《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第5章 相似矩阵及二次型 5.2 方阵的特征值与特征向量

相似矩阵及二次型 第二节 方阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量的概念 特征值与特征向量的性质 三 特征值与特征向量的求法 四、小结思考题 返

一、特征值与特征向量的概念 定义1设A是n阶矩阵，如果数2和n维非零列向量 使关系式 Ax Ax 成立，那末，这样的数2称为方阵A的特征值，非零向 量x称为A的对应于特征值的特征向量 说明1.特征向量≠0，特征值问题是对方阵而言的. 2.n阶方阵A的特征值，就是使齐次线性方程组 (A一E)x=0有非零解的2值，即满足方程A-E =0的2都是矩阵A的特征值， 区回

说明 1.特征向量x  0,特征值问题是对方阵而言的. ( ) 0 . 0 , 2. , 的 都是矩阵 的特征值 有非零解的 值 即满足方程 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 A A E x A E n A     = − = − 一、特征值与特征向量的概念 . , , , 1 , 量 称 为 的对应于特征值 的特征向量 成 立 那 末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向 使关系式 定 义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量     x A A Ax x A n n x =

3.A-E=0 L12 ain L21 422-2 → =0 An Qn2 m-九 称以2为未知数的一元n次方程A-2E=0 为A的特征方程. 记f(2)=A-2E,它是的n次多项式，称其 为方阵A的特征多项式. 上页

3. A − E = 0  0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − − −    n n nn n n a a a a a a a a a        称 以为未知数的一元 n次方程 A− E = 0 为A的 特征方程 . 记 f () = A− E ,它是的n次多项式,称其 为方阵A的 特征多项式

4.设n阶方阵A=(a)的特征值为2,2， 2n,则有 (1)+22+.+n=411+a22+.+0m; (2)12.2m=4A. 上页 返回

( ) 则有 设 阶方阵 的特征值为 , 4. , , , 1 2 n n A aij  =    (1) ; 1 + 2 ++  n = a1 1 + a2 2 ++ ann (2) . 12  n = A

1求4( 的特征值和特征向量。 解 A的特征多项式为 3-九-1 =(3-2)2-1 -13- =8-62+22=(4-2)(2-2) 所以4的特征值为11=2,22=4. 当λ1=2时，对应的特征向量应满足 页

解例 1 . 1 3 3 1 求 的特征值和特征向量   − − A = A的特征多项式为  − − − − 1 3 3 1 (3 ) 1 2 = − − 8 6 (4 )(2 ) 2 = −  +  = −  −  2, 4. 所以A的特征值为1 = 2 = , 00 1 3 2 3 2 1 2 , 21 1    =   − − − − = xx 当 时 对应的特征向量应满足

即 x1-x2=0, -x1+x2=0. 解得：=x2,所以对应的特征向量可取为p1 当2=4时，由 1-0可6-0 解得x1=-x2,所以对应的特征向量可取为

   − + = − = 0. 0, 1 2 1 2 x x x x 即 , 解得x1 = x2 . 1 1 1       所以对应的特征向量可取为 p = , 0 0 1 1 1 1 , 0 0 1 3 4 3 4 1 4 , 2 1 2 1 2        =            − − − −        =            − − − − = x x x x 即 当 时 由 . 1 1 , 2 1 2       − = = − p 解得 x x 所以对应的特征向量可取为

7-110 例2求矩阵A=-430 的特征值和特征向量： 102 解 A的特征多项式为 1-2 - 1 0 A-E = -4 3-2 0=(2-2)1-)2, 1 0 2-元 所以4的特征值为元1=2,22=23=1. 当21=2时，解方程(A-2E)x=0.由

例２ . 1 0 2 4 3 0 1 1 0 求矩阵 的特征值和特征向量   −− A = 解 (2 )(1 ) , 1 0 2 4 3 0 1 1 0 2       = − − − − − − − A− E = A的特征多项式为2, 1. 所以A的特征值为1 = 2 = 3 = 当1 = 2时,解方程(A − 2E)x = 0.由

A-2E= 、100,000 0 得基础解系 p1=0 1 所以kP(k≠0)是对应于λ1=的全部特征值 当2-3=1时解方程(A-E)x=0.由 这回

, 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 4 1 0 3 1 0 2 ~                     − − A − E = , 1 0 0 1           得基础解系 p = ( 0) 2 . 所以k p1 k  是对应于1 = 的全部特征值 当2 = 3 = 1时,解方程(A − E)x = 0.由 , 0 0 0 0 1 2 1 0 1 1 0 1 4 2 0 2 1 0 ~                     − − A − E =

得基础解系 P2= 所以kp2(k≠0)是对应于2=3=1的全部特征值， 上页

, 1 2 1 2           − − 得基础解系 p = ( 0) 1 . 所以k p2 k  是对应于 2 =  3 = 的全部特征值

-211 例3设A=020,求A的特征值与特征向量 -413 解 -2- 1 1 A-E= 0 2-九( 0 -4 13-入 =-(2+1)(2-2)2, -(2+1(2-22=0 令 得A的特征值为2=-1,22=2=2. 返回

例３ 设 , 4 1 3 0 2 0 2 1 1           − − A = 求A的特征值与特征向量． 解     − − − − − − = 4 1 3 0 2 0 2 1 1 A E ( 1)( 2) , 2 = −  +  − ( 1)( 2) 0 2 令 −  +  − = 1, 2. 得A的特征值为1 = − 2 = 3 =