《高等数学》课程试卷习题（无答案）第6章空间解析几何与向量代数习题.pdf_大学文库

§1 向量及其线性运算一、是非题 1．自点 0 0 0 0 P (x , y ,z ) 作 P0D ^ xoy 平面，垂足 D 的坐标为 0 0 (x , y ,0) ． ( ) 2．自点 0 0 0 0 P (x , y ,z ) 作 P0F ^ zox 平面，垂足 D 的坐标为 0 0 (0, y ,z ) ． ( ) 3． 0 0 0 0 P (x , y ,z ) 作平行于 z 轴的直线，直线上的点有相同的横坐标 0 x 和相同的纵坐标 0 y ． ( ) 4．过 0 0 0 0 P (x , y ,z ) 作平行于 xoy 面的平面，该平面p 上的点有相同的纵坐标 0 y ． ( ) 5．已知a = (3,5,- 1) r ，b = (2,2,3) r ，c = (4,-1,- 3) r ，则 a + b - c = (1,8,5) r r r ． ( ) 6．设点 A(4， - 7,1 ) 和 B(6, 2,z) ，且| AB |= 11 uuur ，则 z = 7 或-5 ． ( ) 二、填空题 1．已知点 P(2,- 3,1) ，则点 P 关于 x 轴的对称点为． 2．已知点 P(2,- 3,1) ，则点 P 关于 xOz 平面的对称点为． 3．已知点 P(2,- 3,1) ，则点 P 与 z 轴的距离是． 4．在D ABC 中， BA+ AC +CB = uuur uuur uuur ． 5．在ð ABCD 中， AB - AD -CB = uuur uuur uuur AB uuur ． 6．设a = (1,- 1, 2) r ，b = (2,-2, 4) r ，则 a r 与b r ． 7．设a = (-2,6,- 3) r ，则|a |= r ． 8．设a,b,g 是向量a r 的三个方向角，则(cosa,cosb,cosg ) 是与a r ． 9．在 yoz 平面上，与三点 A(3,1, 2)、 B(4,-2,- 2) 和C (0,5,1) 等距离的点为．三、选择题 1．下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（） (A) 2 , , 3 4 3 p p p (B) , , 3 4 3 p p p - (C) , , 6 6 p p p (D) 2 , , 3 3 3 p p p 2．已知梯形 ABCD ， AB / /CD uuur uuur ，且| AB |= 2 |CD |, uuur uuur 若 AB = a, AD = b, uuur uuur r r 则 BC = uuur （） (A) 1 2 a - b r r (B) 1 1 2 2 a - b r r (C) 1 2 b - a r r (D) 1 2 b - a r r 3．设向量 ( , , ) x y z a = a a a r ， ( , , ) x y z b = b b b r ，则下列结论错误的是（） (A) a = b ¤ r r x x a = b ， y y a = b ， z z a = b ． (B)若 x a = 0 ，b || a r r ，则 x b = 0 ． (C) b //a ¤ r r 存在唯一的实数k ，使b = k a r r ． (D) P x x rj a = a r ， P y y rj a = a r ， P z z rj a = a r ． 4．设a,b,g 为向量a r 的三个方向角，则下列结论错误的是（） (A)若cosa = 0 ，则向量与 x 轴的夹角为p 2，则向量与 x 轴垂直或平行于 yoz 平面； (B)若cos b = 1，则向量与 y 轴的夹角为0 ，则向量与 y 轴同向； (C ) 若cosa = cos b = 0 ，则向量既垂直于 x 轴，又垂直于 y 轴，即向量垂直于 xoy 面． (D) 2 2 2 sin a + sin b + sin g =1

四、计算题 1．设向量a r 的两个方向余弦为 1 cos 3 a = ， 2 cos 3 b = ，又| a |= 6 r ，求 a r 的坐标． 2．设直线与三个坐标平面的交角分别为l 、m 、g ，求 2 2 2 cos l + cos m + cos g ． 3．设m = 3i + 5 j + 8k r r r r ，n = 2i - 4 j - 7k r r r r 和 p = 5i + j - 4k r r r r ，求向量a = 4m + 3n - p r r r r 在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分向量． 4．已知D ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ， B(1, 2,1) ，C (2, 4,0) ，求–B ．五、证明题 1．设a r ，b r 和c r 是互不共线的三向量，证明：将它们的终点与始点顺次相连而成一个三角形的充要条件是它们的和为零向量． 2．设 AB = 2a + 10b uuur r r ， BC = -2a + 8b uuur r r ，CD = 3(a - b) uuur r r ，证明 A 、 B 、 D 三点共线． 3．设一直线上三点 A 、B 、P 满足 AP = lPB uuur uuur ( l ¹ -1)，O 是空间任意一点，求证： 1 OA OB OP l l + = + uuur uuur uuur ． 4．如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形． §2 向量的乘法运算一、是非题 1． 3 a × a ×a = a r r r r ． ( ) 2． 2 a ¥ a = a r r r ． ( ) 3． 2 a(a ×b) = a b r r r r r ． ( ) 4．(a + b)¥(a - b) = a ¥ a - b¥b r r r r r r r r ． ( ) 5．若a ¹ 0 r r ，且 a ×b = a × c r r r r ，则b = c r r ． ( ) 6．若 a ¹ 0 r r ，且a ¥b = a ¥ c r r r r ，则b = c r r ． ( ) 7．-i ¥ j r r 不是单位向量． ( ) 二、填空题 1．设a = 2i - 3 j + 5k r r r r 与 b = 3i + j - 2k r r r r , 则 a × b = r r ； (a + b )×(a - b ) = r r r r ． 2．与向量a = {3,0, 4} r 平行的单位向量是． 3．若2i - 3 j + 5k r r r 与3i + mj - 2k r r r 互相垂直. 则m = ． 4．在 xoz 坐标面上与已知向量(- 2,3, 4) 垂直的向量为．三、选择题 1．设a ¥b = a ¥c, a,b, c r r r r r r r 均为非零向量，则（）； (A) b = c r r (B) a (b - c) r r r §§ (C) a ^ (b - c) r r r (D) | b |=| c | r r 2．向量 ( , , ) x y z a = a a a r 与 x 轴垂直，则有（） (A) 0 x a = (B) 0 y a = (C) 0 z a = (D) 0 x y a = a = 3．已知向量a = -i + 3 j v v v ，b = 3i + j v v v ，向量c v 的模| c |= r v ，则c v 满足关系式a v =b ¥ c v v 时，r 的最小值为_

(A) 35 5 (B) 1 (C) 2 (D) 10 10 四、计算题 1．求以 A(1, 2,3)， B(3, 4,5) ，C(-1,- 2,7) 为顶点的三角形的面积S ． 2．设a r ，b r ，c r 为单位向量，且满足a + b + c = 0 r r r r ，求a ×b + b×c + c × a r r r r r r ． 3．求与向量a = (2,0,1) r ，b = (1, -1,2) r 都垂直的单位向量．五、证明题 1．证明 2 2 2 2 (a ¥b) = a ×b - (a × b) r r r r r r ． 2．证明a r 垂直于(a ×b)c - (a × c)b r r r r r r ． 3．已知三点 A(1,0,0) ， B(3,1,1)，C (2,0,1) ，且 BC = a uuur r ，CA = b uuur r ， AB = C uuur ur ，求(a,b) r r $ 与Pr cjr a r ． 4．试用向量证明直径所对的圆周角是直角． 5．设a = (3,5,- 2) r ，b = (2,1, 4) r ，问l 与m 有怎样的关系，能使la + mb r r 与 z 轴垂直？ 6．试用向量证明不等式： 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 a + a + a b + b + b ³ a b + a b + a b ，其中 1 a 、 2 a 、 3 a 、 1 b 、 2 b 、 3 b 为任意实数，并指出等号成立条件． 7．设三向量a,b, c r r r 满足a ¥b + b ¥c + b ¥ a = 0 r r r r r r r ，试证三向量a,b, c r r r 共面． §3 空间平面与直线 1．求过 A(1,1,- 1) ， B(-2,- 2,2) 和C(1,- 1,2) 三点的平面方程． 2．求平面2x - 2y + z + 5 = 0与 xOy 面的夹角． 3．分别按下列条件求平面方程 (1)平行于 xOz 面且经过点(2,- 5,3) ； (2)通过 z 轴和点(-3,1,- 2) ； (3)平行于 x 轴，且经过两点(4,0,- 2) 和(5,1,7) ． 4．求过点(1,2,1) 而与直线 1 2 1 0 : 1 0 x y z l x y z Ï + - + = Ì Ó - + - = ， 2 0 : 0 x y z l x y z Ï - + = Ì Ó - + = 平行的平面方程． 5．求点(- 1,2,0) 在平面 x + 2y - z +1= 0上的投影． 6．用对称式方程及参数式方程表示直线l ： 1 2 4 x y z x y z Ï - + = Ì Ó + + = ． 7．求直线 5 3 3 9 0 3 2 1 0 x y z x y z Ï - + - = Ì Ó - + - = 与直线 2 2 23 0 3 8 18 0 x y z x y z Ï + - + = Ì Ó + + - = 的夹角的余弦． 8．求过点(0,2,4) 且与两平面 x + 2z =1和 y -3z = 2平行的直线方程． 9．求直线 3 0 0 x y z x y z Ï + + = Ì Ó - - = 与平面 x - y - z +1= 0 的夹角． 10．确定直线 3 4 2 7 3 x + y + z = = - - 和平面 4x - 2y - 2z = 3间的位置关系．

11．求点 P(3,- 1,2) 到直线 1 0 2 4 0 x y z x y z Ï + - + = Ì Ó - + - = 的距离． 12．设直线l ： 0 , 3 0, x y b x ay z Ï + + = Ì Ó + - - = 在平面p 上，而平面p 与曲面 2 2 z = x + y 相切于(1,- 2,5) ，求a ， b 的值． 13．求通过点 P (1,1,1) 且与两直线 1 l ： 1 3 x y z z = = ， 2 l ： 1 2 3 2 1 4 x - y - z - = = 都相交的直线方程． §4 空间曲面与曲线 1．求与坐标原点O 及点(2,3,4) 的距离之比为 1:2 的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？ 2．将 xOz 坐标面上的抛物线 2 z = 5x 绕 x 轴旋转一周，求生成旋转曲面的方程． 3．画出下面方程所表示的曲面： (1) 2 2 2 2 2 a a x y Ê ˆ Ê ˆ Á - ˜ + = Á ˜ Ë ¯ Ë ¯ ； (2) 2 2 1 9 4 x z + = ； (3) 2 z = 2 - x ． 4．指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？ (1) x = 2 ；(2) y = x + 1；(3) 2 2 x + y = 4 ；(4) 2 2 x - y =1． 5．说明下列旋转曲面是怎样形成的？ (1) 2 2 2 x - y 4 + z =1； (2) 2 2 2 (z - a) = x + y ． 6．分别求母线平行于 x 轴及 y 轴，且通过曲线 2 2 2 2 2 2 2 16 0 x y z x z y Ï Ô + + = Ì Ô Ó + - = 的柱面方程． 7．已知椭球面的三轴分别与三坐标轴重合，且通过椭圆 2 2 1 9 16 x y + = ， z = 0 与点 M (1,2, 23) ，求这个椭球面的方程． 8．求平行于向量(1,1,- 1) 且与球面 2 2 2 x + y + z =1 相切的直线所生成的柱面方程． 9．曲面 2 2 2 2 x + y + z = a 与 2 2 x + y = 2ax （ a > 0 ）的交线是（）．（A）抛物线（B）双曲线（C）椭圆（D）圆 10. 方程组 ( ) 2 2 2 2 2 0 0 z a x y a x y ax Ï Ô = - - Ì > Ô Ó + - = 表示怎样的曲线? 11. 方程组 2 2 2 2 2 2 2 2 z a x y a a x y Ï = - - Ô Ì Ê ˆ Ê ˆ Ô - + = Á ˜ Á ˜ Ó Ë ¯ Ë ¯ 表示怎样的曲线? 12. 方程组 2 2 2 2 2 2 4 ( ) z a x y x a y a Ï Ô = - - Ì Ô Ó - + = 表示怎样的曲线? 13．指出下列方程组在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么图形？

《高等数学》课程试卷习题（无答案）第6章 空间解析几何与向量代数习题

《高等数学》课程试卷习题（无答案）第6章空间解析几何与向量代数习题