《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 3.2 初等矩阵

矩阵的和等变换与依促方程组 第四节 初等矩阵 一、初等矩阵的概念 三 初等矩阵的应用 三、小结思考题 带助

一、初等矩阵的概念 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛 定义由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵： 三种初等变换对应着三种初等方阵 1.对调两行或两列； 2.以数k≠0乘某行或某列； 3.以数k乘某行（列）加到另一行（列）上去

定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. E 三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 一、初等矩阵的概念       以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去． 以数 乘某行或某列； 对调两行或两列； k k 3. 2. 0 1

1、对调两行或两列 对调E中第i,j两行，即(，)，得初等方阵 ←第i行 E(i,)= -第j行 上页 回

对调 E 中第 i, j 两行，即(ri  rj )，得初等方阵 1、对调两行或两列                                   = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( , )        E i j  第 i 行  第 j 行

用m阶初等矩阵Enm(i,j)左乘A=(a)xn,得 011 12 《第i行 E(i,j)A= m ←-第j行 相当于对矩阵A施行第一种初等行变换： 把A的第i行与第j行对调（→r)

用m 阶初等矩阵Em (i, j) 左乘 A = (aij)mn，得                       = m m mn i i in j j jn n m a a a a a a a a a a a a E i j A              1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 ( , )  第 i 行  第 j 行 ( ). i j A i j r r A 把 的第 行与第 行对调  相当于对矩阵 施行第一种初等行变换：

类似地， 以n阶初等矩阵En(i,j)右乘矩阵A, 41 41i 21 AE,(i,j)= 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换： 把A的第i列与第j列对调(c:)cj) 上页 区回

以 阶初等矩阵 右乘矩阵 ， 类似地， n En (i, j) A               = m mj mi mn j i n j i n n a a a a a a a a a a a a AE i j              1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 ( , ) ( ). i j A i j c c A 把 的第 列与第 列对调  相当于对矩阵 施行第一种初等列变换：

2、以数k≠0乘某行或某列 以数k≠0乘单位矩阵的第行(×k),得初等 矩阵E(i(k) E(i(k))= ←第i行 上页

2、以数 k  0 乘某行或某列 ( ( )). 0 ( ) E i k k i ri k 矩阵 以数  乘单位矩阵的第 行  ，得初等                       = 1 1 1 1 ( ( ))   E i k k  第 i 行

以Em(i(k)左乘矩阵A, 011 12 E(i(k)A= kop kdin ←第i行 Aml Am2 Amn 相当于以数k乘A的第i行(×k)为 类似地，以E(i(k)右乘矩阵A,其结果 相当于以数k乘A的第i列(C,×k), 区回

相当于以数 k 乘 A的第 i 行 (ri  k)；                 = m m mn i i in n m a a a ka ka ka a a a E i k A          1 2 1 2 1 1 1 2 1 ( ( ))  第 i 行 类似地， 以 Em (i(k))左乘矩阵A， ( ). ( ( )) k A i c k E i k A i n 相当于以数 乘 的第 列  以 右乘 矩阵 ，其结果

3、以数k≠0乘某行（列加到另一行列）上去 以k乘E的第j行加到第i行上(：+g) 或以k乘E的第i列加到第j列上(C;+kc)》 1 1 ←第行 E(ij(k) 1 ←第行 页

3、以数k  0乘某行(列)加到另一行(列)上 去 或以 乘 的第 列加到第 列上 ， 以 乘 的第 行加到第 行上 [ ( ) ( ) j i i j k E i j c kc k E j i r kr + +                       = 1 1 1 1 ( ( ))     k E ij k  第i行  第j行

以E,m(jk)左乘矩阵A, 11 L12 an kaj an+kap E(ij(k))A= aj 0j2 把A的第j行乘k加到第i行上(+kr) 区回

以 Em (ij(k))左乘矩阵A，                       + + + = m m m n j j jn i j i j in jn n m a a a a a a a ka a ka a a a a a E ij k A              1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 ( ( )) ( ). i j 把 A的第 j 行乘 k 加到第 i 行上 r + kr

类似地，以E,(j(k)右乘矩阵A,其结果相当于 把A的第列乘k加到第j列上(c,+kc), AE,(ii(k avi a,+kay 21 02n am

( ). ( ( )) j i n A i k j c kc E ij k A 把 的第 列乘 加到第 列上 + 类似地，以 右乘矩阵 ，其结果相当于 11 1 1 1 1 21 2 2 2 2 1 ( ( )) n i j i n i j i n m mi mj mi mn AE ij k a a a ka a a a a ka a a a a ka a   +   +   =     +  