《电磁场》课程教学资源_教学教案_第三章 静电场分析

第三章静电场分析内容：以第一章矢量分析和亥姆霍兹定律为基础1.电场基本方程2.电位3.泊松、拉普拉方程普电场的裤4.格林函数5.介质极化（微观之宏观）6.边界条件7.电容8.电场能量33.1尊惠场分折的燕本变量：体恒定电荷1.矢量场2.标量源面有散场场变量E变量 p线对带电物体产生力法拉第定律：D=均匀介质点电荷周围1840″s4元麦克斯韦本构关系D()=6·E7m均匀一—常数[61612613(DEE621622623D=Ds=DE.631r2633非均匀一一张量6=6%·6[()[D(F)p(r)2.场液三个基本量：

第三章 静电场分析 内容：以第一章 矢量分析和亥姆霍兹定律为基础 静电场的解 §3.1 静电场分析的基本变量: 1.矢量场 2.标量源 场变量 E 变量  法拉第定律: 2 4 r q D e  r =   均匀介质点电荷周围 1840’s 麦克斯韦本构关系 均匀——常数 ( ) F D r E =   m 非均匀——张量 0 r    =  = 三个基本量： 1.源 2.场 1.电场基本方程 2.电位 3.泊松、拉普拉斯方程 4.格林函数 5.介质极化（微观 → 宏观） 6.边界条件 7.电容 8.电场能量 有散场 恒定电荷 体 面 线 对带电物体产生力

$3.2真空中静电场的本方程场的求解一般有两种方法：微分方程与积分方程，但都要分析：矢量在闭合面上的通量或矢量在闭合回路上的环流。真空中的基本方程[GD.-ds-q3.2.1(高斯定理)时1SE.dl=03.2.2（静电守恒定理）1立体角在半径为R的球面上取面元dS，与球心构成的锥体。ds定义立体角：dQ:球面度R?ds在e上的ds.e.dQ=整个球面：投影R?与是否球ds.é面无关任意面对中心点的立体角：dQ=R?dQ与R无关[dS = dl, -dl, = (eR)(0,R)dl特性：dldsd==0,·02R210X0.【4元（在闭合面内）de对闭合面0（0在闭合面外）证明高斯通量定律【q（q在闭合面内）ds-edsf D.-ds -f_qe.首先设仅有点电荷q4元R24元R2[o（q在闭合面外）再用叠加原理+D..ds=fDo..ds-Zf Do.·ds-Zq.=1S i=li=l s面、线电荷情况（对源点积分即可）可推广到体、: [v.DedV =fD,·ds -q= [p(r)d

§3.2 真空中静电场的基本方程 ⚫ 场的求解一般有两种方法: 微分方程与积分方程，但都要分析：矢量在闭合面上的 通量或矢量在闭合回路上的环流。 真空中的基本方程 0 3.2.1 ( ) 0 3.2.2 ( ) i s l D dS q E dl   =     =     高斯定理 静电守恒定理 立体角 在半径为 R 的球面上取面元 dS，与球心构成的锥体。 定义立体角:: 2 ds d R  = 球面度 整个球面： 2 r dS e d R •  = 任意面对中心 点的立体角： 2 r dS e d R •  = 特性： 1 2 1 2 ( )( ) 2 1 2 d R dS dl dl R R dS d R       =  =    = =    与 无关 4 0 d      =   （ 在闭合面内） 对闭合面 （ 在闭合面外） 证明高斯通量定律 首先设仅有点电荷 q 0 2 2 4 4 0 q r r s s s qe e dS q q q D dS dS   R R   = = =      （ 在闭合面内） （ 在闭合面外） 再用叠加原理 0 0 0 1 1 1 N N N i i i S S S i i i D dS D dS D dS q = = =    • = • = • =    可推广到体、面、线电荷情况（对源点积分即可） dS 在 er 上的 投影 r 与是否球 面无关   dl1 dl2

对任意面（体积）均成立，我们可得到高斯定理的微分形式：V.D,=p体分布静电守恒定理证明[E.di=-qredirRe dRqqR24元·5RR24元.RR4元.80／闭合$E.dl=0任意回路E.dl -/VxE.ds0由斯托克斯定理-【任意限定面1sVxE=0微分形式无旋场、保守场(v.D = p及D=6E能解出E理论上由V×E=0(亥姆霍兹定理：场可由融度与旗度共同确定F(r)=F(r)+Fs(r)无旋量十无散量）当电荷对称分布时，适当选取坐标系，可使D或E只有一个分量，且仅是坐标的函数，则EV×E=0，此时只要计算D即可得场解。显见：电场为球对称，D沿自动满足径向且仅为的函数8Q={p(r).dt'-.4元r2dr:po总电量：o15a球外场(r≥a)：以球心中心到场点作球面(高斯面)2α8ΦDx-dS=4nr D =Q=是15PoQ3D外=150球内(r<a)ΦD·ds = 4元r2D4元r°dr = 4po: D^= Po-5a2其中V=4元3/3，dv=4元2dr

对任意面（体积）均成立 ，我们可得到高斯定理的微分形式：   = D0  体分布 静电守恒定理证明 2 2 0 0 0 1 1 4 4 4 B A R r R l l A B q q dR q e dl E dl       R R R R     = = = −           闭合 E dl  = 0  由斯托克斯定理 0 l S E dl E dS   =   =     任意回路 任意限定面 微分形式  = E 0 无旋场、保守场 理论上由 0 0 0 0 D D E E E    =  =  = 及 能解出 {亥姆霍兹定理：场可由散度与旋度共同确定 F(r)=Fl (r)+FS(r)无旋量＋无散量 } 当 电荷对称分布时，适当选取坐标系，可使 D 或 E 只有一个分量，且仅是坐标的函数，则 E 自动满足 ，此时只要计算 D 即可得场解。 显见：电场为球对称， D 沿 径向且仅为 r 的函数 总电量： ( ) 2 2 3 0 0 2 0 8 1 4 15 a r Q r d r dr a a         =  = −  =        球外场(r≥a):以球心中心到场点作球面(高斯面) 2 3 0 8 4 15 s D dS r D Q a  = = =    外 外 , 3 0 2 2 15 a D r 外 =  球内(r<a): 2 4 3 5 2 2 0 0 2 2 0 3 0 2 4 4 4 3 5 3 5 s r D dS r D r r r r r dr a a r r D a       =     = − = −            = −       内 内 内 其中 V=4r3/3，dv=4r2dr

2r=a 时(连续)Da=Dx=spaV.D(r)= p(r)球坐标解法二：微分形式解：对称性,D外仅有er分量：e,.ég=0 e,.é.=01%(rDA)=0 =: D外 =在球外p(r)=0 ..ar当→0时可看成点电荷：1%=18元D外=Poa4元4元（152a2..C, =..D外=1500150元球内(r≤a)：%(rDa)=p [1-%2r Da-I*0(1-2)ar+c4(F-号)+号-0(5-%:D=450Cr→0时，D有限,.=0*解题时，依照题作图、矢径、源、计算。例3.2.2计算均匀面电荷密度为无限大平面的电场1[o(r)解：显然如果用库仑定律的电场强度公式E=一4元60计算较繁复x:(-00,+0),y:(00,+0)因为电荷密度均匀，故电通密度Do垂直与这个无限大平面，且仅与距离有关取柱面垂直于S作底面积为AS的小柱体，则由高斯定理有：

r=a 时 (连续) 0 2 15 D D a 内 = = 外  解法二： 微分形式解 • = D r r ( )  ( ) 球坐标 ∵对称性,D 外仅有 er 分量： 0 0 r r e e e e    =  = 在球外 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 0 0 D r C r r D r r     =  =  外 外 当 r → ∞ 时可看成点电荷： 3 2 2 0 3 3 2 0 0 2 1 1 8 1 D 4 4 15 2 2 C D 15 15 q a r r a a r         = =      =  = 外 外 球内(r≤a):: ( ) 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 0 3 5 3 5 0 2 2 2 2 2 0 2 1 1 1 3 5 3 5 0 D , 0 r r r D r r a r r D r dr c a r r c r r c D r a r a r c r r        = −         = − +          = − + = − +         →    内 内 内 时， 有限 *解题时，依照题作图、矢径、源、计算。 例 3.2.2 计算均匀面电荷密度为 s 无限大平面的电场 解:显然如果用库仑定律的电场强度公式 ( ) 0 1 1 4 S E r dS R     = −        计算较繁复 因为电荷密度均匀,故电通密度 D0 垂直与这个无限大平面,且仅与距离有关取柱面垂直于 S  作底面积为 S 的小柱体，则由高斯定理有：

[D.as = D,As.e, e,+ D,AS.(-e,) (-e.)e侧面D13,.D.as，=0= 2D,AS = AS: iaeZ>0.. D. =(一e,)z<09-(-9)=0D.le0* - Dole-0z=0处,22E()= D(C)对于均勾介质：6其中8,为相对介电系数(一至几千)8=6,80(r)减少.介质中电场$3.3电位面数√×=0，可用一标量梯度表示，静电场即电位函数中×Vp=0,等效得E=-VaapapE=直角坐标eeaxayOz电场等于电位梯度的负值正在1上的投影ap电场沿任意方向的变化：E,=_aldp=-E,-dl=-E.dl..电位差E-dlPA-PB

§3.3 电位函数 静电场 可用一标量梯度表示， 即电位函数    = −   0, 等效得 E E x y z e e e x y z       − −    直角坐标 ＝－ 电场等于电位梯度的负值 l l l E l d E dl E dl    = −   = −  = −  电场沿任意方向 的变化： B A B A  − =  E dl 电位差  E 在 l 上的投影

A(x,,z)相对参考点P(x,p=,)，[,=0]的电位为(x,,z)=d3.3.5将电场（点、体、面、线）表达式代入上式，即可得电位的相应表示式9点+c4元R1radt'体+cR4元80=ro,ds1面+CR4元60'ea!"1线+CR4元式子中：R=-"为场与源的距离电位电场的表示式对比E(r)=-一r2.64元8L[pdt'+c 3.7b：4元8R可见f的计算式简便得多标量积分，（E失量积分有3个分量），而又微分总是可计算的，也简单（引入Φ的原因）。例3.3.1求电偶极子P=qdl的电位9作图：极子与Z轴重合，球坐标系(r,0,!）场点电位：@=4元6（余弦定理：r2=r2+dp-2r(dl)cos61+di?2dlcos)%取倒数并提出r:1，1r2-P略去ddlcose

( , , ) ( , , ) ( , , ) P( , , ), 0 , , 3.3.5 p p p x y z p p p p x y z A x y z x y z x y z E dl     = =  相对参考点   的电位为 （ ）  将电场（点、体、面、线）表达式代入上式，即可得电位的相应表示式 式子中： R r r = −  为场与源的距离 电位——电场的表示式对比 ( ) ( ) 0 1 1 2.6 4 E r r d R      = −        0 1 3.7 4 d c  R      = +  可见 f 的计算式简便得多  标量积分，(E 矢量积分有 3 个分量), 而  微 分总是可计算的，也简单(引入 的原因)。 例 3.3.1 求电偶极子 p=qdl 的电位 作图:极子与 Z 轴重合, 球坐标系(r,) 场点电位: 0 1 1 4 q r r   + −   = −      + − − = + − 2 2 2 余弦定理：r r dl r dl 2 ( )cos 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 cos r 1 1 cos 1 dl r dl dl r r r r dl r r   − +   = + −       ⎯⎯⎯⎯→ +     略去 取倒数并提出 ：

dlcosop.radlcosep.e,-1Ar4元84元8.[3(p.r)..E(r)=-Vβ商第二二章相同r4元例3.3.2半径为a的园平面上均匀分布电荷S，求中轴线上任意点的中、E。解：显见此题做不出高斯面，因此不能直接求DO但可用电位法解，仍然是作圆、，图：场与圆环距离环上小源-or'dedrR=~P+z小圆环在场点总电位：r'dror'drO门260Z>0ag:. E(2)= -V(z)=azz<0260当a0o时，Φ(2)0.这是由于(z)参考点取在o所致，可通过参考点的修正，使(z)在a0o时有限，但这对E的解没影响。对E的解直接在式中令aoo，则可得到与上节无限大平面相同的结果

( ) ( ) 5 3 0 1 3 4 p r p E r r r r       = − = −     与第二章相同 例 3.3.2 半径为 a 的园平面上均匀分布电荷 s,求中轴线上任意点的 、E。 解：显见此题做不出高斯面，因此不能直接求 D0 但可用 电位法解，仍然是 作圆、R, 图：场与圆环距离 环上小源= 小圆环在场点总电位: 当 a时，(z)   这是由于(z)参考点取在所致，可通过参考点的修正，使(z)在 a 时 有限，但这对 E 的解没影响。对 E 的解直接在式中令 a,则可得到与上节无限大平面相 同的结果 。 z P R1 r +q  -q y x R

刻3.3.3证明导体表面的电荷密度与导体外电位函数有apG=Dom=60E,=-80an：（导体为等位体，电荷仅分布于表面）作图：面积为AS的小圆柱（①导体内静电场=0；高斯面内侧为导体内部，无通量：（AS很小，各点E相同）D.-ds- Don-AS=o.ASJs4约去△S即得证。：ap8>8...E减小非真空：%→即可，即JG=D.=6E.=-8onn△sdh

例 3.3.3 证明导体表面的电荷密度与导体外电位函数有 D E on n 0 0 n      = = = −   导体内静电场=0; (导体为等位体,电荷仅分布于表面 )作图: 面积为 S 的小圆柱  高斯面内侧为导体内部，无通量: (S 很小, 各点 E 相同) 约去 S 即得证。. 非真空： 0 0 , , D E E n n n          → = = = −    即可 即 减小 n s dh

93.4泊松方程、控誉拉薪方部思路：前面介绍的静电场基本方程是矢量方程，若能找到的微分方程通过边界条件解得，求E简便。[ D,= E:[v.D,=p.V-(c,E)=p..V.V@=Vo=-"E=-V@60准松方程V.V=V拉普拉斯算符自由空间（没有电荷分布p=0）V=0搅普斯方程场：无界——利用场源积分法有界求解微分方程+边界条件aaa)aaaa2a2a2?=+té.直角坐标下：包+éex+é,-++ayax?0z20zaryayaxay国往座保下的验普拉斯好符：在圆柱坐标下，方向矢量不再是常量：[ae,=e000ae.二一ea001 aa)(a1aaV? =+é+e.-er+ee+erorrarragropOza2a2102e.)a.e++I0z2100eorOr2ra2a2.102.1a+z2ar2200?Trorta2021 a(a)1r+0u2r orlar)r? 0g?

§3.4 泊松方程、拉普拉斯方程 思路:前面介绍的静电场基本方程是矢量方程,若能找到的微分方程 通过边界条件 解 得 ,  求 E 简便。 拉普拉斯算符 自由空间(没有电荷分布 =) 2  =  0 拉普拉斯方程 场： 无界——利用场源积分法 有界——求解微分方程+边界条件 直角坐标下： 2 2 2 2 x y z x y z 2 2 2 e e e e e e x y z x y z x y z               = + +  + + = + +                  圆柱坐标下的拉普拉斯算符： 在圆柱坐标下，方向矢量不再是常量： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 r z r z e e e e e e r r z r r z e e r r z r r r r r r z r r r r r z                     = + + • + +                     = + + +  •             = + + +           = + +        

理论上可解，但太复杂（背），交叉项太多。球整标：e,e,=egL=e-sing0aneaeg=e..cose-eaea0E=0e,sing-e.cosga8aga2/ar1%(r%)sing0)1V2orlr)r?sineaelaersineap例3.4.1半径为a的带电导体球，球体电位U（无限远=0），求空间的电位函数及电场。解：由空间对称性显见β仅与r有关，即β=(r)1d(.2dp方程为0== 0r2 drdrβ=0→C,=0→8C+C，边界条件：直接积分得0=p=U→C,=-aUrr=aau[a/r≥adpe,r>a/r..E--VO:.0(等位体)r≤adrU0r<a其它形式的边界条件：apα(a)=-60an面电荷分布也可确定C，问题也可是上述两种混合型边界条件。[α(8)=0

球坐标： 理论上可解，但太复杂（背），交叉项太多。 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 sin sin sin r r r r r r                 = + +              例 3.4.1 半径为 a 的带电导体球，球体电位 U（无限远＝0），求空间的电位函数及电场。 解：由空间对称性显见    仅与r r 有关，即 = ( ) 2 2 2 1 0 d d r r dr dr      = =     方程为 1 2 C C r 直接积分得  = − + , 2 1 r 0 0 C r a U C aU    →  = → =   = = → = − 边界条件： ( ) 2 0 r aU aU r a d e r a r E r U r a dr r a          =  = − = − =        等位体 其它形式的边界条件： 面电荷分布 ( ) ( ) 0 0 r a a n     =    = −     =  也可确定 C,问题也可是上述两种混合型边界条件