第八章导行电磁波一、概述1.概念波导。引导电磁波传输的装置。本章只限于研究直行均匀导波装置。导模。在波导中传输的不同模式的电磁波称为导模，是由求解满足特定边界条件的波动方程得到的。谐振腔。使电磁波在两端来回反射以产生振荡的装置称为谐振腔。2.内容沿均匀导波装置传输的波的一般特性。矩形波导中波的方程及解，场的特性及参数。圆柱形波导中波的方程及解，场的特性及参数。光纤中波的方程及解，场的特性及参数。传输线方程及解，波的传输特性及参数。谐振腔的工作原理及特性参数。3.重点模式的概念。不同波导中波的方程及求解。不同波导中导行电磁波的特性。4.难点波导中TE波、TM波的空间分布规律及时间相位关系。5.建议加强对概念的理解，注意举一反三。利用所学理论对微波器件、微波通信中的实际问题进行分析研究。建议学时：16二、沿均匀导波装置传输的波的一般特性1.研究前提以理想波导，即直行均匀导波装置为研究对象。波导中的介质各向同性、线性、均匀，在整个长度上保持一致。研究区域远离信号源和接收设备，且不存在自由电荷和电流。导体理想、介质理想。研究正弦场。2.波动方程与场量表达式aE+jou1aHe)E=Cax2+k2dy场量表达式：1aE,aH.)Ey-joy+R(Ydyax1ah,aB)Hx=jw2 +k2axdy1aH:aE(Y+j08H,=+k2dyax=wus（其中）
第八章 导行电磁波 一、概述 1. 概念 波导。引导电磁波传输的装置。本章只限于研究直行均匀导波装置。 导模。在波导中传输的不同模式的电磁波称为导模，是由求解满足特定边界条件的波 动方程得到的。 谐振腔。使电磁波在两端来回反射以产生振荡的装置称为谐振腔。 2. 内容 沿均匀导波装置传输的波的一般特性。 矩形波导中波的方程及解，场的特性及参数。 圆柱形波导中波的方程及解，场的特性及参数。 光纤中波的方程及解，场的特性及参数。 传输线方程及解，波的传输特性及参数。 谐振腔的工作原理及特性参数。 3. 重点 模式的概念。 不同波导中波的方程及求解。 不同波导中导行电磁波的特性。 4. 难点 波导中 TE 波、TM 波的空间分布规律及时间相位关系。 5. 建议 加强对概念的理解，注意举一反三。 利用所学理论对微波器件、微波通信中的实际问题进行分析研究。 建议学时：16 二、沿均匀导波装置传输的波的一般特性 1. 研究前提 以理想波导，即直行均匀导波装置为研究对象。 波导中的介质各向同性、线性、均匀，在整个长度上保持一致。 研究区域远离信号源和接收设备，且不存在自由电荷和电流。 导体理想、介质理想。 研究正弦场。 2. 波动方程与场量表达式 场量表达式： （其中 ）
波动方程：+3=0V2H+k2H=03.分析方法对于正弦电磁波，波动方程（亥姆霍兹方程）为：VE+E=0VH+K3H=0这里的三维拉普拉斯算子√？在直角坐标系中可分解为两部分：与横向坐标有关的二27及与纵向坐标有关的一维拉普拉斯算子？，即：维拉普拉斯算子Ta2a2aa2)72+VE-E:+32ax2az2az2aa2E3021)=E422式中V, +(+2)=0和V3H+(+")R=0得：上两式是导波装置中电场和磁场应满足的微分方程。对于导波装置中波的传播特性分析，可由给定的边界条件，求解这两个方程，得出纵向场分量，并再求得其他的场分量。4.TEM波TEM波的特点：传播方向上不存在电场和磁场分量。+-0即Yrmjk=jousTEM波存在的条件：TEM波参数：1aV8Vus相速度：，仅与媒质参数有关，而与导波装置的几何形状无关。uZTEMnVs波阻抗：1H-(@,XE)ZTaMTEM波场量间的关系可传输TEM波的导波装置：任何能确立静态场的均匀导波装置，也能维持TEM波。例如，双线传输线、同轴线系统，而空心金属导管内则不可能存在TEM波。5.TE波TE波的特点：传播方向上不存在电场分量。jwyaHjuaH,E, = -E, 7+y+kaxTE波的场量表达式：.aH.a,YYHx=H,=ax +2+k?ay
波动方程： ， 3. 分析方法 对于正弦电磁波，波动方程（亥姆霍兹方程）为： ， 这里的三维拉普拉斯算子 在直角坐标系中可分解为两部分：与横向坐标有关的二 维拉普拉斯算子 及与纵向坐标有关的一维拉普拉斯算子 ，即： 式中 得： 和 上两式是导波装置中电场和磁场应满足的微分方程。对于导波装置中波的传播特性分 析，可由给定的边界条件，求解这两个方程，得出纵向场分量，并再求得其他的场分量。 4. TEM 波 TEM 波的特点：传播方向上不存在电场和磁场分量。 TEM 波存在的条件： ，即 TEM 波参数： 相速度： ， 仅与媒质参数有关，而与导波装置的几何形状无关。 波阻抗： TEM 波场量间的关系 可传输 TEM 波的导波装置：任何能确立静态场的均匀导波装置，也能维持 TEM 波。 例如，双线传输线、同轴线系统，而空心金属导管内则不可能存在 TEM 波。 5. TE 波 TE 波的特点：传播方向上不存在电场分量。 TE 波的场量表达式： ，
Ex-Ey-jouZreH,H.?TE波的参数：E=-Z(@,×H)TE波场量间的关系可传输TE波的导波装置：空心金属波导、平行板介质波导、光纤等。6. TM 波TM波的特点：传播方向上不存在磁场分量。aE,aE.YYE=E,+k3ax+kayTM波的场量表达式：:*josaE.josaE,H,H, =-+ky+kaxE,ExYZmH,HxjOsTM波的参数：1H=(, ×E)ZmTM波场量间的关系可传输TM波的导波装置：空心金属波导、平行板介质波导、光纤等。三、矩形波导1.波导的引入引入：在微波波段，为了减小传输损耗并防止电磁波向外泄漏，采用空芯的金属管作为传输电磁波能量的导波装置，这种空芯金属导波装置通常称为波导。种类：常用的波导是矩形波导和圆柱形波导。存在的模式：TE波和TM波。2.TM波的场方程与场分量表达式：mTn元Je~pzE, = Ci sin(x) sin(H.=0ba-J8mTMTnTevisE.Cix)sin(COSIc.3aba图7.2.1矩形波导-J8nTMTnTepzE,Cix)cos(sin(k.3bbajanTmTn元CVe-H.sin(x)cos(k3bbajwsmTmTnr一CieisH.=x) sin(cos(k20b0
TE 波的参数： TE 波场量间的关系 可传输 TE 波的导波装置：空心金属波导、平行板介质波导、光纤等。 6. TM 波 TM 波的特点：传播方向上不存在磁场分量。 TM 波的场量表达式： ， ， TM 波的参数： TM 波场量间的关系 可传输 TM 波的导波装置：空心金属波导、平行板介质波导、光纤等。 三、矩形波导 1. 波导的引入 引入：在微波波段，为了减小传输损耗并防止电磁 波向外泄漏，采用空芯的金属管作为传输电磁波能量的 导波装置，这种空芯金属导波装置通常称为波导。 种类：常用的波导是矩形波导和圆柱形波导。 存在的模式：TE 波和 TM 波。 2. TM 波的场方程与场分量 表达式： 图 7.2.1 矩形波导
其中，m=1,2...n=1,2...m和n值代表不同的TM波场结构模式，称为TM模或B模，波导中可有无穷多个TM模式。m表示矩形波导宽边上的半波数目，n表示窄边上的半波数目。3.TE波的场方程与场分量mTn元je~pzH,=C,cosx)cosE,=0Da表达式：J8m元mT元C2Hxsin(x)cos(t.3aSQjBnTmTAye-psHyTcostx) sin(.36b8jwucn元mTB元Ve~pzE, =x) sin(cosOMbbO-jwumTn元MTJe-pzE.sin(x)cosk.2baQ其中，m=0,1,2... n=0,1,2..m和 n 值代表不同的TE波场结构模式，称为TEr模或Hr模，波导中可有无穷多.个TE模式。m表示矩形波导宽边上的半波数目，n表示窄边上的半波数目。4.波导中的传输状态=e=-，其中=1/，入和V为电磁波在无界空间中的vf元12元02-元8=相速和波长。k。，8为实数，TE、TM波正常传播。k。>2#/入，β为虚数，截止状态，TE、TM波沿Z方向按指数规律“衰减”。k。-2/入，β为零，临界状态，沿Z方向无能量传输，无相位位移。其对应的波长称为截止波长，对应的频率称为截止频率。入。=2元/k。=2/ m)3 +(%)截止波长J.-V--+入2,fug截止频率
其中 ，m=1,2. n=1,2. m 和 n 值代表不同的 TM 波场结构模式，称为 模或 模，波导中可有无穷多 个 TM 模式。m 表示矩形波导宽边上的半波数目，n 表示窄边上的半波数目。 3. TE 波的场方程与场分量 表达式： 其中 ，m=0,1,2. n=0,1,2. m 和 n 值代表不同的 TE 波场结构模式，称为 模或 模，波导中可有无穷多 个 TE 模式。m 表示矩形波导宽边上的半波数目，n 表示窄边上的半波数目。 4. 波导中的传输状态 2 2 = = = = f f v k ，其中 ， 和 为电磁波在无界空间中的 相速和波长。 ， 为实数，TE、TM 波正常传播。 ， 为虚数，截止状态，TE、TM 波沿 Z 方向按指数规律“衰减”。 ， 为零，临界状态，沿 Z 方向无能量传输，无相位位移。其对应的波长称 为截止波长，对应的频率称为截止频率。 截止波长 截止频率
结论：矩形波导中的传输条件为：入Je；当工作频率低于截止频率时，Y为实数。此时，e表示衰减，电磁波衰减很快，不可能传播很远。所以波导呈现高通滤波器的特性，只有工作频率高于截止频率时电磁波才能通过。这一点和TEM波不同，TEM波是没有截止频率的。5.参数-，其--相移系数：B=2元ayayN元波导波长：i-(a)V0相速度：，为色散波β/1-(a/ 2,)2doVgdp群速度：（条件：带宽远远小于载频）能速度："。=P/Wam(uL)=群速度与能速度关系：“电磁波在波导中的传输功率的平均值应等于沿Z方向传播的波印廷矢量的平均值对波导横截面的积分。它是单位时间通过波导横截面的总能量，这个总能量占据了长度为L的整个波导空间，若用单位长度的波导所存储的电磁能量密度的平均值去除总能量（1秒钟通过波导横截面的能量）所得到长度L，这个长度正是能量1秒钟所传输的距离，即能速，能速代表了能量的传播速度。根据上述定义，通过计算可得出能速与群速相等。波阻抗：导波装置中相对于波的传播方向成右手螺旋关系的横向电场分量与横向磁场分量的比值。Er-Ex--EyZ=.HH,H例如，对Z向传输传输的波，其波阻抗为EyEx=-njwuwuZ=H,Hxk.Y1-()2JE.--E,-Y-k.JeZm了H,H,jasJ26V其中，=s为媒质的本征阻抗，即电磁波在无界空间中的波阻抗
结论：矩形波导中的传输条件为： ， ；当工作频率低于截止频率时， 为实数。此时， 表示衰减，电磁波衰减很快，不可能传播很远。所以波导呈现高通滤 波器的特性，只有工作频率高于截止频率时电磁波才能通过。这一点和 TEM 波不同，TEM 波是没有截止频率的。 5. 参数 相移系数： 2 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 f f c c = − = − ，其中 波导波长： 2 1 ( / ) 2 c p g f v − = = = 相速度： 2 1 ( / ) c p v v − = = ， 为色散波 群速度： ， （条件：带宽远远小于载频） 能速度： 群速度与能速度关系： 电磁波在波导中的传输功率的平均值应等于沿 z 方向传播的波印廷矢量的平均值对波 导横截面的积分。它是单位时间通过波导横截面的总能量，这个总能量占据了长度为 L 的 整个波导空间，若用单位长度的波导所存储的电磁能量密度的平均值去除总能量（1 秒钟通 过波导横截面的能量）所得到长度 L，这个长度正是能量 1 秒钟所传输的距离，即能速，能 速代表了能量的传播速度。根据上述定义，通过计算可得出能速与群速相等。 波阻抗：导波装置中相对于波的传播方向成右手螺旋关系的横向电场分量与横向磁场 分量的比值。 例如，对 Z 向传输传输的波，其波阻抗为 其中， 为媒质的本征阻抗，即电磁波在无界空间中的波阻抗
6.导模性质及特点在x、y方向（横截面）呈驻波分布，z方向（纵向）为行波。各导模具有不同的场分布和参数。z方向相移系数为8，相速度为"。k?=w'us=k+k,+k?，其中=mnla，k,-n元/b，-8四、矩形波导中的TE10波1.TE10波的优点采用这种模式，可以由设计波导尺寸实现单模传输。TB10波所要求的a边尺寸最小。在同一截止波长下，传输从 TB10.波到次一高阶模 TE 20波之间的间距比其他高阶模之间的间距大，因此可以使TB10波在大于1.5：1的波段上传播。在波导中可以获得单方向极化，而这正是某些情况下所要求的。TE10波具有最小的衰减。对于一定的比值a/b，在给定的工作频率下7TE10波的场分量H,= Hcos("x) 和 H,= jk.(-)H。sin(=x)aaTE,=-jQu()H sin(三x)、H,=E,=0元a3 3wug-K2aQ其中：可由m=1.n=0代入上节公式得到。TE10波的参数3元An1TE10波的场结构M如下图TE10波的电流分布图波导壁面上面电流的分布
6. 导模性质及特点 在 x、y 方向（横截面）呈驻波分布，z 方向（纵向）为行波。 各导模具有不同的场分布和参数。 z 方向相移系数为 ，相速度为 。 ，其中 ， ， 四、矩形波导中的 TE10 波 1. 波的优点 采用这种模式，可以由设计波导尺寸实现单模传输。 在同一截止波长下，传输 波所要求的 a 边尺寸最小。 从 波到次一高阶模 波之间的间距比其他高阶模之间的间距大，因此可以使 波在大于 1.5：1 的波段上传播。 在波导中可以获得单方向极化，而这正是某些情况下所要求的。 对于一定的比值 a/b，在给定的工作频率下 波具有最小的衰减。 2. 波的场分量 cos( ) 0 x a Hx H = 和 ( ) sin( ) 0 x a H a H jk x z = ( ) sin( ) 0 x a H a E j y = − 、 H y = Ex = 0 其中： 。 可由 m=1,n=0 代入上节公式得到。 3. 波的参数 2 2 ) 2 1 ( ) 1 ( c a g − = − = ， 2 ) 2 1 ( a ZTE − = 4. 波的场结构 如下图 5. 波的电流分布图 波导壁面上面电流的分布
五、圆柱形波导1.分析求圆柱形波导内场量分布的方法与求矩形波导内场量分布的方法完全一样，但采用如右图所示的圆柱坐标系较为方便。2.圆波导中的场分量ZA波动方程与场量表达式TEV2E+(2 +k)=0波动方程：EaEaHwuE,+2ardpr场量表达式：aHe)yaE.E.-jwu+元2araoaH.)WgaE.H,2+元2dpart图7.4.1圆柱坐标aE.aH,H.P+k(0sarr ap3.分析方法由波动方程"E=-"B按圆柱坐标系把E分为纵向分量和横向分量
五、圆柱形波导 1. 分析 求圆柱形波导内场量分布的方法与求矩形波导内场量分布的方法完全一样，但采用如 右图所示的圆柱坐标系较为方便。 2. 圆波导中的场分量 波动方程与场量表达式 波动方程： 场量表达式： 图 7.4.1 圆柱坐标 3. 分析方法 由波动方程 按圆柱坐标系把 分为纵向分量和横向分量
aEVE-VE+VEE=023，故得方程4. TM波8E +18++18B+E, -0+6ar213a02rarC，其中场方程：(cos(mp)cos(mp)E =-EoJm(ker)E, =sin(mo)sin(m)h场量表达式：sin(mp)JmkEoJa(kor)ws08E=H,RHE.h3[-cos(mp)]kekgmmt=a其中m=0,1,2...n=1,2...贝塞尔函数。贝塞尔函数的根值表：n=3En=1n=2n=4n=502.0455.5208.65411.79214.93113.8327.01610.17313.32416.47125.1368.41711.62014.79617.960模，波导中可有无穷多TM模或m和n值代表不同的TM波场结构模式，成为个TM模式。m表示场量沿波导圆周方向上变化的数目，n表示半径方向上场变化的数目。圆波导中TM模的最低模式是TMo1模。5.TE波场方程与场分量表达式（得出方法同TM波）：(cos(mo)cos(mp)H-H,=H.Jm(hr)sin(mo)sin(m)hsin(mo)mk.wuHH.Jm(hr)E, =H.=h2r-cos(mo))keE.--OH,Uk。=kga其中m=0,1,2... n=1,2...贝塞尔函数的导数的根值表n=1n=2n=3n=4I07.0163.83210.17413.3241.8415.3328.537611.706123.0546.7059.96513.170
， 故得方程 4. TM 波 场方程： ， 其中 。 场量表达式： ， ， 、 其中 ， m=0,1,2. n=1,2. 贝塞尔函数。 贝塞尔函数的根值表： m n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 0 2.045 5.520 8.654 11.792 14.931 1 3.832 7.016 10.173 13.324 16.471 2 5.136 8.417 11.620 14.796 17.960 m 和 n 值代表不同的 TM 波场结构模式，成为 模或 模，波导中可有无穷多 个 TM 模式。m 表示场量沿波导圆周方向上变化的数目，n 表示半径方向上场变化的数目。 圆波导中 TM 模的最低模式是 模。 5. TE 波 场方程与场分量表达式（得出方法同 TM 波）： 、 、 。 其中 ， m=0,1,2. n=1,2. 贝塞尔函数的导数的根值表 m n=1 n=2 n=3 n=4 0 3.832 7.016 10.174 13.324 1 1.841 5.332 8.5376 11.706 2 3.054 6.705 9.965 13.170
34.2018.01511.344m 和 n 值代表不同的 TE波场结构模式，称为TEm模或Hm模，波导中可有无穷多个TE模式。m表示场量沿波导圆周方向上变化的数目，n表示半径方向上场变化的数目。圆波导中TE模的最低模式是TE11模。波导中的传输条件入截止波长：入。=2元/k。：截止频率：J。=v/入6.参数8-2--2-相移系数：中 ---1-()AJ波导波长：V8相速度：故为色散波Br-E,--E.2=.H,H.H,波阻抗在圆柱坐标系中，对Z向传输传输的波，其波阻抗为E.E,--_wu(Je)3Zm=HH,k.--.-k-n-Zm"A"H,"0s其中，n=vu/s为媒质的本征阻抗，即电磁波在无界空间中的波阻抗。7.导模性质及特点在r、“方向（横截面）呈驻波分布，z方向（纵向）为行波。各导模具有不同的场分布和参数。z方向相移系数为8，相速度为"，即=β。8.单模传输截止波长分布图如右所示。TE模主模：
3 4.201 8.015 11.344 m 和 n 值代表不同的 TE 波场结构模式，称为 模或 模，波导中可有无穷多 个 TE 模式。m 表示场量沿波导圆周方向上变化的数目，n 表示半径方向上场变化的数目。 圆波导中 TE 模的最低模式是 模。 波导中的传输条件 或 截止波长： ； 截止频率： 6. 参数 相移系数 ： 其中 波导波长： 相速度： ， 故为色散波 波阻抗在圆柱坐标系中，对 Z 向传输传输的波，其波阻抗为 其中， 为媒质的本征阻抗，即电磁波在无界空间中的波阻抗。 7. 导模性质及特点 在 r、 方向（横截面）呈驻波分布，z 方向（纵向）为行波。 各导模具有不同的场分布和参数。 z 方向相移系数为 ，相速度为 ，即 。 8. 单模传输 截止波长分布图如右所示。 主模： 模
简并模：E-H简并和极化简并。EnTM12单模传输条件2.62ar(aα+b)应用。为了消除同轴线中的高次模，随着频率的升高，同轴线的尺寸必须相应地减小。但是尺寸过小，将增加损耗且限制了传输功率，因此同轴线的使用频率一般低于3GHz。六、波导中的能量传输与损耗1.波导中的能量传输传输功率的计算电磁波在波导中传播时必将有电磁波能量的传播。当终端负载与波导相匹配，或波导为无限长时，波导中传输的功率可由波导横截面上坡印亭矢量的积分求得：CEras-P-.CIHIas22.2式中E和H分别为波导横截面内的电场强度和磁感应强度，Z为波阻抗。182P=-E,+[E,dxdy2288例如，对于矩形波导对于圆柱形波导1 2x2PfA E,+E')rdrdp2288
简并模：E-H 简并和极化简并。 单模传输条件 应用 圆波导主要用来构成微波器件，常用的模 式有 模、 模和 模。 模是主 模，但存在极化简并现象。 模的损耗具有随频 率增加而单调下降的特点，在高 Q 谐振腔和毫米波 远通信中有广泛应用，但应用时需注意抑制其他模 式。 图 7.4.1 圆柱形金属波导中截止波长的分布 9. 分析 同轴线也可看作圆形波导，其可传输的模式有 TEM、TE 和 TM。在此仅对其高次模， 即 TE 和 TM 模进行简单分析。关于 TEM 的传输分析，请参看传输线的内容。 10. 同轴线中的高次模式 TM 模： 最大截止波长为 TM01 波：截止波长为 。 TE 模： 最大截止波长为 TM11 波：截止波长为 。 11. 单模传输 主模 TEM 模单模传输条件 应用。为了消除同轴线中的高次模，随着频率 的升高，同轴线的尺寸必须相应地减小。但是尺寸过小，将增加损耗且限制了传输功率，因 此同轴线的使用频率一般低于 3GHz。 六、波导中的能量传输与损耗 1. 波导中的能量传输 传输功率的计算 电磁波在波导中传播时必将有电磁波能量的传播。当终端负载与波导相匹配，或波导 为无限长时，波导中传输的功率可由波导横截面上坡印亭矢量的积分求得： 式中 和 分别为波导横截面内的电场强度和磁感应强度，Z 为波阻抗。 例如，对于矩形波导 对于圆柱形波导