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第3章 第四节函数的单调性与及其判别 一、函数的单调性概念 二、曲线单调性的判定法
函数单调性的判定法一定理1.设函数f(x)在开区间I内可导，若f(x)>0(f'(x)0,xI,任取xi,x2 EI (xi05e(xi,x2)CI故f(xi）<f(x2.这说明f(x)在I内单调递增证毕目录上页下页返回结束机动
一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设函数 若 ( f (x) 0), 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 0 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 证毕
例1.确定函数 f(x)=2x3 -9x2+12x-3的单调区间解: f(x)= 6x2 -18x+12 =6(x-1)(x-2)令f(x)=0,得x=1,x=21(-8,1)(1.2)2(2,+80x福十f'(x)f(x)V故f(x)的单调增区间为(-0,1),(2,+)f(x)的单调减区间为(1,2)1 2 x目录上页下页返回结束机动
例1. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x = 1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 (−,1), (2, + ); 的单调减区间为 (1, 2). 1 2 O x y 1 2
说明：单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点D例如, y=/x?,xE(-0,+8)y=x33/xOX=8x=0yt2）如果函数在某驻点两边导数同号则不改变函数的单调性例如, y=x3,xE(-80,+o0)xy'= 3x2lx=0 = 0目录上页下页返回结束机动
y O x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y = x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y O x 3 y = x
2sinx元例2.证明时，成立不等式0<x≤一2元x2sinx证： 令 f(x)=元x儿儿上可导，且则f(x)在(0,)上连续，在(0证cOSxx·cosx-sinx(x-tanx)<0f'(x)=xXtan x元因此f(x)在(0=)内单调递减21又f(x)在"处左连续,因此f(x)≥f(")=2sinx元从而(OXE元x目录下页返回结束机动上庭明
例2. 证明 时, 成立不等式 证: 令 , π sin 2 ( ) = − x x f x 2 cos sin ( ) x x x x f x − = ( tan ) cos 2 x x x x = − 1 tan x x 0 从而 因此 且 证 证明
一、函数的单调性概念几何分析：在[a,b区间内几何分析：在[a,b]区间内tanα= f'(x)≤0tanα=f(x)≥0曲线是上升的，函数f(x）曲线是下降的，函数f(x)为增函数为减函数目录上页返回结束机动下页
几何分析：在[a,b]区间内 tan = f '( x ) 0, . ( ) 为增函数 曲线是上升的，函数f x tan = f ' ( x ) 0, 几何分析：在[a,b]区间内 . ( ) 为减函数 曲线是下降的，函数 f x 一、函数的单调性概念
二、函数单调性的判定法设函数f(x）在a,bl上连续，在（a,b）内定理1可导，如果在(a,b)内 f(x)≥0,则函数=f(x)在(1)[a,b]上单调增加;(a,b)内f(x)<0,则函数y=f(x)在(2)如果在[a,b]上单调减少；此判定方法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间)，结论也成立，在[a,b]上任取两点Xi,x2(xi<x2)，则f(x)证明上页目录下页返回结束机动
二、函数单调性的判定法 定理1 设函数 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，在 ( , ) a b 内 可导， (1) (2) 如果在 ( , ) a b 内 f x ( ) > 0, 则函数 y f x = ( ) 在 [ , ] a b 上单调增加； 如果在 ( , ) a b 内 f x ( ) < 0, 则函数 y f x = ( ) 在 [ , ] a b 上单调减少； 此判定方法中的闭区间换成其他各种区间 (包括无 穷区间)，结论也成立. 证明 在[ , ] a b 上任取两点 1 2 1 2 x x x x , ( < ), 则 f x( )
在[X,X2]上满足拉格朗日中值定理条件，于是f(x2)- f(xi)= f()(x2 -xi), (xi0,所以f(x2)-f(x)= f'()(x2 -xi)>0,即f(xi)<f(x2),因此 f(x)在[a,b]上单调增加同理,如果 f(x)在(a,b)内'(x)<0,则 f()<0,于是f(x2)-f(xi) =f()(x2 -x1)<0,即 f(xi)≥f(x2).因此 f(x)在[a,b]上单调减少上页目录下页返回结束机动
在 1 2 [ , ] x x 上满足拉格朗日中值定理条件，于是， − − 2 1 2 1 f x f x f ( ) ( ) = ( )( ), ξ x x 1 2 ( 0, ξ 所以 − − 2 1 2 1 f x f x f ( ) ( ) = ( )( ) > 0, ξ x x 即 1 2 f x f x ( ) 0 时， 同理，如果 f x( ) 在 ( , ) a b 内 f x ( ) ( ). 因此 f x( ) 在 [ , ] a b 上单调减少．
注意：用 f(x)=0和f(x)不存在的点来划分函数的定义区间，就能保证f（x）在各个部分区间内保持因而函数f（x）在每个部分区间上单调固定符号，例1判断函数y=x-sinx在[0,2元]上的单调性因为在(0,2元）内,有解国y=1-cosx>0所以y=x一sinx在[0,2元]上的单调增加例2讨论函数=e-x-1的单调性，因为的定义域为（-8,+)，且y=e-1解国上页目录下页返回结束机动
固定符号， 注意：用 f x ( ) = 0 和 f x ( ) 不存在的点来划分函 数的定义区间，就能保证 f x ( ) 在各个部分区间内保持 因而函数 f x( ) 在每个部分区间上单调. 例1 判断函数 y x x = −sin 在 [0,2 ] π 上的单调性． 解 因为在 (0,2 ) π 内， y x = 1 > 0, − cos 所以 y x x = −sin 在 [0,2 ] π 上的单调增加． 例2 讨论函数 = 1 − − x y e x 的单调性． 解 因为 y 的定义域为 ( ,+ ), − 且 = 1. − x y e 有
又在（-80,0)内，有 y=ex-10,所以 =e-x-1 在[0,+o）上单调增加，而在(-80,01上单调减少.例3确定函数=2x3-9x2+12x-3 的单调区间.因为的定义域为（-8,+8)，且解y' = 6x2 -18x +12 =6(x -1)(x-2).令 J'=0，解之得,xi=1,x2 =2.在(-0,l)内，有 y'>0;在(1,2)内，有 '<0;上页目录下页返回结束机动
又在 ( ,0) − 内，有 = 1 0, − x y e 所以 = 1 − − x y e x 在 [0,+ ) 上单调增加， 而在 ( ,0] − 上单调减少． 例3 确定函数 − − 3 2 y x x x = 2 9 +12 3 的单调区间． 解 因为 y 的定义域为 ( ,+ ), − 且 − 2 y x x = 6 18 +12 = 6( 1)( 2). x x − − 令 y = 0, 解之得， x x 1 2 = 1, = 2. 在 ( ,1) − 内，有 y > 0; 在(1,2) 内，有 y < 0;