第四章 向量组的线性相关性 习题课 0 主要内容 X+y= 典型例题 气测验题 返西
线性组合 向量定义 向量方程 解向量 线性表示 向量线性运算 解的性质 线性相关 向量组的秩 n维向量 齐次线性方程组 n维向晨组 线胜方程组 向量空间 解法 定 义 向量”方程 子空间 有解的充要条件 非齐次线性方程组 基与维数 初等变换法 克拉默法则 解的性，质 下
1 向量的定义 定义 n个有次序的数a1,a2,an所组成的 数组称为n维向量.这n个数称为该向量的分量 第i个数a:称为第i个分量， 分量全为实数的向量称为实向量 分量全为复数的向量称为复向量
. . , , , , 1 2 第 个 数 称为第 个分量 数组称为 维向量 这 个数称为该向量的分量 个有次序的数 所组成的 i a i n n n a a a i n 分量全为实数的向量称为实向量． 分量全为复数的向量称为复向量． １ 向量的定义 定义
n维向量写成列的形式称为列向量即 a2 a= n维向量写成行的形式称为行向量，即 a7=(a1,a2,an 返回
= a a a a n n 2 1 维向量写成列的形式,称为列向量,即 a (a a a ) n n T , , , , , = 1 2 维向量写成行的形式称为行向量 即
向量的相等 设a=(a1,a2,an),b=(b1,b2,bn） 则aT=bT→ai=b:(i=1,2,n) 零向量 分量全为0的向量称为零向量. a7=0台ai=0(i=1,2,.,n） a'≠0→a:中至少有一个不为0，(i=1,2,.,m) 负向量 向量a/=(a1,a2,am)的负向量记作-aT,且 -a=(-a1,-a2,-an
向量的相等 ( 1,2, , ) ( , , , ), ( , , , ) 1 2 1 2 a b a b i n a a a a b b b b i i T T n T n T = = = = = 则 设 零向量 分量全为0的向量称为零向量． a O a 0(i 1,2, ,n) i T = = = a O a 0,(i 1,2, ,n) i T 中至少有一个不为 = 负向量 ( , , , ). ( , , , ) , 1 2 1 2 a a a a a a a a a n T T n T − = − − − = − 向 量 的负向量记作 且
2 向量的线性运算 向量加法 设a=(a1,a2,an),b=(b1,b2,bn,定义 向量aT与b的加法为： a"+b=(ai+bi,a2+b23,an+bn) 向量减法定义为 a7-b=(a1-b1,a2-b2,an-bn) 这回
向量加法 ( , , , ) : ( , , , ), ( , , , ), 1 1 2 2 1 2 1 2 a b a b a b a b a b a a a a b b b b n n T T T T n T n T + = + + + = = 向 量 与 的加法为 设 定 义 ( , , , ) a b a1 b1 a2 b2 an bn T T − = − − − 向量减法定义为 ２ 向量的线性运算
数乘向量 数k与向量T的乘积，称为向量的数量乘法 简称数乘向量定义为 kaT=(ka1,ka2,.,kan) 向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 算，满足下列八条运算规则： ()加法交换律 a+B=B+a; (2)加法结合律 (a+B)+y=&+(B+y); (3)对任一个向量a,有a+0=a;
数乘向量 ( , , , ) , , k a k a1 k a2 k a k a n T T = 简称数乘向量 定义为 数 与向量 的乘积 称为向量的数量乘法 向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 算，满足下列八条运算规则： (1)加法交换律 + = +; (2)加法结合律 ( + ) + = + ( + ); (3)对任一个向量,有 + O =;
(4)对任一个向量a,存在负向量-x,有 a+(-a)=O; (5)1a=a; (6)数乘结合律k(la)=(kl); (7)数乘分配律k(a+B)=ka+kβ； (8)数乘分配律(k+I)a=ka+lau. 其中a,B,y为n维向量，1，k,l为数，O为零向量
( ) ; (4) , , + − = O − 对任一个向量 存在负向量 有 (5) 1 =; (6)数乘结合律 k(l) = (kl); (7)数乘分配律 k( + ) = k + k; (8)数乘分配律 (k + l) = k + l. 其 中, ,为n维向量,1,k,l为 数,O为零向量
除了上述八条运算规则，显然还有以下性质： (1')0a=O,k0=O(其中0为数零，k为任意数)； (2')若kax=O,则或者k=0,或者=O; (3')向量方程a+x=有唯一解=B-a. 上页
除了上述八条运算规则，显然还有以下性质： (1') 0 = O,kO = O(其 中0为数零,k为任意数); (2')若k = O,则或者k = 0,或 者 = O; (3')向量方程 + x = 有唯一解x = −
3 线性组合 若干个同维数的列（行）向量所组成的集合 叫做向量组. 定义给定向量组4：a1,a2,am,对于任何一组 实数k1,k2,km,向量 kiai+k2a2+:+kmam 称为向量组A的一个线性组合k1,k2,·,km称为 这个线性组合的系数 回
若干个同维数的列（行）向量所组成的集合 叫做向量组． 定义 . , , , , , , , , : , , , , 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 这个线性组合的系数 称为向量组 的一个线性组合 称 为 实 数 向 量 给定向量组 对于任何一组 A k k k k a k a k a k k k A a a a m m m m m + + + ３ 线性组合