行列式 第三节n阶行列式的定义 概念的引入 n阶行列式的定义 三、小结 思考题 返
一、概念的引入 三阶行列式 an 012L13 D= 021 02223=4203+L1203031+0130212 031 L32L3-013022031-4123L32-412021433 说明 (1) 三阶行列式共有6项，即3！项 (2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积. 上页 区回
一、概念的引入 三阶行列式 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D = 11 22 33 12 23 31 13 21 32 = a a a + a a a + a a a 13 22 31 11 23 32 12 21 33 − a a a − a a a − a a a 说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列. 例如 0302142 列标排列的逆序数为 t312)=1+1=2, 偶排列+正号 411023032 列标排列的逆序数为 t132)=1+0=1, 奇排列一负号 1 12 13 21 22 423 ∑(-l)'a1na2p,4ns· a31 032 33
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 13 21 32 a a a 列标排列的逆序数为 t(312) = 1+1 = 2, 11 23 32 a a a 列标排列的逆序数为 t(132) = 1+ 0 = 1, 偶排列 奇排列 + 正号 −负号, ( 1) . 1 1 2 2 3 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 = − p p p t a a a a a a a a a a a a
二、n阶行列式的定义 定义 由n2个数组成的n阶行列式等于所有 取自不同行不同列的n个元素的乘积 的代数和∑(-l)'an,2p,am, 11 12. 记作D= 02122 a2n 简记作det(a,).数a,称为行列式det(a)的元素， 上页 回
二、n阶行列式的定义 n n nn n n p p np t a a a a a a a a a D a a a n n n n 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 ( 1) . 1 2 = − 记 作 的代数和 取自不同行不同列的 个元素的乘积 定义 由 个数组成的 阶行列式等于所有 det( ). 简记作 aij 数 aij 称为行列式det(aij)的元素．
其中p1P2pn为自然数1,2，n的一个排列， t为这个排列的逆序数. 11 012 D= 21022 0nln2·m =∑(-1 p
为这个排列的逆序数． 其 中 为自然数 ， ， 的一个排列， t p1 p2pn 1 2 n ( ) ( ) n n n p p np p p p t p p p n n nn n n a a a a a a a a a a a a D 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − 1 =
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的； 2、n阶行列式是n!项的代数和； 3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列n个元素的乘积； 4、 一阶行列式=a不要与绝对值记号相混淆； 5、( 1p凸2pmpn的符号为（-1. 区回
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和; 3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 个元素的乘积; n n 4、 一阶行列式 a = a 不要与绝对值记号相混淆; 5、 a1 p1 a2 p2 anpn 的符号为 ( 1) . t −
例1 计算对角行列式 0200 1 0 4 30 000 解分析 展开式中项的一般形式是p,2p,p,4n 若p1≠4→41，=0，所以P只能等于4， 从而这个项为零，同理可得P2=3,P3=2,P4=1
例1 计算对角行列式 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 分析 展开式中项的一般形式是 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4 a a a a 若 p1 4 0, 1 1 a p = 从而这个项为零， 所以 1 只能等于 , p 4 同理可得 p2 = 3, p3 = 2, p4 = 1 解
即行列式中不为零的项为14230241· 0 0 0(12,3.424 00 L11 12 din 例2 计算上三角行列式 0 L22 Q2n 00 区回
4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 1 1 2 3 4 4321 = − t = 24. 即行列式中不为零的项为 a a a a . 14 23 32 41 例2 计算上三角行列式 nn n n a a a a a a 0 0 0 22 2 11 12 1
解 分析 展开式中项的一般形式是n,凸p,pn pn=n,Pm-1=n-1,pn-3=n-3,p2=2,p1=1, 所以不为零的项只有11220mm L12 n 0 -2. .2n =(12anaz.am 00 =011220m 上页 下
分析 展开式中项的一般形式是 . 1 p1 2 p2 npn a a a p n, n = 1, pn−1 = n − 3, 2, 1, pn−3 = n − p2 = p1 = 所以不为零的项只有 . 11 22 nn a a a nn n n a a a a a a 0 0 0 22 2 11 12 1 ( ) ( ) nn t n a a a 11 22 12 = −1 . 11 22 nn = a a a 解
1 2 3 4 0 4 2 1 例3 D 0 0 5 6 0 0 0 8 2 3 4 21 D- 0 0 6 =a102203304=1.45.8=160. 0 0 0 8 上页 回
例3 ? 0 0 0 8 0 0 5 6 0 4 2 1 1 2 3 4 D = = 11 22 33 44 0 0 0 8 0 0 5 6 0 4 2 1 1 2 3 4 D = = a a a a = 1 4 5 8 = 160