《高等数学》课程教学资源（教案讲义）第7章 多元函数微分学

第七章多元函数微分学教学提示：在多元函数微分学中，也有相似一元函数的极限、连续、导数和微分等基本概念：但这些概念有许多新的特点、新的问题需要讨论，这正是学习多元函数有关知识应特别注意的，一般来说，一些概念和定理如果在二元函数情况下得到了证明，就不难推广到二元以上的多元函数的情形。本章以讨论二元函数为主。教学要求：理解多元函数的概念，会求二元函数的定义域；理解二元函数的几何意义：了解二元函数的极限及连续的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质：知道一切多元初等函数在其定义域内是连续的；理解偏导数的定义及其几何义意；熟练掌握一阶偏导数及二阶偏导数的计算方法；理解多元函数全微分的概念，熟练掌握全微分的计算方法：了解二元函数全微分存在的必要条件和充分条件了解全微分形式的变性；掌握复合函数微分法，会求隐函数的偏导数；理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法；了解空间曲线的切线及法平面和曲面的切平面及法线的概念，会求它们的方程；了解二元函数的二阶泰勒公式；理解多元函数极值和条件极值的概念：掌握多元函数极值存在的必要条件；了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求简单多元函数的最大值和最小值；并会解决一些简单的应用问题，教学重点：多元函数概念；多元函数的极限；偏导数与全微分；方向导数与梯度；多元函数微分学的应用教学难点：复合函数微分法；方程组确定的隐函数的偏导数：多元函数微分学的应用第一节多元函数的基本概念一、平面点集n维向量空间讨论一元微积分用到的一些概念、理论和方法都是基于数轴（R）上的点集、距离、邻域和区间等概念。为了将一元微积分推广到多元函数的情形，我们先将这些概念加以推广，同时还需涉及其它一些概念。1.平面点集平面上建立直角坐标系后，平面上的点与二元有序数组（x）之间就有一一对应关系，从而二元有序数组(x,y)的全体表示平面上一切点的集合，记为R，即R=R×R=(x,J)|x,yeR),该集合表示坐标平面坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集，记作E=((xy)l(x,y)具有某种性质P).例如，平面上以原点为中心，r为半径的圆内所有的点的集合是C=(x,y)x+y2<r)，如果我们以点P表示(x,y)，IOP|表示点P到原点O的距离，那么集合C也可表示成C=(PIIOPKr)(1)邻域设P(x,y%)是xOy平面上的一个点，是某一正数。则与点P(x,y%)距离小于的点P(x,y)的全体称为点P的邻域（圆邻域），记为U(P,)，即U(P,8)=(PIIPP8)，如图7-1(a)所示，其中

第七章 多元函数微分学 教学提示: 在多元函数微分学中，也有相似一元函数的极限、连续、导数和微分等基本概念．但 这些概念有许多新的特点、新的问题需要讨论．这正是学习多元函数有关知识应特别注意的．一般来 说， 一些概念和定理如果在二元函数情况下得到了证明， 就不难推广到二元以上的多元函数的情形．本 章以讨论二元函数为主． 教学要求：理解多元函数的概念，会求二元函数的定义域；理解二元函数的几何意义；了解二元 函数的极限及连续的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；知道一切多元初等函数在其定义域内 是连续的；理解偏导数的定义及其几何义意；熟练掌握一阶偏导数及二阶偏导数的计算方法；理解多 元函数全微分的概念， 熟练掌握全微分的计算方法； 了解二元函数全微分存在的必要条件和充分条件,  了解全微分形式的变性； 掌握复合函数微分法， 会求隐函数的偏导数； 理解方向导数与梯度的概念， 并 掌握其计算方法；了解空间曲线的切线及法平面和曲面的切平面及法线的概念,会求它们的方程；了解 二元函数的二阶泰勒公式；理解多元函数极值和条件极值的概念；掌握多元函数极值存在的必要条件； 了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求简 单多元函数的最大值和最小值；并会解决一些简单的应用问题． 教学重点：多元函数概念；多元函数的极限；偏导数与全微分；方向导数与梯度；多元函数微分 学的应用. 教学难点: 复合函数微分法；方程组确定的隐函数的偏导数；多元函数微分学的应用． 第一节 多元函数的基本概念 一、平面点集 n 维向量空间 讨论一元微积分用到的一些概念、理论和方法都是基于数轴(R) 上的点集、距离、邻域和区间等 概念．为了将一元微积分推广到多元函数的情形，我们先将这些概念加以推广，同时还需涉及其它一 些概念． 1.  平面点集 平面上建立直角坐标系后，平面上的点与二元有序数组(x, y) 之间就有一一对应关系，从而二元有 序数组(x, y) 的全体表示平面上一切点的集合，记为 2 R ，即 = ¥ {(x, y) | x, y Œ } 2 R R R = R ,该集合表示坐 标平面．坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合称为平面点集，记作 E ={(x, y) | (x, y) 具有某种性质 P } ． 例如，平面上以原点为中心， r 为半径的圆内所有的点的集合是 2 2 2 C ={(x, y)| x + y < r }．如果我 们以点 P 表示(x, y) ,|OP |表示点 P 到原点O 的距离，那么集合C 也可表示成C ={P | |OP|< r}． (1) 邻域 设 0 0 0 P (x , y ) 是 xOy 平面上的一个点，d 是某一正数．则与点 0 0 0 P (x , y ) 距离小于d 的点 P(x, y) 的全 体称为点 P 0 的d 邻域( 圆邻域) ，记为 0 U(P ,d ) ，即 0 0 U(P ,d ) ={P || PP |< d}，如图 7­1 (a ) 所示，其中

207第一节多元函数的基本概念IPP/(x-x)+(y-)此外，我们称U(P,o)=(0P8)与U(,)=((x,)lx-x8,|-)分别为点P的去心8邻域和8方邻域（图7-1(b））：因为方邻域与圆邻域可以互相包含（图7-1(c))，因而在讨论实际问题中也常使用方邻域如果不需要强调邻域半径S，则用U(P）与U（P）分别表示P的邻域或去心邻域，PU(P.8)P(5)P(J)8P(.30)U(P.0)(a)(e)(0)图 7-1(2)点与点集的关系设ECR是xOy平面上的一个点集，任意一点PeR是xOy平面上的一个点，内点如果存在点P的某一邻域U(P)，使U(P)CE，则称P为E的内点.如图7-2中点P就是内点.外点如果存在点P的某一邻域U(P)，使U(P)NE=の，则称P为E的外点.如图7-2中点P就是外点.边界点如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称P为E的边界点如图7-2中点P就是边界点.E的边界点的全体称为E的边界，记作aEE的内点必属于E：E的外点必不属于E；而E的边界点可以属于E，也可以不属于E，PPP图7-2聚点如果点P的任一去心邻域U（P,)内总有E中的点，则称P是E的聚点由聚点的定义知，E的聚点既可以属于E，也可以不属于E例如，E=((x,)|l<x+y4)，满足1<x+y<4的一切点(x,)都是E的内点；满足x+y=1的一切点（xy)都是E的边界点，它们都不属于E：满足x?+y=4的一切点（x,y)也是E的边界点，它们也都属于E：E及其边界aE上点都是E的聚点(3）一些重要的平面点集根据点集中点的特征，再来定义一些重要的平面点集，开集如果点集E的点都是内点，则称E为开集，闭集如果点集E的边界EE，则称E为闭集。如，((x,)|l<x+<4)为开集，(x,)|1<x+4)为闭集，而(x,)|l<x2+4)既非开集，也非闭集

第一节 多元函数的基本概念 207 2 2 0 0 0 | P P |= (x - x ) + (y - y ) ． 此外，我们称 0 0 U (P ,d ) ={P | 0 <| PP |< d } o 与 0 0 0 U(P ,d ) ={(x, y) || x - x |< d ,| y - y |< d} 分别为点 P 0 的去心d 邻域和d 方邻域( 图 7­1 (b )) ．因为方邻域与圆邻域可以互相包含( 图 7­1 (c)) ，因 而在讨论实际问题中也常使用方邻域．如果不需要强调邻域半径d ，则用 0 U(P ) 与 0 U (P ) o 分别表示 P 0 的邻域或去心邻域． 图 7­1 (2) 点与点集的关系 设 E à 2 R 是 xOy 平面上的一个点集，任意一点 PŒ 2 R 是 xOy 平面上的一个点． 内点 如果存在点 P 的某一邻域U(P ) ，使U(P) à E ，则称 P 为 E 的内点．如图 7­2 中点 P 1 就是内 点． 外点 如果存在点 P 的某一邻域U(P ) ，使U(P) I E = Æ ，则称 P 为 E 的外点．如图 7­2 中点 P 2 就 是外点． 边界点 如果点 P 的任一邻域内既有属于 E 的点，也有不属于 E 的点，则称 P 为 E 的边界点．如 图 7­2 中点 P 3 就是边界点． E 的边界点的全体称为 E 的边界，记作¶ E ． E 的内点必属于 E ； E 的外点必不属于 E ；而 E 的边界点可以属于 E ，也可以不属于 E ． 图 7­2  聚点 如果点 P 的任一去心邻域U (P,d ) o 内总有 E 中的点，则称 P 是 E 的聚点． 由聚点的定义知， E 的聚点既可以属于 E ，也可以不属于 E ． 例如， 2 2 E = {(x, y)|1< x + y £ 4}，满足 2 2 1< x + y < 4 的一切点(x, y) 都是 E 的内点；满足 2 2 x + y =1 的一切点(x, y) 都是 E 的边界点，它们都不属于 E ；满足 2 2 x + y = 4 的一切点(x, y) 也是 E 的边界点，它 们也都属于 E ； E 及其边界¶ E 上点都是 E 的聚点． (3) 一些重要的平面点集 根据点集中点的特征，再来定义一些重要的平面点集． 开集 如果点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集． 闭集 如果点集 E 的边界¶E à E ，则称 E 为闭集． 如， 2 2 {(x, y)|1< x + y < 4} 为开集， 2 2 {(x, y)|1£ x + y £ 4} 为闭集，而 2 2 {(x, y)|1< x + y £ 4} 既非开 集，也非闭集．

2087章多元函数微分学连通集若点集E内任何两点都可用完全属于E的曲线连接起来，则称E是连通集如图7-3所示，R2上的点集E、E,是连通集，E，是非连通集图7-3区域连通的开集称为区域或开区域闭区域开区域连同它的边界一起，称为闭区域，有界集设E为点集，如果存在正数，使得EcU(O.8），其中O是坐标原点，则称E为有界集，否则，称为无界集，如((x,y)/l0)是无界开区域2.n维向量空间设(f土g)(x,y)=f(x,y)±g(x,y)为取定的一个正整数，用R"表示n元有序数组(x,r,",x)的全体构成的集合，即R"=RxRx.×R=(x,X,x,)/x, eR,i=1,2,.n),每个n元有序数组=(,2,"x）称为R"中的一个点(元素)，或一个n维向量，数x,(i=1,2,n)称为该点的第i个坐标或该n维向量的第(x,J)→(xo,y）个分量.当x,=0(i=1,2,,n)时，称0=(0,0,,0)为R"的零向量或零元，为了在集合R"中的元素之间建立联系，我们在R"中定义线性运算如下：设x=(a,",），=(y,y2y)为R"中任意两个元素，eR，规定x+j=(x+y,+y2",x,+y)，ax=(ax,x,",ax),这样定义了线性运算的R"称为n维向量空间R"中的点=(,2,",x)和点=(y,y2"y)间的距离p(,)规定为p(,)=(-) +(-) ++(x-)容易得知，当n=12.3时，上述两点距离的规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间内两点间的距离一致，R"中的点=(x,x2""x）和零元=(0,0…,0)间的距离p(,0)记作l（通常在R'、R、R"中把记作，即Ix=x+x++x采用这一记号，结合向量的线性运算，我们有Ix-=/(x-y)2+( -y2)+.+( -y,) = p(x,y) .前面就平面点集所陈述的一系列概念，可推广到n维空间中去，如,设PeR",是某一正数，则n维空间内的点集U(P,o)=(PlIPP<o,PR")定义为P的8邻域以邻域为基础，可定义去心邻域、内点、边界点、区域、聚点等一系列概念

208 7 章 多元函数微分学 连通集 若点集 E 内任何两点都可用完全属于 E 的曲线连接起来，则称 E 是连通集． 如图 7­3 所示， 2 R  上的点集 E 1 、 E 2 是连通集， E 3是非连通集． 图 7­3  区域 连通的开集称为区域或开区域． 闭区域 开区域连同它的边界一起，称为闭区域． 有界集 设 E 为点集，如果存在正数d ，使得 E ÃU(O,d ) ，其中O 是坐标原点，则称 E 为有界 集．否则，称为无界集． 如 2 2 {(x, y)|1 0}是无界开区域． 2. n 维向量空间 设( f ± g)(x, y) = f (x, y) ± g(x, y) 为取定的一个正整数，用 n  R 表示 n 元有序数组 1 2 ( , , , ) n x x ××× x 的全体 构成的集合，即 1 2 {( , , , ) , 1,2, , } n i  = ¥ ¥×××¥ x x ××× x | x Œ i = ××× n n  R R R R = R ， 每个 n 元有序数组 1 2 ( , , , ) n x = x x ××× x r 称为 n  R 中的一个点(元素)，或一个n 维向量，数 i  x (i =1,2,××× ,n) 称为 该点的第i 个坐标或该n 维向量的第 0 0 (x, y) Æ (x , y ) 个分量． 当 0 i  x = (i =1,2,××× ,n) 时， 称0 = (0,0,××× ,0) r 为 n  R 的零向量或零元． 为了在集合 n  R 中的元素之间建立联系，我们在 n  R 中定义线性运算如下： 设 1 2 ( , , , ) n x = x x ××× x r ， 1 2 ( , , , ) n y = y y ××× y r 为 n  R 中任意两个元素，l Œ R ，规定 1 1 2 2 ( , , , ) n n x + y = x + y x + y ××× x + y r r ， 1 2 ( , , , ) n lx = lx lx ××× lx r ， 这样定义了线性运算的 n  R 称为 n 维向量空间． n  R 中的点 1 2 ( , , , ) n x = x x ××× x r 和点 1 2 ( , , , ) n y = y y ××× y r 间的距离 r (x, y) r r 规定为 2 2 2 1 1 2 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) n n r x y = x - y + x - y + ××× + x - y r r ． 容易得知，当 n =1,2,3 时，上述两点距离的规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间内两点间的 距离一致． n  R 中的点 1 2 ( , , , ) n x = x x ××× x r 和零元0 = (0,0,××× ,0) r 间的距离 r(x,0) r r 记作|| x || r (通常在 1 R 、 2 R 、 3 R 中 把|| x || r 记作| x | r )，即 2 2 2 1 2 n || x ||= x + x + ××× + x r ． 采用这一记号，结合向量的线性运算，我们有 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( , ) n n || x - y ||= x - y + x - y + ××× + x - y = r x y r r ． 前面就平面点集所陈述的一系列概念，可推广到 n 维空间中去，如,设 0 n P Œ R , d 是某一正数，则 n 维空间内的点集 0 0 ( , ) { , } n U P d = P || PP |< d PŒ R 定义为 P 0 的d 邻域．以邻域为基础，可定义去心邻域、内点、边界点、区域、聚点等一系列概念．

209第一节多元函数的基本概念二、多元函数的概念1.二元函数的概念一元函数仅是一个自变量的函数，而在许多实际问题和数学理论中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系.例1长方形的面积s与长方形的长x和宽y两个量对应，其关系为S=xy.例2长方体的体积V与长方体的长x，宽y，高=三个量对应，其对应规律为V=xy.上述两例是多元函数的实例．抽去它们的几何等特性，仅保留数值关系的共性，可得到多元函数的定义，定义1设D是平面f(x,y)内的一个非空点集。如果对任意点(x,y)eD(或P(x,y)eD)，按照一定法则f总有唯一确定的值=与之对应，则称=是x、的二元函数（或称=是点P的函数），记为z=f(x,y),(x,y)eD, 或==f(P),P(x,y)eD.其中点集D称为该函数的定义域，x,y称为自变量，=称为因变量，而数集f(D)=(=|z= f(x,y),(x,y)eD)称为该函数的值域设函数z=f(x,y)的定义域为D，对于任意取定的点(x,y)eD，对应的函数值为z=f(x,y).这样在空间确定一点M(xy,=)：当(x,y)遍取D上一切点，得到一个空间点集(x,y,z)[z= f(x,y),(x,y)eD) ,该点集称为二元函数z=f（x，y）的图形（图7-4），通常我们也说二元函数的图形是一曲面，定义域D为该曲面在xOy平面上的投影图 7-4例如，由空间解析几何知道，由方程x+y+=α?所确定的函数的图形是球心在原点、半径为α的球面，它的定义域是圆形封闭区域D=((x,Jy)x2+y≤α)类似地，我们可以定义n元函数，设D是R"内的一个非空点集，如果对任意点(，，",x)eD(或P(，，x)eD)，按照一定法则总有唯一确定的值u与之对应，则称u是x,2，x的n元函数(或称=是点P的函数)，记为u=f(x,x,",x,)，(x,,",x)eD,或u=f(P), P(x,r,.,x,)eD.在n=2或3时，习惯上将点(,r）与(x,x2,x)分别写成(x,y)与(x,y,=)：这时，若用字母表示R或R中的点，即写成P(x,y)或M(x,y,=)，则相应的二元函数或三元函数也可简记为z=f(P)及u=f(M).当n=1时，n元函数就是一元函数.当n≥2时，n元函数统称为多元函数，2.多元函数定义域的求法若多元函数关系用解析式子表示，则定义域就是使运算有意义的自变量值的全体，其求法与一元

第一节 多元函数的基本概念 209 二、多元函数的概念 1.  二元函数的概念 一元函数仅是一个自变量的函数．而在许多实际问题和数学理论中，经常会遇到多个变量之间的 依赖关系． 例 1  长方形的面积S 与长方形的长 x 和宽 y 两个量对应，其关系为S = xy ． 例 2  长方体的体积V 与长方体的长 x ，宽 y ，高 z 三个量对应，其对应规律为V = xyz ． 上述两例是多元函数的实例． 抽去它们的几何等特性，仅保留数值关系的共性，可得到多元函 数的定义． 定义 1  设 D 是平面 f (x, y)内的一个非空点集．如果对任意点(x, y)ŒD (或 P(x, y)Œ D )，按照一定 法则 f 总有唯一确定的值 z 与之对应，则称 z 是 x 、 y 的二元函数(或称 z 是点 P 的函数)，记为 z = f (x, y),(x, y)ŒD ，或 z = f (P),P(x, y)ŒD ． 其中点集 D 称为该函数的定义域， x, y 称为自变量， z 称为因变量．而数集 f (D) ={z | z = f (x, y),(x, y)Œ D} 称为该函数的值域． 设函数 z = f (x, y) 的定义域为 D ，对于任意取定的点(x, y)ŒD ， 对应的函数值为 z = f (x, y) ．这样 在空间确定一点M (x, y,z ) ．当(x, y) 遍取 D 上一切点，得到一个空间点集 {(x, y,z) | z = f (x, y),(x, y)Œ D}， 该点集称为二元函数 z = f (x, y) 的图形（图 7­4），通常我们也说二元函数的图形是一曲面，定义域 D  为该曲面在 xOy 平面上的投影． 图 7­4  例如，由空间解析几何知道， 由方程 2 2 2 2 x + y + z = a 所确定的函数的图形是球心在原点、半径为a  的球面，它的定义域是圆形封闭区域 2 2 2 D ={(x, y) | x + y £ a }． 类似地，我们可以定义n 元函数． 设 D 是 n  R 内的一个非空点集．如果对任意点 1 2 ( , , , ) n x x ××× x Œ D (或 1 2 ( , , , ) P n x x ××× x Œ D )，按照一定法 则 f 总有唯一确定的值u 与之对应，则称u 是 1 2 , , , n x x ××× x 的n 元函数(或称 z 是点 P 的函数)，记为 1 2 ( , , , ) n u = f x x ××× x ， 1 2 ( , , , ) n x x ××× x Œ D ， 或 u = f (P) ， 1 2 ( , , , ) P n x x ××× x Œ D ． 在 n = 2 或3时，习惯上将点 1 2 (x , x ) 与 1 2 3 (x , x , x ) 分别写成(x, y) 与(x, y,z ) ．这时，若用字母表示 2 R 或 3 R 中的点，即写成 P(x, y) 或 M (x, y,z ) ，则相应的二元函数或三元函数也可简记为 z = f (P) 及 u = f (M ) ． 当 n =1时，n 元函数就是一元函数．当n ³ 2 时， n 元函数统称为多元函数． 2.  多元函数定义域的求法 若多元函数关系用解析式子表示，则定义域就是使运算有意义的自变量值的全体，其求法与一元

2107章多元函数微分学函数有极其类似的方法，可将一元函数中的方法推广至多元函数，一般为xOy平面上的区域，三元函数定义域一般为空间区域，这些点集可用自变量所应满足的不等式或不等式组表示，例3求下列二元函数的定义域：(1) == (++); (2) :=aresin(t* + y): (3) =-arsin(3--~),Vx-y2解（1)因为对数的真数非负，故所求定义域为D=(x,y)Ix+y>0)，即定义域D是直线x+y=0上方的无界区域(图7-5)(2）由反正弦函数的定义可知，此函数的定义域是D=（(x,y)/x+y≤1)，即定义域D是以原点为中心，1为半径的圆的内部和边界，这是一个有界闭区域(图7-6).(3）要使表达数有意义，必须[2≤x2+y≤4[13-x-],即x-y2>0x>y2故所求定义域为D=(x,)[2≤x2+y2≤4,x>y)(图7-7)图 7-6图7-5图7-73.多元函数的四则运算和数量乘法运算多元函数的四则运算和数量乘法与一元函数的情形类似，可将一元函数中的方法推广至多元函数，如二元函数的四则运算和数量乘法的定义为() (f±g)(x,y)=f(x,y)±g(x,y):(2) (af(x,y)=af(x,y) :(3) (fg)(x,y)=f(x,y)-g(x,y);(,J)=(x,)(4)g(x,y)+0.g(x,y)(g)三、多元函数的极限1．二元函数极限的概念讨论函数f(x,)当(x,y)→(x,y)，即P(x,y)→P(xg,)时的极限。这里P→P表示平面上的点P以任何方式趋近点P(图7-8)，即点P沿着不同方向的直线或曲线趋近P(但不能达到P).也就是点P与点P间的距离趋于零，即IPP= (x-x) +(y-)→0 .与一元函数类似，给出二元函数的极限定义

210 7 章 多元函数微分学 函数有极其类似的方法，可将一元函数中的方法推广至多元函数．一般为 xOy 平面上的区域，三元函 数定义域一般为空间区域，这些点集可用自变量所应满足的不等式或不等式组表示． 例 3  求下列二元函数的定义域： (1) z = ln(x + y) ；(2) 2 2 z = arcsin(x + y ) ；(3) 2 2 2 arcsin(3 x y  ) z  x y - - = - ． 解 (1) 因为对数的真数非负，故所求定义域为 D ={(x, y)| x + y > 0}，即定义域 D 是直线 x + y = 0 上方的无界区域(图 7­5)． (2) 由反正弦函数的定义可知，此函数的定义域是 2 2 D ={(x, y) | x + y £1} ，即定义域 D 是以原点 为中心，1 为半径的圆的内部和边界，这是一个有界闭区域(图 7­6)． (3) 要使表达数有意义，必须 2 2 2 3 1 0 x y  x y Ï| - - |£ Ì Ó - > ，即 2 2 2 2 x y  4 x y Ï £ + £ Ì Ó > ， 故所求定义域为 2 2 2 D ={(x, y) | 2 £ x + y £ 4, x > y }(图 7­7)． 图 7­5  图 7­6  图 7­7 3.  多元函数的四则运算和数量乘法运算 多元函数的四则运算和数量乘法与一元函数的情形类似，可将一元函数中的方法推广至多元函 数．如二元函数的四则运算和数量乘法的定义为 (1) ( f ± g)(x, y) = f (x, y) ± g(x, y) ； (2) (l f )(x, y) = l f (x, y) ； (3) ( fg)(x, y) = f (x, y)× g(x, y) ； (4) ( , ) ( , ) ( , ) f f x y  x y  g g x y Ê ˆ Á ˜ = Ë ¯ ， g(x, y) ¹ 0 ． 三、多元函数的极限 1．二元函数极限的概念 讨论函数 f (x, y)当 0 0 (x, y) Æ (x , y ) ，即 0 0 0 P(x, y) Æ P (x , y ) 时的极限．这里 P Æ P0 表示平面上的点 P 以任何方式趋近点 P0 (图 7­8)，即点 P 沿着不同方向的直线或曲线趋近 P0 (但不能达到 P0 )．也就是点 P 与点 P 0 间的距离趋于零，即 2 2 0 0 0 | PP |= (x - x ) + ( y - y ) Æ 0 ． 与一元函数类似，给出二元函数的极限定义．

211第一节多元函数的基本概念0Xox图 7-8定义2设二元函数≥=f(x,J)在点P(,%)的某邻域U(P)内有定义，点P(x,J)是U(P)中异于P的任意一点。如果当P(x,J)以任何方式趋向P(x,%)时，对应的函数值(x,y)都无限接近于一个确定的常数A，则称A是函数z=f(x,y)当(x,y)→(x,y)时的极限．记作limf(x,y)=A，或limf(x,y)=A(x,y)(x0.)3%也记作f(x,y)→A(IPP→0), 或 f(x,y)→A(x,y)-→(o,y) .与一元函数类似，我们可以用“6-8”语言给出它的精确定义：设二元函数2=(x,J)在点P(x,%)的某邻域U(P)内有定义，点P(x,y)是U(P)中异于P的任意点，如果>0，>0，当0PP时，都有I(x)-A成立，则称A为函数z=f(x)当(x,y)→(xo,y)时的极限为了区别一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限注1limf(x,y)=A存在，就是指P(x,J)以任何方式趋于P(xo,y)时，函数都无限接近于A.所13以要证明某极限不存在时，只要以两个不同方式(或两条不同路径)趋于P(o,y)时，函数趋于不同的值即可断定函数的极限不存在。注2关于二元函数的极限概念可以相应地推广到n元函数u=f(P)或u=f(x,r,",x）上去.注3多元函数的极限有与一元函数的极限类似的性质xy例5证明lim=0(r)→(0,0) /x2 + y2xy证因为函数f(x,y)=在点O(0,0)的任意去心邻域内都有定义.设点P(x,y)是U(O)中异Vx+ y2于0的任意一点，对Vε>0，要使-(x+ y)xyx? +y2 0，取=2，当0PP8时，总有xyVx+yxy因此lim0(s,)(0,0)/x+1x'y不存在，例6证明lim(0,0) x" + y

第一节 多元函数的基本概念 211 图 7­8  定义 2  设二元函数 z = f (x, y) 在点 0 0 0 P (x , y ) 的某邻域 0 0 U (P )内有定义，点 P(x, y) 是 0 0 U (P )中异于 P 0 的任意一点．如果当 P(x, y) 以任何方式趋向 0 0 0 P (x , y ) 时，对应的函数值 f (x, y)都无限接近于一个确 定的常数 A ，则称 A 是函数 z = f (x, y) 当 0 0 (x, y) Æ (x , y ) 时的极限．记作 0 0  lim ( , ) x x  y y  f x y A Æ Æ = ， 或 0 0  ( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y  f x y A Æ = ． 也记作 f (x, y) Æ A 0 (| PP |Æ 0) ，或 f (x, y) Æ A 0 0 ((x, y) Æ (x , y )) ． 与一元函数类似，我们可以用“e -d ”语言给出它的精确定义： 设二元函数 z = f ( x, y) 在点 0 0 0 P (x , y ) 的某邻域 0 0 U (P )内有定义，点 P(x, y) 是 0 0 U (P )中异于 P 0 的任 意点．如果"e > 0 ，$d > 0 ，当 0 0 0 ，要使 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 2 0 2 x y  xy  x y  x y x y + - £ = + + + 0 ，取d = 2e ，当 0 0 <| PP |< d 时，总有 2 2 0 xy  x y - < e + ． 因此 ( , ) (0,0) 2 2 lim 0 x y  xy  x y Æ = + ． 例 6  证明 2 4 2 ( , ) (0,0) lim x y  x y  Æ x + y 不存在．

2127章多元函数微分学证当点P(x.V)沿v轴（x=0）趋于点（0.0)时0°.yx'yx'y0lim= lim=limlim-=0:m0+yy>0 y2(s,)(0,0) x + y2x+y当点P(x,y)沿曲线y=x趋于点(0,0)时r'yx'yx2.x21= lim-(ojio y-lim0x+x2+-0 x* + y2J=r因此，函数f(x,y)在(0,0)处无极限2.二元函数的极限性质与运算法则由于多元函数的极限定义与一元函数的极限定义本质上是一样的，所以一元函数的极限的一些性质和运算法则对于多元函数也是成立的．例如：如果极限存在，其极限值是惟一的；无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量；若两个函数f,g的极限分别为A,B，则f±g，Jg，J/g的极限等于A±B，AB，A/B(B+O)，等等例7求下列极限：1.x+y?(2) lim(1+ x); (3) lim sin(2) ;(4) lim cos.xy-1(1) lim3 /i+x+y2-1xsinxy330x2+ j2(x?+y°)(1+x* +y? +1)解（1)limlin0y1+x2 +y2-1(y1+x +y2-1)(/1+x +y+1)(+yX+x+y+)=lim(V+x++1)=+0°+0+1=2.limx?+y?503011limymy=[lim(1+xy)"=e3(2) lim(1+xy)*= lim[(1+ xy) =[lim(1+xy)]3033(3) lim sin(x)- limsin().lim y=1.0=0 .fox0y-(4）因为(x,J)→(0,0)：则xy→0，而cosxy-1~-(xy)/2，sinxy~xy，所以I=im (0)/2=im(--)--lim cos.xy-12.0=0sinxxy22求多元函数的极限，仍可利用一元函数求极限的一些方法，例如利用两个重要极限求极限，利用无穷小性质求极限与一元函数类似，二元函数f(x,y)的极限与对应的序列(f(x，y）的极限也有一定的关系，也有判断二元函数极限存在的柯西准则，定理1设二元函数f(x,y)在U(P,)内有定义，则P(x,y)→P(xo,y)时，f(x,y)→a的充分必要条件是：对任意含于U(P,)且收敛于P(x,%)的点列((xy），都有f(x,y）→a(k→+)证明从略。定理2（柯西准则）设二元函数f(x,J)在U(P,)内有定义：则f(x,y)当P(x,J)→P(ro,%)时极限存在的充要条件是：>0，>0，使P(,),P(x2,2)U(Po,)，均有If(x,y)-f(xy2)k.证明从略，关于二元函数极限的定义、结论等都可推广到一般n元函数上去，这里不再列举

212 7 章 多元函数微分学 证 当点 P(x, y) 沿 y 轴( x = 0 )趋于点(0,0) 时， 2 2 2 4 2 4 2 4 2 2 ( , ) (0,0) 0 0 0 0 0 0 lim lim lim lim 0 x y x y 0 y  y  x y x y y  Æ x y = x y Æ y Æ y Æ × = = = = + + + ； 当点 P(x, y) 沿曲线 2 y = x 趋于点(0,0) 时 2  2 2 2 2 4 2 4 2 4 4 ( , ) (0,0)      0 0 1 lim lim lim x y x x  2 y x  x y x y x x  Æ x y Æ x y Æ x x = × = = = + + + ． 因此，函数 f (x, y)在(0,0) 处无极限． 2．二元函数的极限性质与运算法则 由于多元函数的极限定义与一元函数的极限定义本质上是一样的，所以一元函数的极限的一些性 质和运算法则对于多元函数也是成立的．例如：如果极限存在，其极限值是惟一的；无穷小量与有界 函数的乘积仍是无穷小量；若两个函数 f , g 的极限分别为 A,B ，则 f ± g ， fg ， f g 的极限等于 A ± B ， AB ， A B(B ¹ 0) ，等等． 例 7  求下列极限： (1) 2 2 0 2 2 0 lim 1 1 x  y  x y  x y Æ Æ + + + - ； (2) 1 0 3 lim(1 ) x  x  y  xy Æ Æ + ； (3) 0 0 sin( ) limx  y  xy  Æ x Æ ； (4) 0 0 cos 1 limx  sin y  xy  Æ xy Æ - ． 解 (1) 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 0 0 ( )( 1 1) lim lim 1 1 ( 1 1)( 1 1) x x  y y  x y  x y x y  x y x y x y Æ Æ Æ Æ + + + + + = + + - + + - + + + 2 2 2 2 2 2 0 0 ( )( 1 1) lim x  y  x y x y  Æ x y Æ + + + + = + 2 2 0 0 lim( 1 1) x  y  x y Æ Æ = + + + 2 2 = 1+ 0 + 0 +1 = 2 ． (2) 0  3  3  1 1 1 lim 1 lim 3 0 0 0 0 3 3 3 3 lim(1 ) lim[(1 ) ] [lim(1 ) ] [lim(1 ) ] x  y  y  y  y  xy y  xy xy  x  x x x x  y y y y  xy xy xy xy e Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ + = + = + = + = ． (3) 0 0 0 0 sin( ) sin( ) lim lim lim 1 0 0 x xy y  y  xy xy  y  Æ x Æ xy Æ Æ = × = × = ． (4) 因为(x, y) Æ (0,0) ．则 xy Æ 0 ，而 2 cos xy -1 ~ -(xy) 2 ，sin xy ~ xy ，所以 2 0 0 0 0 0 0 cos 1 ( ) 2 1 1 lim lim lim 0 0 x sin x x  2 2 y y y  xy xy  xy  Æ xy Æ xy Æ Æ Æ Æ - - Ê ˆ = = - = - × = Á ˜ Ë ¯ ． 求多元函数的极限，仍可利用一元函数求极限的一些方法，例如利用两个重要极限求极限，利用 无穷小性质求极限． 与一元函数类似，二元函数 f (x, y)的极限与对应的序列{ ( , )} k k  f x y  的极限也有一定的关系，也有 判断二元函数极限存在的柯西准则． 定理 1  设二元函数 f (x, y)在 0 U (P ,d ) o 内有定义，则 0 0 0 P(x, y) Æ P (x , y ) 时， f (x, y) Æ a 的充分必 要条件是：对任意含于 0 U (P ,d ) o 且收敛于 0 0 0 P (x , y ) 的点列{( , )} k k  x y  ，都有 ( , ) ( ) k k  f x y Æ a k Æ +• ． 证明从略． 定理 2（柯西准则）设二元函数 f (x, y)在 0 U (P ,d ) o 内有定义．则 f (x, y)当 0 0 0 P(x, y) Æ P (x , y ) 时极 限存在的充要条件是："e > 0 ,  $d > 0 ，使 1 1 1 2 2 2 0 "P(x , y ),P (x , y )ŒU (P ,d ) o ，均有 1 1 2 2 | f (x , y ) - f (x , y )|< e ． 证明从略． 关于二元函数极限的定义、结论等都可推广到一般 n 元函数上去，这里不再列举．

213第一节多元函数的基本概念四、多元函数的连续性1.二元函数的连续性概念定义3设二元函数z=f(x,J)在U(P,)内有定义，且PeU(P,)，如果limf(x,y)=f(xo,y),(x,3)(t.0)则称二元函数==f(x,y)在点P(x,)处连续如果函数f(x,y)在开区域(或闭区域）D内的每一点连续，那么就称函数f(x,y)在D内连续，或者称f(x,y)是D内的连续函数.例9设f(x,y)=sinx，证明f(x,y)是R上的连续函数证设P(x,%)eR，由于sinx在处连续，故对Vs>0，38>0当x-x时，有sinx-sinxk.以上述作P的邻域U(P,)，则当P(x,)eU(P)时，显然|x-xo≤p(P,P)<，即f(xy)=sinx在点P(xo,%）连续由P的任意性知，sinx作为x,y的二元函数在R上连续定义4如果函数f(x,J)在点P(xo,%)不连续，则称P(xo,J%)为函数f(x,y)的间断点注1二元函数连续性概念可相应地推广到n元函数f(P）上去。注2二元函数不连续点可以是孤立点，也可以形成xOy平面上一条曲线例如，函数xyf(x,y)=+其定义域D=R2，O(0,0)是D的聚点：f(x,y)当(x,J)→(0,0)时的极限不存在，所以点O(0,0)是该函数的一个间断点.又如，函数1z = sinx2+y2 -1其定义域为D:x2++1，圆周C:x2+y2=1上的点都是D的聚点，而f(x,y)在C上没有定义，当然f(x,y)在C上各点都不连续，所以圆周C上各点都是该函数的间断点.这里顺便指出：如果函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内某些孤立点或者沿D内某些曲线没有定义，但在D内其余部分都有定义，那末这些孤立点或这些曲线上的点都是函数f(x,y)的不连续点，即间断点.2.二元连续函数的运算前面已指出，一元函数中关于极限的运算法则，对多元函数仍适用，据极限运算法则，易得二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数。可以证明二元连续函数的复合函数也是连续函数由二元多项式及一元基本初等函数经过有限次数的四则运算和复合运算且可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数由初等函数的连续性，我们可以得到下列结论：一切二元初等函数在其定义区域内是连续的．所谓定义区域是指包含在定义域内的区域.利用连续性可以反过来求一些多元函数的极限

第一节 多元函数的基本概念 213 四、多元函数的连续性 1．二元函数的连续性概念 定义 3  设二元函数 z = f (x, y) 在 0 U(P ,d ) 内有定义，且 0 PŒU (P ,d ) ，如果 0 0  0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) x y x y  f x y f x y Æ = ， 则称二元函数 z = f (x, y) 在点 0 0 0 P (x , y ) 处连续． 如果函数 f (x, y)在开区域(或闭区域) D 内的每一点连续，那么就称函数 f (x, y)在 D 内连续， 或者 称 f (x, y)是 D 内的连续函数． 例 9  设 f (x, y) = sin x ，证明 f (x, y)是 2 R  上的连续函数. 证 设 2 0 0 0 P (x , y )Œ R ，由于sin x 在 0 x  处连续，故对"e > 0 ，$d > 0 当 0 | x - x |< d 时，有 0 |sin x - sin x |< e ． 以上述d 作 P 0 的d 邻域 0 U(P ,d ) ，则当 0 P(x, y)ŒU (P ,d ) 时，显然 0 0 | x - x |£ r(P,P ) < d ，即 f (x, y) = sin x 在点 0 0 0 P (x , y ) 连续.由 P 0 的任意性知，sin x 作为 x, y 的二元函数在 2 R  上连续． 定义 4 如果函数 f (x, y)在点 0 0 0 P (x , y ) 不连续，则称 0 0 0 P (x , y ) 为函数 f (x, y)的间断点． 注 1  二元函数连续性概念可相应地推广到n 元函数 f (P ) 上去． 注 2  二元函数不连续点可以是孤立点，也可以形成 xOy 平面上一条曲线． 例如，函数 2 4 2 ( , ) x y  f x y  x y = + ， 其定义域 2 D = R ，O (0,0)是 D 的聚点． f (x, y)当(x, y) Æ (0,0) 时的极限不存在，所以点O (0,0)是该函 数的一个间断点． 又如，函数 2 2 1 sin 1 z  x y = + - ， 其定义域为 2 2 D : x + y ¹ 1，圆周 2 2 C : x + y =1上的点都是 D 的聚点，而 f (x, y) 在C 上没有定义，当然 f (x, y)在C 上各点都不连续，所以圆周C 上各点都是该函数的间断点． 这里顺便指出：如果函数 f (x, y)在开区域(或闭区域) D 内某些孤立点或者沿 D 内某些曲线没有定 义，但在 D 内其余部分都有定义，那末这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f (x, y)的不连续点，即 间断点． 2．二元连续函数的运算 前面已指出，一元函数中关于极限的运算法则，对多元函数仍适用，据极限运算法则，易得二元 连续函数的和、差、积、商 ( 分母不为零 ) 均为连续函数．可以证明二元连续函数的复合函数也是连 续函数． 由二元多项式及一元基本初等函数经过有限次数的四则运算和复合运算且可用一个式子表示的二 元函数称为二元初等函数． 由初等函数的连续性，我们可以得到下列结论：一切二元初等函数在其定义区域内是连续的．所 谓定义区域是指包含在定义域内的区域． 利用连续性可以反过来求一些多元函数的极限．

2147章多元函数微分学例10求lim+y+1解函数+是初等函数，它的定义域为D=(x,)|x0,y0)。因D不是连通的，故D不是区xy +1域．但D,=(x,y)Ix>0,y>0)是区域，且D,D，所以D,是函数f(x,y)的一个定义区域。因为P(1,2)eD，故lim+= (1,2)=3/2 .如果这里不引进区域D，也可以用下述方法判定函数f(x,y)在点P(1,2)处是连续的：因P是J(x,y)的定义域D的内点，故存在P的某一邻域U(P)CD，而任何邻域都是区域．所以U(P)是(x,y)的一个定义区域，又f(x,y)是初等函数，因此f(x,y)在点P处连续一般地，求limf(P)时，如果f(P)是初等函数，且P是f(P)的定义域的内点，则f(P)在点P处连续，于是limf(P)=f(P）3.封闭区域上多元连续函数的性质闭区域上的多元连续函数具有一元连续函数所具有的类似性质：性质1（最大值和最小值定理）有界闭区域D上的多元连续函数至少取得最大值和最小值各一次，即在D上至少有一点P和一点P，使得f(P）为最大值，f(P）为最小值性质2（介值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值.特别地，如果u是函数在D上的最小值和最大值之间的一个数，则在D上至少存在一点P，使f(P)=u.性质3（一致连续性定理）有界闭区域D上的多元连续函数必定一致连续，即若(P）在有界闭区域D上连续，那么>0，S>0，对VP,D，只要PP，都有If(P)-f(P)成立

214 7 章 多元函数微分学 例 10  求 1 2 limx  1 y  x y  Æ xy Æ + + ． 解 函数 1 x y  xy + + 是初等函数，它的定义域为 D ={(x, y)| x ¹ 0, y ¹ 0}．因 D 不是连通的，故 D 不是区 域．但 1 D = {(x, y)| x > 0, y > 0} 是区域，且 D1 à D ，所以 D 1 是函数 f (x, y) 的一个定义区域．因为 0P (1,2)Œ D ，故 1 2 lim (1,2) 3 2 x  y  x y  f  Æ xy Æ + = = ． 如果这里不引进区域 D 1 ，也可以用下述方法判定函数 f (x, y) 在点 0P (1,2) 处是连续的:因 P 0 是 f (x, y) 的定义域 D 的内点，故存在 P 0 的某一邻域 0 U(P ) à D ，而任何邻域都是区域．所以 0 U(P ) 是 f (x, y)的一个定义区域，又 f (x, y)是初等函数，因此 f (x, y)在点 P 0 处连续． 一般地，求 0  lim ( ) P P  f P Æ 时，如果 f (P ) 是初等函数，且 P 0 是 f (P ) 的定义域的内点，则 f (P ) 在点 P 0 处 连续，于是 0  0 lim ( ) ( ) P P  f P f P Æ = ． 3．封闭区域上多元连续函数的性质 闭区域上的多元连续函数具有一元连续函数所具有的类似性质： 性质 1（最大值和最小值定理）有界闭区域 D 上的多元连续函数至少取得最大值和最小值各一次， 即在 D 上至少有一点 P 1 和一点 P 2 ，使得 1 f (P ) 为最大值， 2 f (P ) 为最小值． 性质 2 （介值定理）在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取得两个不同的函数值，则 它在 D 上取得介于这两个值之间的任何值．特别地，如果u 是函数在 D 上的最小值和最大值之间的一 个数，则在 D 上至少存在一点 P ，使 f (P) = u ． 性质 3  （一致连续性定理）有界闭区域 D 上的多元连续函数必定一致连续，即若 f (P ) 在有界闭 区域 D 上连续，那么"e > 0 ，$d > 0 ，对 1 2 "P,P Œ D ，只要 P1P2 | |< d ，都有 1 2 | f (P) - f (P )|< e 成立．

215第二节，多元函数的偏导数第二节多元函数的偏导数在一元函数中，我们由函数的变化率问题引入了一元函数的导数概念：对于二元函数，虽然也有类似的问题，但由于自变量多了一个，问题将变得复杂得多，这是因为，在xOy平面上，点P(xo,y%)可以沿着不同方向变动，因而函数f(x,y)就有沿着各个方向的变化率，在这里，我们仅限于讨论当点P(xo,%)沿着平行x轴和平行y轴这两个特殊方向变动时，函数f(x,y)的变化率问题，即固定y仅x变化时和固定x仅y变化时，函数f(x,y)的变化率问题。这实际上是把二元函数作为一元函数来对待讨论变化率问题。这就是下面要讨论的偏导数问题，一、偏导数的定义1．偏导数定义定义1设函数==f(x,y)在P(xo,J%)的某邻域内有定义，如果当点P沿着平行于x轴的方向移动到点P(x+△r,y%)时(图7-9)，则相应的函数增量A= f(xo +Ax, yo)-f(xo, yo)称为函数f(x,y)在点P(xo,%)关于x的偏增量如果当点P沿着平行于的方向移动到点P(xo,+Ay)时（图7-9)，则相应的函数增量, = f(xo,+Ay)-f(xo, yo)称为函数f(x,y)在点P(xo,%)关于y的偏增量ytP(xaJo+An)Jo+AyP(x,+Ar,Jo)P(xyo)7+AX图7-9类似一元函数导数概念，我们定义偏导数如下定义2设函数==f(x,J)在点(xo,J%)的某一邻域内有定义，如果极限管水有f(xo+Ax,yo)-f(xoyo)Ar存在，则称此极限为函数==f(x,y)在点（x,y)处对x的偏导数，记作Ozf(xo,yo),ax二*=%如果极限Az,f(xo,yo +Ay)-f(xo,yo)=limimoAy4r->0Ay存在，则称此极限为函数z=f(x,J)在点（xo,y)处对y的偏导数，记作azJ,(xo,yo),知ay=0

第二节 多元函数的偏导数 215 第二节 多元函数的偏导数 在一元函数中，我们由函数的变化率问题引入了一元函数的导数概念．对于二元函数，虽然也有 类似的问题，但由于自变量多了一个，问题将变得复杂得多．这是因为，在 xOy 平面上，点 0 0 0 P (x , y ) 可以沿着不同方向变动，因而函数 f (x, y) 就有沿着各个方向的变化率． 在这里，我们仅限于讨论当 点 0 0 0 P (x , y ) 沿着平行 x 轴和平行 y 轴这两个特殊方向变动时，函数 f (x, y)的变化率问题，即固定 y 仅 x 变化时和固定 x 仅 y 变化时，函数 f (x, y) 的变化率问题．这实际上是把二元函数作为一元函数来对 待讨论变化率问题．这就是下面要讨论的偏导数问题． 一、偏导数的定义 1．偏导数定义 定义 1  设函数 z = f (x, y) 在 0 0 0 P (x , y ) 的某邻域内有定义，如果当点 P 0 沿着平行于 x 轴的方向移动 到点 1 0 0 P(x + Dx, y ) 时(图 7­9)，则相应的函数增量 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x  Dz = f x + Dx y - f x y 称为函数 f (x, y)在点 0 0 0 P (x , y ) 关于 x 的偏增量．如果当点 P 0 沿着平行于的方向移动到点 2 0 0 P (x , y + Dy) 时(图 7­9)，则相应的函数增量 0 0 0 0 ( , ) ( , ) y  Dz = f x y + Dy - f x y 称为函数 f (x, y)在点 0 0 0 P (x , y ) 关于 y 的偏增量． 图 7­9  类似一元函数导数概念，我们定义偏导数如下 定义 2  设函数 z = f (x, y) 在点 0 0 (x , y ) 的某一邻域内有定义，如果极限 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x  lim x x  z f x x y f x y  D Æ x D Æ x D + D - = D D 存在，则称此极限为函数 z = f (x, y) 在点 0 0 (x , y ) 处对 x 的偏导数，记作 0 0 ( , ) x  f x y  ， 0 0 x x  y y  z  x = = ¶ ¶ ， 0 0 x x x  y y  z = = ． 如果极限 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim y  y y  z  f x y y f x y  D Æ y D Æ y D + D - = D D 存在，则称此极限为函数 z = f (x, y) 在点 0 0 (x , y ) 处对 y 的偏导数，记作 0 0 ( , ) y  f x y  ， 0 0 x x  y y  z  y = = ¶ ¶ ， 0 0 y x x  y y  z = = ．