − 故原子内总的电通量密度为 1 2 2 3 1 ( ) 4 r a Ze r  r r D D D e = + = − 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为 3 0 C m , 两圆柱面半径分别为 a 和 b ，轴线相距为 c (c  b − a) ，如题 3.3 图 ( ) a 所示。求空间各部分的电场。 解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高 斯定理求解。但可把半径为 a 的小圆柱面内看作同时具有体密度 分别为 0 的两种电荷分布，这样在半径为 b 的整个圆柱体内具有体密度为 0 的均匀电荷 分布，而在半径为 a 的整个圆柱体内则具有体密度为−0 的均匀电荷分布，如题 3.3 图 ( ) b 所 示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。 题 3. 3 图 ( ) b ＝ ＋ a b c 0 a b c 0 a b c −0 在 r  b 区域中，由高斯定理 0 d S q  =  E S 可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生的电场分别为 2 2 0 0 1 2 0 0 2 2 r b b r r      = = r E e 2 2 0 0 1 2 0 0 2 2 r a a r r      −    = = −   r E e 点 P 处总的电场为 2 2 0 1 1 2 2 0 ( ) 2 b a r r    = + = −   r r E E E 在 r  b 且 r   a 区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生的电场分 别为 2 0 0 2 0 0 2 2 r r r      = = r E e 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 r a a r r      −    = = −   r E e 题 3. 3 图 ( ) a a b c 0

点P处总的电场为a'rPoE= E, +E' =(r.260在ra区域1 [r2 (a +Aa))=0p(r)=drr23.5一个半径为α薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量。已知球内部的电场为E=e（r/α)，设球内介质为真空。计算：（1）球内的电荷分布：（2）球壳外表面的电荷面密度解（1）由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为2-1-1 d1d(r2(rE)=(p=V.E=0lF]=680a（2）球体内的总电量Q为.Q=[pdt = [680 =-4元d=4元aa0球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷一Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷9，所以球壳外表面上的总电荷为29，故球壳外表面上的电荷面密度为2Q=280a=4元a3.6两个无限长的同轴圆柱半径分别为r=a和r=b（b>a)，圆柱表面分别带有密度

点 P 处总的电场为 2 0 2 2 2 0 ( ) 2 a r    = + = −   r E E E r 在 r   a 的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生的电场分别为 2 0 0 3 0 0 2 2 r r r      = = r E e 2 0 0 3 0 0 2 2 r r r      −     = = −  r E e 点 P 处总的电场为 0 0 3 3 0 0 ( ) 2 2     E E E r r c = + = − =   3.4 半径为 a 的球体中充满密度 ( )r 的体电荷，已知电位移分布为 3 2 5 4 2 ( ) ( ) r r Ar r a D a Aa r a r  +   =  +    其中 A 为常数，试求电荷密度 ( )r 。 解 由  = D  ，有 2 2 1 d ( ) ( ) d r r r D r r  =  = D 故在 r a  区域 2 3 2 2 0 0 2 1 d ( ) [ ( )] (5 4 ) d r r r Ar r Ar r r    = + = + 在 r a  区域 5 4 2 0 2 2 1 d ( ) ( ) [ ] 0 d a Aa r r r r r   + = = 3.5 一个半径为 a 薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为 Q 为 的体电荷，球壳上又另充有电荷量 Q 。已知球内部的电场为 4 ( ) r E e = r a ，设球内介质为 真空。计算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。 解 （1） 由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为 4 3 2 2 0 0 0 0 2 2 4 4 1 d 1 d [ ( )] [ ( )] 6 d d r r r E r r r r r a a      =  = = = E （2）球体内的总电量 Q 为 3 2 2 0 0 4 0 d 6 4 d 4 a r Q r r a a  = = =        球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷− Q ，而且在球壳外表面上还要感应电荷 Q ，所以 球壳外表面上的总电荷为 2 Q ，故球壳外表面上的电荷面密度为 2 0 2 2 4 Q a    = = 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为 r a = 和 r b = ( ) b a  ，圆柱表面分别带有密度

为α,和,的面电荷。（1）计算各处的电位移D：（2）欲使r>b区域内D。=0，则α和，应具有什么关系？Dd=q，当r<a时，有Do=0解（1）由高斯定理当a<r<b时，有2元rD2=2元ao，，则Doz =e, adi1当b<r<时，有2元rD=2元ao，+2元bo，，则ao,+bo2Do=e,rao,+bo2=0），则得到(2)令Do=erGi=-boa3.7计算在电场强度E=e.y+e,x的电场中把带电量为-2μC的点电荷从点P(2,1-1)移到点P(8,2,-1)时电场所做的功：（1）沿曲线x=2y2；（2）沿连接该两点的直线。解(1) W=[F-dl=gJE-dl=gJE.dx+E,dyc=q[ydx+xdy=q[yd(2y2)+2y'dyq[6y2dy=14q=-28×10(J)(2）连接点P(2,1-1)到点P(8.2.-1)直线方程为x-2 x-8J-1-y-2即：x-6y+4=0，故W=q[ ydx+xdy=qJ yd(6y-4)+(6y-4)dy1=q[(12y-4)dy=14q=-28×10-° (J)3.8长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为Pio。（1）计算线电荷平分面上任意点的电位?：（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用E=-Vβ核对。解（1）建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的电位为

为  1 和  2 的面电荷。（1）计算各处的电位移 D0 ；（2）欲使 r b  区域内 0 D = 0 ，则  1 和  2 应具有什么关系？ 解 （1）由高斯定理 0 d S = q  D S ，当 r a  时，有 01 D = 0 当 a r b   时，有 02 1 2 2    rD a = ，则 1 02 r a r  D e = 当 b r    时，有 03 1 2 2 2 2      rD a b = + ，则 1 2 03 r a b r   + D e = （2）令 1 2 03 0 r a b r   + D e = = ，则得到 1 2 b a   = − 3.7 计算在电场强度 x y E e e = +y x 的电场中把带电量为 −2 C 的点电荷从点 1P(2,1, 1) − 移到点 2P (8,2, 1) − 时电场所做的功：（1）沿曲线 2 x y = 2 ；（2）沿连接该两 点的直线。 解 （1） d d d d x y C C C W q q E x E y = = = +    F l E l 2 2 2 1 d d d(2 ) 2 d C = + = + q y x x y q y y y y   2 2 6 1 q y y q J 6 d 14 28 10 ( ) − = = = −   （2）连接点 1P(2,1, 1) − 到点 2P (8,2, 1) − 直线方程为 2 8 1 2 x x y y − − = − − 即： x y − + = 6 4 0 ，故 2 1 d d d(6 4) (6 4)d C W q y x x y q y y y y = + = − + −   2 6 1 q y y q J (12 4)d 14 28 10 ( ) − = − = = −   3.8 长度为 L 的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为 l 0 。（1）计算线电荷平分面 上任意点的电位  ；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场 E ，并用 E = − 核对。 解 （1）建立如题 3.8 图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点 P 的电位为

p(r,0) =/24元802+2*2P In(2' + /rP +224元60-L/2Jr2 +(L/2)~ + L/2Pio_In4元0Jr2 +(L/2) - L/2yr2 +(L/2)* + L/2Pro2元60L/2Pic-L/2题3.8图（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元Prod=在点P的电场为Prodz'Pordz'dE=edE,=e,cosQ=e,2(r2 +22)3/22元62+2*2故长为L的线电荷在点P的电场为/2Piorde'2元80(2+22)3/2L/2LZProO1=e2元804元rJr2+(L/2)+=/211由E=-Vβ求E，有 L/2 + /r2 +(L/2)2PloInE=-V0=2元8Prod[in(L/2 + J/P +(L/2)])-In r2元drPro2元80L/2 + Jr2 +(L/2)2 /r2 +(L/2)

2 0 2 2 2 0 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 0 d ( ,0) 4 ln( ) 4 ( 2) 2 ln 4 ( 2) 2 ( 2) 2 ln 2 L l L L l L l l z r r z z r z r L L r L L r L L r          − −  = +  = + +   + + = + − + + =  L 2 −L 2 P  z o r l 0 题 3.8 图 （2）根据对称性，可得两个对称线电荷元 z l d   0 在点 P 的电场为 0 0 2 2 3 2 2 2 0 0 d d d d cos 2 2 ( ) l l r r r r z r z E r z r z        = = = +  +  E e e e 故长为 L 的线电荷在点 P 的电场为 2 0 2 2 3 2 0 0 d d 2 ( ) L l r r z r z    = = +    E E e 2 0 0 2 2 2 2 0 0 0 ( ) 2 4 ( 2) L l l r r z L r r r z r L      = = +  + e e 由 E = − 求 E ，有 2 2 0 0 2 ( 2) ln 2 l L r L r      + + = − = −        E ( ) 0 2 2 0 d ln 2 ( 2) ln 2 d l r L r L r r     = − + + −     e 0 2 2 2 2 0 1 2 2 ( 2) ( 2) l r r r L r L r L       = − −       + + +       e

LPi=e4元元r2 +(L/2)2已知无限长均匀线电荷P,的电场3.9P,E=er2n5g试用定义式[E.dlp(r)=求其电位函数。其中r.为电位参考点。-Pdr=PInrl=PLin解 (r)={E-dl=J2元602元602元80由于是无限长的线电荷，不能将r，选为无穷远点。一点电荷+q位于(-a,0,0)，另一点电荷-2q位于(a,0,0)，求空间的零电位3.10面。解两个点电荷+q和-2g在空间产生的电位2q1qp(x,y,=)=4元6(x+a)°+y°+2x-a)+y°+2令p(x,y,z)=0，则有21=0J(x+a)+ y? +J(x-a)* +y*+2?即4[(x+a) +y2 +2]=(x-a) +y2+2?故得54(x+=a)*+y +2? =(a)233由此可见，零电位面是一个以点（-5a3,0,0)为球心、4a3为半径的球面。3.11证明习题3.2的电位表达式为Ze1r3p(r) =4元2r2r.解位于球心的正电荷Ze在原子外产生的电通量密度为ZeD,=er 4r电子云在原子外产生的电通量密度则为4元/3ZeD, =e.4元2r4元所以原子外的电场为零。故原子内电位为12Ze.)dr[Ddr =,p(r)=-(4元060r

0 2 2 0 4 ( 2) l r L r r L   = + e 3.9 已知无限长均匀线电荷 l 的电场 0 2 l r r    E e = 试用定义式 ( ) d P r r  r =  E l 求其电位函数。其中 P r 为电位参考点。 解 0 0 0 ( ) d d ln ln 2 2 2 P P P r r r l l l P r r r r r r r r r           = = = =   E l 由于是无限长的线电荷，不能将 P r 选为无穷远点。 3.10 一点电荷 +q 位于 ( ,0,0) −a ，另一点电荷−2q 位于 ( ,0,0) a ，求空间的零电位 面。 解 两个点电荷 +q 和 −2q 在空间产生的电位 2 2 2 2 2 2 0 1 2 ( , , ) [ ] 4 ( ) ( ) q q x y z x a y z x a y z    = − + + + − + + 令 ( , , ) 0 x y z = ，则有 2 2 2 2 2 2 1 2 0 ( ) ( ) x a y z x a y z − = + + + − + + 即 2 2 2 2 2 2 4[( ) ] ( ) x a y z x a y z + + + = − + + 故得 5 4 2 2 2 2 ( ) ( ) 3 3 x a y z a + + + = 由此可见，零电位面是一个以点 ( 5 3,0,0) − a 为球心、 4 3 a 为半径的球面。 3.11 证明习题 3.2 的电位表达式为 2 0 1 3 ( ) ( ) 4 2 2 a a Ze r r r r r   = + − 解 位于球心的正电荷 Ze 在原子外产生的电通量密度为 1 2 4 r Ze  r D e = 电子云在原子外产生的电通量密度则为 3 2 2 2 4 3 4 4 a r r r Ze r r     D e e = = − 所以原子外的电场为零。故原子内电位为 2 3 0 0 1 1 ( ) d ( )d 4 a a r r r r a Ze r r D r r r r    = = −  

Ze34元—22r3.12电场中有一半径为α的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为[p(r)=0ra时，E=-Vβaaa[A(r.cosg)cos@-ArOrrdra=-e,A(1+ -)cosΦ+egA(1-)sing42（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为G=6nE-,=e,·E-,=-28Acos03.13验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足√2β=0(1) sin(kx)sin(ly)e-, 其中 h? = k? +[;(2) r"[cos(ng)+Asin(ng)]圆柱坐标；圆柱坐标；(3) r-" cos(ng)球坐标：(4)rcos(5) r-2 cos0球坐标。解（1）在直角坐标系中popapV20=ax2ay202?而a2ap[sin(kx)sin(ly)e-l J= -k’ sin(kx)sin(ly)e-lear?ax2?[sin(kx)sin(ly)e-]=-P sin(kx)sin(ly)e-hay2"y?ap_ 02[si(k) i(b)e* = si(ka) i(),e02故Vβ=(-k?-[? +h)sin(kx)sin(ly)e-h = 0（2）在圆柱坐标系中1a00V0=(r.200ror(Fr而

2 0 1 3 ( ) 4 2 2 a a Ze r  r r r = + − 3.12 电场中有一半径为 a 的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为 2 ( ) 0 ( ) ( )cos r r a a r A r r a r     =     = −   （1）求圆柱内、外的电场强度； （2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。 解 （1）由 E = − ，可得到 r a  时， E = − =  0 r a  时， E = − 2 2 [ ( )cos ] [ ( )cos ] r a a A r A r r r r r       = − − − −   e e 2 2 2 2 (1 )cos (1 )sin r a a A A r r = − + + −    e e （2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为 0 0 0 2 cos r r a r a      A = = = = = − n E e E 3.13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足 2  =  0 （1） sin( )sin( ) hz kx ly e− ，其中 2 2 2 h k l = + ； （2） [cos( ) sin( )] n r n A n   + 圆柱坐标； （3） cos( ) n r n − 圆柱坐标； （4） r cos 球坐标； （5） 2 r cos − 球坐标。 解 （1）在直角坐标系中 222 2 2 2 2 x y z     = + +    而 2 2 2 2 2 [sin( )sin( ) ] sin( )sin( ) hz hz kx ly e k kx ly e x x    − − = = −   2 2 2 2 2 [sin( )sin( ) ] sin( )sin( ) hz hz kx ly e l kx ly e y y    − − = = −   2 2 2 2 2 [sin( )sin( ) ] sin( )sin( ) hz hz kx ly e h kx ly e z z    − − = =   故 2 2 2 2 ( )sin( )sin( ) 0 hz  k l h kx ly e−  = − − + = （2）在圆柱坐标系中 2 2 2 2 2 2 1 ( ) r r r r r z           = + +     而

10o10a-r"[cos(ng)+ Asin(ng)])6rFararrorar= n'rn-2[cos(ng)+ Asin(ng)]10p-n*rn-2[cos(n)+ Asin(n)])Fd"p_ o?="[cos(n)+Asin(no)=0故V?p=01060)-100[r-" cos(ng)]) = n'r-n-2 cos(ng)(3)rr orarOrr or1 = -n'r-n-2 cos(ng)r? ag?"p_ ?[" cos(n0)=00z2故Vβ=0（4）在球坐标系中1a1a1.200dpV0=(r+(sine-r2 Orarrsingae00rsin000而21a(20g)aa1二cos(rcosO)]==rarararra1a1a(sino0g)[sin(rcosの))rsing00a0rsing0ao1a2-rsin0)=-cosorsinga0ra2ap11-(rcos)=0 sin'0ag?sin?000?故V?=0021a(02001a(r~2(5)cosの)|=cOsararararr4a1a1Psinoglsinog(sino0g(r~2cos0)a0aorsinga01a22sin0)=-cOs6r’ sing a0rpa211cos0)=0r? sin 0?rsin000?故V'p=0

1 1 ( ) { [cos( ) sin( )]} n r r r n A n r r r r r r        = +     2 2[cos( ) sin( )] n n r n A n   − = + 2 2 2 2 2 1 [cos( ) sin( )]} n n r n A n r      − = − +  2 2 2 2 [cos( ) sin( )] 0 n r n A n z z      − = + =   故 2  =  0 （3） 1 1 2 2 ( ) { [ cos( )]} cos( ) n n r r r n n r n r r r r r r        − − − = =     2 2 2 2 2 1 cos( ) n n r n r     − − = −  2 2 2 2 [ cos( )] 0 n r n z z     − = =   故 2  =  0 （4）在球坐标系中 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) (sin ) sin sin r r r r r r                 = + +      而 2 2 2 2 1 1 2 ( ) [ ( cos )] cos r r r r r r r r r r        = =     2 2 1 1 (sin ) [sin ( cos )] sin sin r r r               =     2 2 1 2 ( sin ) cos sin r r r      = − = −  2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( cos ) 0 sin sin r r r         = =   故 2  =  0 （5） 2 2 2 2 2 4 1 1 2 ( ) [ ( cos )] cos r r r r r r r r r r        − = =     2 2 2 1 1 (sin ) [sin ( cos )] sin sin r r r               − =     2 2 2 4 1 2 ( sin ) cos sin r r r      − = − = −  2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( cos ) 0 sin sin r r r         − = =   故 2  =  0

3.14已知y>0的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解？(1)e-coshx;(2)e"cosx;(3) e-y cosxsinx(4)sinxsinysinz。α?a2a2解 (1)a(e"coshx)+-(ecoshx)+(e-"coshx)=2e"coshx+0ay?Oz2所以函数e-coshx不是y>0空间中的电位的解；o22a2(2)ar (e'cos)+(ecosx)+-(e-cosx)=-e-ycosx+e-cosx=0Oy2Oz所以函数e-"cosx是y>0空间中可能的电位的解；a2a?a2(e~v(e~2(3)cosxsin.x)+(ecosxsinx)cosxsinx)+axay=-4e-fy cosxsinx+2e-y cosxsinx#0所以函数e-2ycosxsinx不是y>0空间中的电位的解；0202a2(4)(sinxsinysinz)(sinxsinysinz)+(sinxsinysinz)-axOy2Oz=-3sinxsinysinz+0所以函数sinxsinysinz不是y>O空间中的电位的解。3.15中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为P=P(e,x+e,y+e.-)。（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。Pp=-V.P=-3P解（1)1L)=P/= P/ROp(x=21Cp(x=-台)= nP-1/2 =-e,·P[Px=-L/2 =同理-)=0,(2=))=0p(y=-)=0p(z=op(y=322p=Jpd+odS=-3P+6LP=0(2)2TS一半径为R。的介质球，介电常数为6,60，其内均匀分布自由电荷P，证明中心3.16点的电位为28,+l(P)R28,380解由fD.dS=q可得到

3.14 已知 y  0 的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解? （1） cosh y e x − ； （2） e x y cos − ； （3） 2 cos sin y e x x − （4） sin x sin y sin z。 解 （1） 2 2 2 2 2 2 ( cosh ) ( cosh ) ( cosh ) 2 cosh 0 y y y y e x e x e x e x x y z    − − − − + + =     所以函数 e x y cosh − 不是 y  0 空间中的电位的解； （2） 2 2 2 2 2 2 ( cos ) ( cos ) ( cos ) cos cos 0 y y y y y e x e x e x e x e x x y z    − − − − − + + = − + =    所以函数 e x y cos − 是 y  0 空间中可能的电位的解； （3） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( cos sin ) ( cos sin ) ( cos sin ) y y y e x x e x x e x x x y z    − − − + +    2 2 4 cos sin 2 cos sin 0 y y e x x e x x − − = − +  所以函数 e x x y cos sin − 2 不是 y  0 空间中的电位的解； （4） 2 2 2 2 2 2 (sin sin sin ) (sin sin sin ) (sin sin sin ) x y z x y z x y z x y z    + +    = −  3sin sin sin 0 x y z 所以函数 sin x sin y sin z 不是 y  0 空间中的电位的解。 3.15 中心位于原点，边长为 L 的电介质立方体的极化强度矢量为 0 ( ) P e e e = + + P x y z x y z 。 （1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。 解 （1） 0 3  P = − = − P P 2 2 0 ( ) 2 2 P x L x x L L L  x P = = = = n P e P = = 2 2 0 ( ) 2 2 P x L x x L L L  x P = − = = − = n P e P =− =− 同理 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 P P P P L L L L L     y y z z P = = = − = = = = − = （2） 3 2 0 0 d d 3 6 0 2 P P P S L q S P L L P  = + = − +  =      3.16 一半径为 R0 的介质球，介电常数为 r 0   ，其内均匀分布自由电荷  ，证明中心 点的电位为 2 0 0 2 1( ) 2 3 r r R     + 解 由 d S = q  D S 可得到

4元34元r2D,(rR)p3即DprprED =(rR)3r-2360r260故中心点的电位为RoaPotPR3prdr+[E,dr =drp(0)= [E,dr +36,60360R00PR?LpR26,+1()R36028,36066.607一个半径为R的介质球，介电常数为8，球内的极化强度P=e,K/r，其中K为3.17一常数。（1）计算束缚电荷体密度和面密度：（2）计算自由电荷密度：（3）计算球内、外的电场和电位分布。解（1）介质球内的束缚电荷体密度为-K1(r2 K)P,=-V.P=rr? drr在r=R的球面上，束缚电荷面密度为KO,= nPl.=e,Plr=RR(2）由于D=6.E+P，所以V.D=E.VE+V.P=EV.D+V.P6即(1-0).D=V.P6由此可得到介质球内的自由电荷体密度为&K88P=V.D=V.P=(-80)r26-606-60总的自由电荷量R14元RKKpdt=4元r2drq=6-6006-60（3）介质球内、外的电场强度分别为PKE, =(rR)P60(8-80)r24元0介质球内、外的电位分别为

3 2 1 0 4 4 3 r r D r R    =  （ ） 3 2 0 2 0 4 4 3 R r D r R    =  （ ） 即 1 1 1 0 0 0 , 3 3 r r r r D D E r R       = = =  （ ） 3 3 0 0 1 2 2 0 2 2 0 0 , 3 3 R R D D E r R r r     = = =  （ ） 故中心点的电位为 0 0 0 0 3 0 1 2 2 0 0 0 0 (0) d d d d 3 3 R R R R r r R E r E r r r r         = + = +     2 2 0 0 2 0 0 0 0 2 1( ) 6 3 2 3 r r r R R R          + = + = 3.17 一个半径为 R 的介质球，介电常数为  ，球内的极化强度 P e = r K r ，其中 K 为 一常数。（1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度；（3）计算球内、 外的电场和电位分布。 解 （1）介质球内的束缚电荷体密度为 2 2 2 1 d ( ) d p K K r r r r r  = − = − = − P 在 r R = 的球面上，束缚电荷面密度为 p r r R r R K R  = = = = = n P e P （2）由于 0 D E P = +  ，所以 0 0     =  +  =  +  D E P D P 即 0 (1 )   −  =  D P 由此可得到介质球内的自由电荷体密度为 2 0 0 0 ( ) p K r            =  =  = − = − − − D P 总的自由电荷量 2 2 0 0 0 1 4 d 4 d R K RK q r r r           = = = − −   （3）介质球内、外的电场强度分别为 1 0 0 ( ) ( ) r K r R     r = =  − − P E e 2 2 2 0 0 0 ( ) 4 ( ) r r q RK r R r r      = =  − E e e 介质球内、外的电位分别为