《固体物理学》课程教学课件（讲稿）第三章 晶格振动与晶体的热学性质（声子）

声子经典处理（求解运动方程）一原子是微观粒子，应满足量子力学规律，用量子力学处理晶格振动问题（求解薛定谔方程）为处理问题简单化，以一维单原子链为例！μnl = A,e'i(ojt-nagi)第1个格波引起第n个原子位移,i(ot-naqiμn=Zun =Ae第n个原子总的位移

声 子 —— 经典处理 （求解运动方程） —— 原子是微观粒子，应满足量子力学规律，用量子力 学处理晶格振动问题（求解薛定谔方程） —— 为处理问题简单化，以一维单原子链为例! 第l个格波引起第n个原子位移 ( ) l l i t naq nl Ale     第n个原子总的位移 ( ) l l i t naq n nl l l l Ae        

经典简谐近似下的哈密顿量HZmit,+UH=T+U2nU =U.+ZB8*3(μun - μn-1)Bo+}-22n通常 U。=O，所以 U=βE(μn-μn-I)2nZ经典）Hmi +β(n-μn-1)12nE

—— 经典简谐近似下的哈密顿量H 1 2 2 n n H  T U  m U 2 2 0 0 1 1 1 ( ) 2 2 n n n n U U   U        2 1 1 U ( ) 2 n n n 所以        2 2 1 1 1 ( ) 2 2 n n n n n H  m       （经典）  U0 通常  0

Hmi +βZ(μn-μn-1)N2V量子化遇到了交叉项问题一处理方式：H对角化，消除交叉项。（理论力学）A,ei(ot-naq)μn=Zμn=Zu, =Ae(ou-magi) =(Nm)(Nm) Are'e-imagi1

2 2 1 1 1 ( ) 2 2 n n n n n H  m        —— 量子化遇到了交叉项问题 —— 处理方式：H对角化，消除交叉项 。（理论力学） ( ) l l i t naq n nl l l l Ae         1 1 ( ) 2 2 ( ) ( ) l l l l i t naq i t inaq n l l l l Ae Nm Nm Ae e          

Are(-ma) =(Nm)Z(Nm) Aeiote-magaμn, =Z11令 Q, =(Nm)2 A,eioit-inaqiμ, =(Nm)Q,e9,为简正坐标，Q,的物理意义?

1 1 ( ) 2 2 ( ) ( ) l l l l i t naq i t inaq n l l l l Ae Nm Nm Ae e           1 2 ( ) l i t Ql Nm Ale  令  1 2 ( ) Q l inaq n l l  Nm e     Ql为简正坐标，Ql的物理意义？

-inaqiZQ,eμn =(Nm)逆变换ina(qi-q;）emai μ,=(Nm) ZQ,eeLinaq-ina(qi-q;ZEQZ=(Nm)8u.nn-ina(qi-q;)2可证得-NS8llnE

1 2 ( ) Q l inaq n l l  Nm e     —— 逆变换 ' ' 1 ( ) 2 ( ) Q l l l inaq ina q q n l l e  Nm e      ' ' 1 ( ) 2 ( ) Q l l l inaq ina q q n l n l n e  Nm e        ' ' ( ) =N l l ina q q ll n e    可证得

-ina(a-4i)=NS,（正交关系Z8n2元= 0.±1,±2qiNa2"(1-1)n2元(1-1)-ina-in-ina(qr-q;)Z.ZZNaN/二88ennn-ina(qi-q=NZe当 {=[时,25

' ' ( ) =N l l ina q q ll n e     （正交关系） 2 , 0, 1, 2. l q l l Na       ' ' ' 2 2 ( ) ( ) ( ) = = l l ina l l in l l ina q q Na N n n n e e e            ' 当 l=l时， ' ( ) =N l l ina q q n e   

2元(1-1)ur-ina(qi-q;)ZZN8ehn-ina(qi-q,)则-Z4oe当{≠{时,n1Nx(1-xN)N利用>x"=x +x+.+x1-xn=1-ina(qi-q;ZiNZ0eeNN=l-e1-xnn-ina(q-qi)=NS即得e11nB

2 1 (1 ) = . 1 N N n N n x x x x x x  x       利用 2 ' i (l l ) N x e    令 = ' 当 l  l时， ' ' 2 ( ) ( ) = =0 l l in l l ina q q N n n e e        2 ' N ( ) 1 =1- =0 i l l N N x e      ' ' 2 ( ) ( ) = l l in l l ina q q N n n e e        ' ( ) = l l ina q q n n n e x   则  ' ' ( ) =N l l ina q q ll n e    即得

inaq,-ina(qi-q;)Zμ, =(Nm)Q,ZennEQ,Ng=(Nm)2=(Nm) 2 NQminaq,Z2二Que1nNn体现了所有原子参加的某个格波的n个原子的运动形态，即代表一个具体的运动的格波

' ' 1 ( ) 2 ( ) Q l l l inaq ina q q n l n l n e  Nm e        1 Q m 2 = N l inaq l n n  （ ） e —— 体现了所有原子参加的某个格波的n个原子的运动 形态，即代表一个具体的运动的格波。 ' 1 2 =( ) QlN ll l Nm    ' 1 2 =( ) NQl Nm 

动能和势能的形式ZQ,e-ina 为实数— Q*(g)=Q(-q)原子位移μ/ Nm-ina(qi-q)Z-NSe正交性lln 动能的正则坐标表示Tmit?中2YE

—— 动能和势能的形式 Q*(q)  Q(q) 动能的正则坐标表示   n T m n 2 2 1  1 2 2 l l T   Q 1 l inaq n l l Q e Nm   原子位移   为实数 —— 正交性 25/ 31 ' ' ( ) =N l l ina q q ll n e    

E(μn - μn-1)22ninaq-i(n-1)aqNEeeZQremu-mlnN1βia(qi+q,)iaqia(gJ(2iaqiZoer+1-eeee2m1.1=0βZ0Q, (2-ei1 -e-iaZg-, (1-cos(aq.))2mm11E

势能 1 l inaq n l l m Q e N     ' ( 1) 1 ' ' 1 l i n aq n l l m Q e N           n U n n 2 1 ( ) 2 1    ' ' ' 1 ( ) ( ) ' , ' 0 1 1 2 l l l l l l N ia q q iaq ia q q iaq l l l l n U Q Q e e e e m N                         2  1 cos( ) 2 l l iaq iaq l l l l l l l U QQ e e QQ aq m m            