相似矩陈及三次型 第六节 用配方法化二次型成标准形 拉格朗旧配方法的具体步骡 二、小结 思考题 返
一、拉格朗日配方法的具体步骤 用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变. 问题有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？ 问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法一 拉格朗日配方法. 上页 返回
一、拉格朗日配方法的具体步骤 用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变． 问题 有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？ 问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．
拉格朗日配方法的步骤 1.若二次型含有x:的平方项，则先把含有 :的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形； 2.若二次型中不含有平方项，但是a,≠0 (i≠)，则先作可逆线性变换 xi-yi-yi xj=yi+yi (k=1,2,n且k≠i,j) XK-yK 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方
1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; i x xi = = + = − k k j i j i i j x y x y y x y y (k = 1,2, ,n且k i, j) 拉格朗日配方法的步骤 2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换 aij 0 (i j), 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方
例1化二次型 f=x7+2x2+5x3+2x1x2+2x1x3+6x2x3 为标准形，并求所用的变换矩阵， 解 含有平方项 含有x的项配方 f=r2+52F2+6x x1+2x12+2x1x3+2x2+5x3+6x23 = (:+2+x3} 去掉配方后多出来的项 -x=5-2x2写+2x+5x3+6x2x3
解 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f = x1 + 2x + 5x + 2x x + 2x x + 6x x , . 2 5 2 2 6 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 为标准形 并求所用的变换矩阵 化二次型 f = x + x + x + x x + x x + x x 例1 1 2 1 3 2 x1 + 2x x + 2x x 2 3 2 3 2 = + 2x2 + 5x + 6x x 含有平方项 含有 x1的项配方 = ( ) 2 1 2 3 x + x + x 2 3 2 3 2 2 + 2x + 5x + 6x x 2 3 2 3 2 2 − x − x − 2x x 去掉配方后多出来的项
=(x+x,+x+x+4x号+4x,x =(x+x+x}+(x+2x. M=x1+x2+ x1=y1-y2+y3 令 2=x2+2x →x2=2-2y y3=x3 x3-y3 → 上页
( ) 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 = x + x + x + x + 4x + 4x x ( ) ( 2 ) . 2 2 3 2 1 2 3 = x + x + x + x + x = = + = + + 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 y x y x x y x x x 令 = = − = − + 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 x y x y y x y y y − − = 3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 2 1 1 1 y y y x x x
∴.f=x2+2x2+5x3+2x12+2x13+6x2x3 =+经 所用变换矩阵为 1 -1 1 C= 00 10 -2 (C=1≠0) 1 上页 这回
1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f = x1 + 2x + 5x + 2x x + 2x x + 6x x . 2 2 2 1 = y + y 所用变换矩阵为 , ( 1 0). 0 0 1 0 1 2 1 1 1 = − − C = C
例2化二次型 f=2x1x2+2x1x3-6x2x3 成标准形，并求所用的变换矩阵 解由于所给二次型中无平方项，所以 x1=y1+y2 y 令 x2=y1-y2, 即 x2 -1 0 x3=y3 0 1八 代入f=2x2+2x1x3-6x2x3 得 f=2y7-2y2-4y1y3+8y23
, 3 3 2 1 2 1 1 2 = = − = + x y x y y x y y 令 解 2 2 6 , x1 x2 x1 x3 x2 x3 代入 f = + − 2 2 4 8 . 1 3 2 3 2 2 2 1 得 f = y − y − y y + y y , . 2 2 6 1 2 1 3 2 3 成标准形 并求所用的变换矩阵 化二次型 f = x x + x x − x x 例2 由于所给二次型中无平方项，所以 = − y y y x x x 3 2 1 3 2 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 即
再配方，得 f=20%-y3}-2(0y2-2y3}+6 z1=y1-y3 令 2=y2-2y 3=y3 y1=1+33 → 2=2+23, 即 y3= 心、 y 00 得 f=2z1-2z3+6z. 回
再配方，得 2( ) 2( 2 ) 6 . 2 3 2 2 3 2 1 3 f = y − y − y − y + y = = − = − 3 3 2 2 3 1 1 3 2 z y z y y z y y 令 2 , 3 3 2 2 3 1 1 3 = = + = + y z y z z y z z 2 2 6 . 2 3 2 2 2 1 得 f = z − z + z = z z z y y y 3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 2 1 0 1 即
所用变换矩阵为 c=/ -1 1 110 3-1 (C=-2≠0)
所用变换矩阵为 = − 0 0 1 0 1 2 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 C . 0 0 1 1 1 1 1 1 3 = − − (C = −2 0)
二、小结 将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求.如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用. 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单.需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩. 上页 回
二、小结 将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩．