第一章矢量分析主要内容梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理-5.格林定理1.标量场的方向导数与梯度矢量场的惟一性定理6.2.矢量场的通量与散度7.亥姆霍兹定理3.失量场的环量与旋度8.正交曲面坐标系4.无散场和无旋场
第一章 矢量分析 主 要 内 容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度 2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场 5. 格林定理 6. 矢量场的惟一性定理 7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系
（一）矢量代数1.标量和失量标量一个只用大小描述的物理量失量：一个既有大小又有方向特性的物理量常用黑体字母或带箭头的字母表示量的几何表示：一个失量可用一条有方向的线段来表示矢量的代数表示:A=é,A=eMAA矢量的大小模：A=|A失量的单位失量：A矢量的几何表示
2 1. 标量和矢量 矢量的大小模： A A = 矢量的单位矢量： 标量：一个只用大小描述的物理量。 A A e A = 矢量的代数表示： A e A e A = = A A （一）矢量代数 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量， 常用黑体字母或带 箭头的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示。 A 矢量的几何表示
2.失量用坐标分量表示A=Ae. +Aé, +AeA = AcosαA,= AcosβA, = Acosy1A= A(e, cosα+é, cos β+é. cosy)e, =e cosα +e,cosβ+e cosyx
3 A A e A e A e = + + x x y y z z A A A A A A x y z = = = cos cos cos ( cos cos cos ) A A e e e = + + x y z cos cos cos A x y z e e e e = + + 2.矢量用坐标分量表示 z Ax A Ay Az x y
3.失量的运算(1）失量的加法和减法：A+B=é(A ±B,)+é,(A,±B,)+é.(A, ±B.)BA(2）失量的乘法运算量与的夹角kA=-ékA, +é,kA, +ékA失量的点积A B= ABcosO = AB, + A,B,+ A.BA.B-B.A失量的标积符合交换律A/ /BA·B=ABAIB>A·B=0e, e, =e, e. =e. e. -0er.er =e,é, =e..é =l
4 （2）标量乘矢量 (2)矢量的乘法运算 x x y y z z kA e kA e kA e kA = + + A B B A = ——矢量的标积符合交换律 1 x x y y z z e e e e e e = = = 0 x y y z z x e e e e e e = = = A B q 矢量 A 与 的夹角 B A B ⊥ A B = 0 A B / / A B AB = 3.矢量的运算 ( ) ( ) ( ) A B e A B e A B e A B = + + x x x y y y z z z (1)矢量的加法和减法： cos A B AB A B A B A B q x x y y z z = = + + 矢量的点积
矢量的失积（叉积）AxB=é ABsin0用坐标分量表示为AxB=é(AB. -AB,)+é,(AB -AB)+e(AB,-A,B)写成行列式形式为exteeAxBAxB=A A,ABB,B,BABsinAAxB=-B×AA量量与B的叉积
5 矢量的矢积（叉积） sin A B e AB = n q ( ) ( ) ( ) A B e A B A B e A B A B e A B A B = − + − + − x y z z y y z x x z z x y y x x y z x y z x y z e e e A B A A A B B B = A B B A = − q AB sin q A B B A 矢量 A 与 的叉积 B 用坐标分量表示为 写成行列式形式为
3.量的混合运算分配律(A+B)-C=A.C+B.C分配律(A+B)×C=AxC+B×C标量三重积A(B×C)=B-(C×A)=C:(A×B)A×(B×C)=(A·C)B-(A·B)C矢量三重积
6 3.矢量的混合运算 ( ) A B C A C B C + = + ( ) A B C A C B C + = + A B C B C A C A B = = ( ) ( ) ( ) A B C A C B A B C = − ( ) ( ) ( ) —— 分配律 —— 分配律 —— 标量三重积 —— 矢量三重积
（一）标量场和矢量场确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。如果物理量是标量称该场为标量场例如：温度场、电位场、高度场等如果物理量是失量称该场为量场例如：流速场、磁场等重力场、电场、石如果场与时间无关，称为静态场反之为时变场静态标量场和矢量场可分别表示为 ： u(x,y,2）、F(x,y,a)时变标量场和失量场可分别表示为u(x,y,=,t)、F(x, y,z,t)
7 （二）标量场和矢量场 ❑ 如果物理量是标量，称该场为标量场。 例如：温度场、电位场、高度场等。 ❑ 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。 ❑ 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。 时变标量场和矢量场可分别表示为： u x y z t ( , , , )、 F x y z t ( , , , ) 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义 了一个场。 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数： 静态标量场和矢量场可分别表示为： u x y z ( , , )、F x y z ( , , ) 时变标量场和矢量场可分别表示为
标量场（Φ）和矢量场(A)福X以浓度表示的标量场以箭头表示的失量场A
y x 以浓度表示的标量场 以箭头表示的矢量场A 标量场（）和矢量场（A） y x
（三）三种常用的正交曲线坐标系三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系称为正交曲线坐标系：三条正交曲线称为坐标轴：描述坐标轴的量称为坐标变量在电磁场与波理论中三种常用的正交曲线坐标系为圆柱坐直角坐标系、标系和球面坐标系
9 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。 （三）三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为： 直角坐标系、圆柱坐 标系和球面坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐 标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量
直角坐标系1（平面）20业o坐标变量x, y,z0点P(xoyo=0)坐标单位失量er,e,,e.0y=yo（平面）位置失量r-e,x+é,y+e.zxX=xo（平面）直角坐标系线元失量dl =édx+é,dy+ed-ds. =é.dxdy面元失量ds = é dl ,dl, =e dydzds=é,dxdzd.dS, -e,dl dl. =é,dxdzdxdy ds, =édydzds. =e.dl dl, = é,dxdy01体积元dV = dxdydzx直角坐标系的长度元、面积元、体积元10
10 1、直角坐标系 x y z 位置矢量 r e x e y e z = + + 面元矢量 线元矢量 d d d d x y z l e x e y e z = + + d d d d d x x y z x S e l l e y z = = d d d d d z z x y z S e l l e x y = = 体积元 d d d d V x y z = d d d d d y y x z y S e l l e x z = = 坐标变量 x y z , , 坐标单位矢量 , , x y z e e e 点 P(x0 ,y0 ,z0 ) 0 y = y （平面） o x y z 0 x = x （平面） 0 z = z （平面） P 直角坐标系 x e z e y e x y z 直角坐标系的长度元、面积元、体积元 o dz d y dx S e y z d x x d d = S e x y d z z d d = S e x z d y y d d =