《固体物理学》课程教学课件（讲稿）第三章 晶格振动与晶体的热学性质 3.1 简谐近似和简正坐标

第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动的研究一一晶体的热学性质固体热容量一一热运动是晶体宏观性质的表现杜隆一珀替经验规律一一一摩尔固体有N个原子，有3N个振动自由度按能量均分定律，每个自由度平均热能为kT-()7Cv总的内能E=3NkT摩尔热容量01/13

第三章 晶格振动与晶体的热学性质 晶格振动的研究 —— 晶体的热学性质 固体热容量 —— 热运动是晶体宏观性质的表现 杜隆－珀替经验规律 01/13 —— 一摩尔固体有N个原子，有3N个振动自由度 按能量均分定律，每个自由度平均热能为kT 摩尔热容量 V T E C T          总的内能 E  3NkT

一一与温度无关摩尔热容量C = 3Nk = 3R一一杜隆一珀替经验规律一一实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降晶格振动一一研究固体宏观性质和微观过程的重要基础晶格振动一一晶体的热学性质、电学性质、光学性质超导电性、磁性、结构相变有密切关系

晶格振动 —— 研究固体宏观性质和微观过程的重要基础 晶格振动 —— 晶体的热学性质、电学性质、光学性质 超导电性、磁性、结构相变有密切关系 —— 实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降 摩尔热容量 3 3 —— 与温度无关 CV  Nk  R —— 杜隆－珀替经验规律

原子的振动一一晶格振动在晶体中形成了各种模式的波一一简谐近似下系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密顿量之和一一这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的一一用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振动模式一一这些谐振子的能量量子，称为声子一一晶格振动的总体可看作是声子的系综

原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波 —— 简谐近似下 系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密顿量之和 —— 这些谐振子的能量量子，称为声子 —— 晶格振动的总体可看作是声子的系综 —— 用一系列独立的简谐振子 来描述这些独立而又分立的振 动模式 —— 这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的

0301简谐近似和简正坐标简谐近似一一只考虑最近邻原子之间的相互作用研究对象一一由N个质量为m的原子组成的晶体第n个原子的平衡位置R偏离平衡位置的位移矢量μ，(t)原子的位置R'=R原子位移宗量+μn(t)3个方向上的分量μm（i=1，2，3）

03_01 简谐近似和简正坐标 简谐近似 —— 只考虑最近邻原子之间的相互作用 ( ) n μ t 研究对象 —— 由N个质量为m的原子组成的晶体 偏离平衡位置的位移矢量 原子的位置 ( ) n n n R  R  μ t ( 1, 2, 3 ) ni  i  第 Rn n个原子的平衡位置 3个方向上的分量 原子位移宗量

N个原子的位移矢量μ,(t)μ, (i=1, 2, 3 4,.., 3N)一体系的势能函数在平衡位置展开3Nav+ZV=VoHighitemsuilljouou=11av一一不计高阶项平衡位置取V。=0=0ou.)oa"v系统的势能面数 -兰(8%元)H,H,05/13

( ) i N个原子的位移矢量 μ t (i 1, 2, 3 4, , 3N) i   —— 体系的势能函数在平衡位置展开 取 0 V0  平衡位置 0 0 i V          —— 不计高阶项 系统的势能函数 3 2 , 1 0 1 2 N i j i j i j V V                 05/13 3 3 2 0 1 , 1 0 0 1 2 N N i i j i i j i i j V V V V    High items                            

avV=2(系统的势能函数uiMjouou3N一系统的动能函数Tm,i,2av1mA+系统的哈密顿量H=HiHjouou21一含有坐标的交叉项

系统的哈密顿量 3 3 2 2 1 , 1 0 1 1 2 2 N N i i i j i i j i j V H m                      系统的势能函数 3 2 , 1 0 1 2 N i j i j i j V V                 系统的动能函数   N i T mi i 3 1 2 2 1  —— 含有坐标的交叉项

引入简正坐标O1, Q2, Q3, .-Q3N一原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来假设存在线性变换 /mu,=≥a,,j=l3N20'+2系统的哈密顿量o'oH=2i=10拉格朗日函数L=T-VaL9正则动量PiaQ

引入简正坐标 Q1 Q2 Q3 Q3N , , , —— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来 3 1 N i i ij j j m  a Q  假设存在线性变换   系统的哈密顿量       N i i i N i H Qi Q 3 1 2 2 3 1 2 2 1 2 1   拉格朗日函数 3 3 2 2 2 1 1 1 1 2 2 N N i i i i i L T V Q  Q          正则动量 i i i Q Q L p      

A兰pi+系统的哈密顿量Lo0H=一aLaH正则动量正则方程PP.EaQ0Q9, +o'Q, =0, i=1, 2, 3,.3N一一3N个独立无关的方程

系统的哈密顿量       N i i i N i H pi Q 3 1 2 2 3 1 2 2 1 2 1  正则方程 i i H p Q      —— 3N个独立无关的方程 2 0, 1, 2, 3, 3 Qi i Qi    i   N i i i Q Q L p      正则动量 

9, +o'Q, =0,i=1, 2, 3,..3N一一3N个独立无关的方程简正坐标方程解Q, = Asin(o,t +)简正振动一一所有原子参与的振动，振动频率相同振动模一一简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动

—— 3N个独立无关的方程 2 0, 1, 2, 3, 3 Qi i Qi    i   N 简正坐标方程解 sin( ) Qi A i  t   简正振动 —— 所有原子参与的振动，振动频率相同 振动模 —— 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动

3Nmu =Za,g,只考察某一个振动模=第个简正振动模Q, = Asin(@,t +)第i个原子的坐标umAsin(o,t +))m10/13

只考察某一个振动模 ij i j i a Q m   3 1 N i i ij j j m  a Q    sin( ) Qj A j 第j个简正振动模   t   第i个原子的坐标 sin( ) ij j i a A t m    10 /13