《固体物理学》课程教学课件（讲稿）第三章 晶格振动与晶体的热学性质 3.4 三维晶格振动

模型一维问题的处理步骤：22n-12n+22n-22n+1Mm运动方程aMu22n=β(μ2n+1+μ2n-1-2μ2n试探解mμ2n+1 =β(μ2n+2 + μ2n -2μ2n+1)= Be-i(ot-2naq)μ2n色散关系μ2n+1 = Ae-i[ot-(2n+1)aq]1/24mM波矢q范围1±Osin' aqmMm+MB--K条件元元<μ2n = μ2(n+N)q1波矢q取值2 a2 a国

模型 运动方程 试探解 色散关系 波矢q范围 B-K条件 波矢q取值 一维问题的处理步骤: 2n-2 2 n 2n+1 2n-1 2n+2 M m a  2 1  2 1 e i t n a q n A             2  2 e i t naq n B       2n   2(nN ) a q a 2 π 2 π    . 2 n M      2 n 1   2 n 1  2 2 n  . 2 n 1 m       2 n  2   2 n  2 2 n 1      1/2 2 2 2 4 1 1 sin m M mM aq mM m M                      

03.04三维晶格的振动--模型设三维无限大的晶体，每个原胞中有n个原子，各原子的质量分别为mi,m2,m3，,mn；原胞中这n个原子平衡时的相对位矢分别为r1,r2,r3,.,rRi +rs表示平衡时顶点位矢为R的原胞内第s个原子的/位矢,用R表示;s原胞中各原子的位置RRRRRn

-模型 设三维无限大的晶体,每个原胞中有n个原子，各原子的质 量分别为 原胞中这n个原子平衡时的相对位 矢分别为 。 , , , , ; m1 m2 m3 mn  r1 ,r 2 ,r 3 ,,r n Rl  rs 表示平衡时顶点位矢为 的原胞内第s个原子的 位矢,用 表示； Rl R l r s 03_04 三维晶格的振动 l R s        原胞中各原子的位置 , , , 1 2 3 l l l l n                         R R R  R

1原胞中各原子的位置RRRR3n各原子偏离格点的位移2Bumkli第k个原子运动方程aak.α=1，2，3一一 原子在三个方向上的位移分量

各原子偏离格点的位移 , , , 1 2 3 l l l l n                         μ μ μ  μ 第k个原子运动方程 2 k l l m k k                    原胞中各原子的位置 , , , 1 2 3 l l l l n                         R R R  R  1, 2, 3 —— 原子在三个方向上的位移分量

第k个原子运动方程mkk一个原胞中有3n个类似的方程原子位移方程的解?一将解代回3n个运动方程

第k个原子运动方程                 k l k l mk 2 —— 一个原胞中有3n个类似的方程 原子位移方程的解   l i t k k l e k                 R q μ A —— 将解代回3n个运动方程

色散关系qm:0°Akα=ZCap一3n个线性齐次方程k'βk,kk'βnnzXα =1, 2,3; β=1, 2, 3; k'=1, 2, ... n, ±k一系数行列式为零条件，得到3n个の，（j=1,2,3,3n）

2 ' ' , ' k k k k m A C A k k              q , , ; , , ; , , ; A1x A1y A1z A2x A2 y A2z  Anx Any Anz —— 3n个线性齐次方程 —— 系数行列式为零条件，得到3n个 ( j 1, 2, 3, 3n)  j     1, 2, 3;   1, 2, 3; k  1, 2,  n,  k 色散关系

在3n个w;实根中，其中有3个当g→0时（即长波近似）1A2,A3’A,趋于一致-Ai一三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动-3n一3支长波极限的格波，格波的频率比声学波的最高频率还要高称之为光学支格波描述一个原胞中各原子间的相对运动结论一一晶体中一个原胞中有n个原子组成有3支声学波和3n一3支光学波

q  0 q  j  —— A1 , A2 , A3 , An 趋于一致 —— 三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动 —— 3n－3支长波极限的格波，格波的频率比声学波的 最高频率还要高称之为光学支格波 ——描述一个原胞中各原子间的相对运动 结论 —— 晶体中一个原胞中有n个原子组成 有3支声学波和3n－3支光学波 在3n个wj实根中，其中有3个当 时（即长波近似）

波矢g的取值和范围一设晶体有N个原胞,原胞的基矢为：a1,a2,a3;. N=N,N2N3沿基矢方向各有Ni、N2、N3个原胞,波矢 q=xb +x,b2 +x,b—3个系数X, X2, X3br，b2，b，一一波矢空间的3个基矢一倒格子基矢国

波矢 1 1 2 2 3 3 q  x b  x b  x b b1 , b2 , b3 —— 波矢空间的3个基矢 —— 倒格子基矢 1 2 3 x , x , x —— 3个系数 -波矢q的取值和范围 设晶体有N个原胞,原胞的基矢为：a1 ,a2 ,a3; 沿基矢方向各有N1、N2、N3个原胞, N  N1N2N3

采用波恩一卡曼边界条件uk1ukμzN,a,x,b, = 2元h, N2a2x,b, = 2元h2, N,a,x,b, = 2元h

      1 1 2 2 3 3 x y z l i t R x b k x kx l i t R x b k y ky l i t R x b k z kz l A e k l A e k l A e k                                                    采用波恩－卡曼边界条件 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 N a x b  2h , N a x b  2h , N a x b  2h 1 1   1 1 ( ) x l i t N a R x b k Akxe            3 3   3 3 ( ) z l i t N a R x b k Akze            2 2   2 2 ( ) y l i t N a R x b k Akye           

2元hhN,a,x,b, = 2元hUx_ =x, =N,a,bN.h2元hzNza2x2b, = 2元h2X2X2 =N,a,b2N22元h,6X33N,a,x,b, = 2元hNN,a,b.3℃hhh.q= xbi +x,b2 +xb9NNN.E

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 h h x x N a b N h h x x N a b N h h x x N a b N             1 2 3 1 2 3 1 2 3 h h h N N N q  b  b  b 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 2 N a x b h N a x b h N a x b h       1 1 2 2 3 3 q  x b  x b  x b

波矢的取值_h,h,hs=晶体的原胞数N一原子振动波函数u-iR().q一一不同原胞之间相位联系波矢改变一个倒格矢 G=nb, +n,b2+n,bR(I).G, = 2元(l,n, +l,n2 +l,n3)q=q+G,-iR(1I)-(Gn+q)= e-iR(I)q一原子振动状态一样H

波矢的取值_ h1h2h3=晶体的原胞数N —— 原子振动波函数 i (l) e  R q 波矢改变一个倒格矢 n 1 1 2 2 3 3 G  n b  n b  n b q  q Gn i (l)  n  i (l) e e       R G q R q 1 1 2 2 3 3 ( ) 2 ( ) n R l G   l n  l n  l n   l i t k k l e k                R q μ A  —— 不同原胞之间相位联系 —— 原子振动状态一样