相似年阵及二次型 第四节 对称矩阵的相似矩阵 、 对称矩阵的性质 利用正交矩阵将对称矩阵 对角化的方法 三、小结思考题 带助
对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵 定理1对称矩阵的特征值为实数 证明设复数为对称矩阵A的特征值，复向量x为 对应的特征向量， 即 A=2,x≠0. 用几表示2的共轭复数，x表示x的共轭复向量， 则 Ax=Ax=(Ax)=(Ax)=x
定理1 对称矩阵的特征值为实数. 证明 , , 对应的特征向量 设复数为对称矩阵A的特征值 复向量x为 即 Ax = x , x 0. 用 表示的 共轭复数 , 则 Ax = Ax = (Ax) = (x) = x. 一、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． x表示x的共轭复向量
主主王王 于是有 xTAx=x"(Ax)=xTAx=Ax"x, xAx=k=(Ax)x=(ax)xx. 两式相减，得 (2-a)x'x=0. 但因为x≠0， 所以x=x=2x2≠0，→h-)=0, 即入=元，由此可得2是实数
于是有 x Ax T x Ax T 及 x (Ax) T = x x T = x x, T = (x A )x T T = (Ax) x T = ( x) x T = x x. T = 两式相减，得 ( − )x x = 0. T 但因为x 0, ( − ) = 0, 即 = , 由此可得是实数. 0, 1 2 1 = = = = n i i n i i i T 所以 x x x x x
定理1的意义 由于对称矩阵A的特征值2：为实数，所以齐次 线性方程组 (A-2:E)x=0 是实系数方程组，由A一入：E=0知必有实的基础解 系，从而对应的特征向量可以取实向量。 上页
定理1的意义 , . , 0 ( ) 0 , 系 从而对应的特征向量可以取实向量 是实系数方程组 由 知必有实的基础解 线性方程组 由于对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 − = − = A E A E x A i i i
定理2设2,22是对称矩阵A的两个特征值，P1, P2是对应的特征向量若2≠2，则p与p2正交. 证明入P1=Ap1,2P2=Ap2,入≠2， ·A对称，A=AI, ()=()=DA=D A, 于是pp2=p,Ap2=p(P)=pp2, → (-2)pp2=0. ≠22，p1p2=0.即p1与p2正交， 回
, , . 2 , , , 2 1 2 1 2 1 2 1 是对应的特征向量若 则 与 正 交 定 理 设 是对称矩阵 的两个特征值 p p p A p 证明 , , , 1 p1 = Ap1 2 p2 = Ap2 1 2 A , A A , T 对称 = ( ) ( ) T T T 1 p1 = 1 p1 = Ap1 , p1 A p1 A T T T = = 于是 ( ) 1 1 2 1 2 1 2 p2 p p p Ap p T T T = = , 2 1 p2 p T = ( ) 0. 1 − 2 p1 p2 = T , 1 2 . p1 p2 = 0. 即p1与p2正交 T
王王王王王王 定理4 设A为n阶对称矩阵则必有正交矩阵P,使 P-AP=人，其中人是以A的n个特征值为对角元 素的对角矩阵 证明设A的互不相等的特征值为2,22，.，2， 它们的重数依次为1,2，r,(+2+.+r,=n) 根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3（如上）可得： 王
. , 4 , , 1 素的对角矩阵 其 中 是 以 的 个特征值为对角元 定 理 设 为 阶对称矩阵 则必有正交矩阵 使 P AP A n A n P = − 证明 , , , , 1 2 s 它们的重数依次为 s r ,r , ,r 1 2 ( ). r1 + r2 + + rs = n 根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得： 设 A 的互不相等的特征值为
对应特征值入(i=1,2,.,S),恰有r:个线性无 关的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得”：个 单位正交的特征向量.由+)+.+r,=n知， 这样的特征向量共可得n个. 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交： 王王王王王王王王王 故这n个单位特征向量两两正交， 以它们为列向量构成正交矩阵P,则 PAP=P-PA=A 其中对角矩阵A的对角元素含个2，个2，恰 是A的n个特征值
, 由r1 + r2 ++ rs = n知 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， . , , ( 1,2, , ), 单位正交的特征向量 关的实特征向量 把它们正交化并单位化 即得 个 对应特征值 恰有 个线性无 r i s r i i = i = = − − P AP P P 1 1 . , , , 1 1 是 的 个特征值 其中对角矩阵 的对角元素含 个 个 恰 A n r r s s 这样的特征向量共可得 n 个. 故这 n 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则
推论设A为阶对称矩阵，九是的特征方程的r 重根，则矩阵A-E的秩R(A-E)=n-r,从而 对应特征值入恰有·个线性无关的特征向量 上页
, , ( ) , . A n A r A E R A E n r r − − = − 推论 设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 重根 则矩阵 的秩 从而 对应特征值 恰有 个线性无关的特征向量
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 1.求A的特征值； 2.由(A-2,E)x=0,求出A的特征向量； 3.将特征向量正交化； 4.将特征向量单位化. 回
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化. 2. 由(A E)x 0,求出A的特征向量; − i = 1. 求A的特征值;
例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵P, 使P-1AP为对角阵. 2 -2 0 (1)A=-2 1 -2,(2)A= 0 -2 0 13 解 ()第一步求A的特征值 2-元 -2 0 A-2E=-2 1-2-2=(4-2以2-12+2)=0 0 -2- 得21=4，入2=1,23=-2. 上页
解 − − − − − − − − = 0 2 2 1 2 2 2 0 A E = (4 − )( −1)( + 2) = 0 4, 1, 2. 得 1 = 2 = 3 = − , 0 2 0 2 1 2 2 2 0 (1) − − − − A = = 0 1 3 0 3 1 4 0 0 (2) A 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 P AP 为对角阵. −1 P (1)第一步 求 A 的特征值