第五章 相似矩阵及二次型 习题课 国 主要内容 x+y= 典型例题 测验题 返西
定 义 向量的内积 方阵的特征值 有关特征值 和特征向量 的结论 有关特征向量 定义及运算规律 的结论 向量的长度 质 向量的夹角 定 义 正交向量组的性质 相似矩阵 正交阵及正交变换 相似矩阵 实对称矩阵 标准形 次型 定义 惯性定理 正定之 正定欢型 型的判定 次型及其标准形 下页
1 向量内积的定义及运算规律 定义设有n维向量 X2 x= y= y 令x,y=x1y1+x2y2+.+xnyn,x,y称为向量 x与y的内积 上页
定义 . [ , ] ,[ , ] , , 1 1 2 2 2 1 2 1 与 的内积 令 称为向量 设 有 维向量 x y x y x y x y x y x y y y y y x x x x n n n n n = + + + = = １ 向量内积的定义及运算规律
内积的矩阵表示 [x,y]=x'y, 其中x,y都是列向量 内积满足下列运算规律其中x,y,z为n维向 量，几为实数)： (1)儿x,=y,x]; (2)儿2x,y]=2x,y; (3)x+y,z=[x,z+[y,z. 返回
, . [ , ] , 其 中 都是列向量 内积的矩阵表示 x y x y x y T = (3)[ , ] [ , ] [ , ]. (2)[ , ] [ , ]; (1)[ , ] [ , ]; , ): ( , , x y z x z y z x y x y x y y x x y z n + = + = = 量 为实数 内积满足下列运算规律其 中 为 维 向
2 向量的长度 定义 令 x=√x,x]=√x+x++x, x称为n维向量x的长度（或范数）： 向量的长度具有下列性质： (1)非负性当x≠0时，x>0;当x=0时，x=0; (2)齐次性2x=2x； (3)三角不等式x+y≤x+y叭 上页
定义 ( ). [ , ] , 2 2 2 2 1 称 为 维向量 的长度 或范数 令 x n x x = x x = x + x ++ xn 向量的长度具有下列性质： (3) . (2) ; (1) 0 , 0; 0 , 0; x y x y x x x x x x + + = = = 三角不等式 齐次性 非负性 当 时 当 时 ２ 向量的长度
当x=1时，称x为单位向量 向量的内积满足施瓦茨不等式 [x,y≤[x,xy,y, 从而有 Lx,川s1,当xy≠0时 xyl 上页 返回
当 x = 1时,称x为单位向量. 1, ( 0 ). [ , ] [ , ] [ , ][ , ], 2 从而有 当 时 向量的内积满足施瓦茨不等式 x y x y x y x y x x y y
3 向量的夹角 定义 当x≠0，y≠0时， 0=arccos x,] xy 称为n维向量x与y的夹角. 当肖x,y小=0时，称向量x与y正交 若x=0,则x与任何向量都正交
定义 . [ , ] arccos 0, 0 , 称 为 维向量 与 的夹角 当 时 n x y x y x y x y = 0, . [ , ] 0 , . 若 则 与任何向量都正交 当 时 称向量 与 正 交 x x x y x y = = ３ 向量的夹角
4 正交向量组的性质 所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量.向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基。 定理 若n维向量a1,a2,a,是一组两两正交的非 零向量，则a1,2,a,线性无关 定义设n维向量e1,e2,e,是向量空间V(VcR") 的一个基，如果e1,e2,e,两两正交则称e1,e2, e,是的一个规范正交基 回
所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基． 定理 , , , , . , , , 1 2 1 2 零向量 则 线性无关 若 维向量 是一组两两正交的非 a a a n a a a r r . , , , , , , , , , , , ( ) 1 2 1 2 1 2 是 的一个规范正交基 的一个基 如 果 两两正交 则 称 设 维向量 是向量空间 e V e e e e e n e e e V V R r r n r 定义 ４ 正交向量组的性质
主主主王王王王王王王 若e1,e2,e,是的一个规范正交基那么V 中任一向量都可表为 a=21e1+2e2+.+me, 其中 2=e{a=[a,el,(i=1,2,r) 施密特正交化方法 设a1,a2,a,是向量空间V的一个基，要求y 的一个规范正交基只需把1，a2,4,这个基规 范正交化
[ , ],( 1,2, , ). , , , , , 1 1 2 2 1 2 e a a e i r a e e e a e e e V V i T i i r r r = = = = + + + 其 中 中任一向量 都可表为 若 是 的一个规范正交基那 么 施密特正交化方法 . , , , , , , , , 1 2 1 2 范正交化 的一个规范正交基只需把 这个基规 设 是向量空间 的一个基 要 求 a a a a a a V V r r
第一步 正交化 取 b1=1; b2=02 (busaalbi [b1,b] b,=a, 161,611 [br-1,br-1 则b1,b2,b,两两正交且与a1,a2,a,等价， 区回
, , , , , , , . . [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] ; [ , ] [ , ] ; 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 则 两两正交 且 与 等 价 取 b b b a a a b b b b a b b b b a b b b b a b a b b b b a b a b a r r r r r r r r r r r − − − − = − − − − = − = 第一步 正交化