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第4章 第三节 分部积分法 一、分部积分公式 二、应用分部积分法的关键 三、公式应用举例
一、分部积分公式由导数公式（uv）=uv+uv积分得：uv=[u'vdx+[uv'dx,[uv'dx = uv- f u'vdx,分部积分公式或J udv= uv-f du,目录上页下页返回结束机动
一、分部积分公式 由导数公式 积分得: 分部积分公式 或 ( ) = + , uv u v uv uv u vdx uv dx = + , − uv dx uv u vdx = , − udv uv vdu =
例1.求xcosxdx.解：令u=x, V=cosx,则u=1,v=sinx,所以[ xcosxdx = xsinx -J sinxdx=xsinx+cosx+C[x' sinxdx?思考：如何求提示:令u=x2，V=sinx，则[ x’sinxdx = -x-cosx +2[ xcosxdx目录上页下页返回结束机动
例1. 求 解: 令 则 思考: 如何求 提示: 令 则 = sin x x 所以 = sin + cos + . x x x C x xdx cos . u x = , v x = cos , u = 1, v x = sin , x xdx cos − sinxdx 2 x xdx sin ? = 2 u x , v x =sin , 2 x xdx sin − 2 = cos x x +2 cos x xdx =
二、应用分部积分法的关键应用分部积分法的关键是恰当选取u及v（或d选取时要考虑以下两点（原则）1）容易求得；2】[u'vdx 比『uv'dx 容易计算选取u及（或d）的一般方法把被积函数视为两个函数之积，按“反对幂三指反：反三角函数的顺序，将前者选为u，后者选为对：对数函数幂幂函数不.但注意反三角函数和指：指数函数三：三角函数作为 选取.上页目录下页返回结束机动
二、应用分部积分法的关键 容易求得 ; 容易计算 . uv dx 2) u vdx 比 选取时要考虑以下两点 应用分部积分法的关键是恰当选取 u 及 v ( 或 dv). ( 原则 ). 选取 u 及 v( 或 dv) 的一般方法 把被积函数视为 ： 但注意反三角函数和 作为 v 选取． u, 后者选为 v . 按“反对幂三指” 将前者选为 两个函数之积 , 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数 的顺序， 不 1)
三、公式应用举例例2求「xlnxdx.解 令u=lnt,V=x, 则u'==,v=}x，所以Inxxdxxlnxdxx2-+0Inx-目录上页下页返回结束机动
三、公式应用举例 令 则 所以 例2 求 解 x xdx ln . u x = ln , v x = , , 1 u = x 1 2 = 2 v x , x xdx ln 1 2 = ln 2 x x − 12 xdx − 1 1 2 2 = ln + . 2 4 x x x C
例3.求xarctanxdx解 令u=arctanx,v=x,则所以arctanxxarctanxdxOdx7arctanx1+x-arctanx)+CarctanxX目录上页下页返回结束机动
例3. 求 解 令 则 所以 u x = arctan , v x = , 1 2 = arctan 2 x x 1 2 = arctan 2 x x − − 1 ( arctan ) + . 2 x x C − − 2 1 1 (1 ) 2 1 + dx x x xdx arctan 1 2 = arctan 2 x x − 2 2 12 1 +x dx x 2 1 = 1 + u , x 1 2 = 2 v x , x xdx arctan
例4.求「e"sinxdx.解 令u=sinx,v'=e则u'=cosx，v=e,所以[e'sinxdx=je'"sinx -fe cos xdx再令u=cosx, v=ex,则u=-sinx, y=exe"sinx -e" cosx -e'sinxdx故[e'sinxdx=(sinx -cosx) + C.22说明：也可设u=e,v=sinx，但两次所设类型必须一致目录上页下页返回结束机动
例4. 求 则 再令 则 故 说明: 也可设 但两次所设类型必须 一致 . 解 令 u x = sin , v e = x , u x = cos , v e = x , 所以 sin x e xdx= sin x e x − cos x e xdx u x = cos , = , x v e u x = s − in , = , x v e = sin x e x − cos x e x − sin x e xdx sin x e xdx= cos − 1 (sin ) + . 2 x e x x C = n , , =si x u e v x sin . x e xdx
例5. 求arccosxdx.解令u=arccosx，=1,则1所以arccosxdx = xarccosxA=xarccosxC=xarccosx-1目录上页下页返回结束机动
例5. 求 解 令 u x = a r c c o s , v = 1 , 则 − − 2 1 = 1 u , x v x = , 所以 cos arc xdx = arc x x cos − 2 + 1 x dx x = arc x x cos − − − 2 2 1 1 (1 ) 2 1 d x x = arc x x cos − − 2 1 + . x C
Incosx例6.求2COSX则解 令u=lncosx,cos-xu =-tanx,v= tanx,所以Incosx = tan x· Incosx +f tan’ xdxdxcos? x= tan x ncos x +[(sec? x -1)dx=tanx·lncosx+tanx-x+C上页目录下页返回结束机动
例6. 求 解 令 则 所以 cos cos 2 ln . x dx x cos cos 2 ln x dx x = ln tan cos x x = ln tan cos x x = ln + + . tan cos tan x x x x C − sec − 2 + ( 1) x dx tan 2 + xdx cos 21 v = , x u x = lncos , u x v x = = −tan tan ,
Vxdx.例7.求解 令Vx=t,则 x=t2,dx=2tdt，所以[e x dx = 2] te' dt令u=t, y=e= 2(tet -et)+C=2(Vx-1)eVx +C.目录上页下页返回结束机动
例7. 求 则令 解 令 x e dx u t = , x t = , 2 x t = , dx tdt = 2 , 所以 = 2 t te dt = t v e = 2( ) + − t t te e C = 2( 1) + . − x x e C