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第9章 第三节 三重积分 一、三重积分的概念及性质 二、三重积分的计算
一、三重积分的概念及性质1.引例现在我们考虑求空间物体的质量问题设一物体占有空间区域 Q，在中每一点(x,y,z)处的体密度为u(x,y,z),，其中ux,y,z是？上的正值连续函数.试求该物体的质量M.类似二重积分解决问题的思想，采用解决方法：“分割,近似代替,近似求和,取极限将空间区域任意分割成(1)分割n个小闭区域2Ayi,Av2,..,AVn'目录上页下页返回结束机动
一、三重积分的概念及性质 1.引例 现在我们考虑求空间物体的质量问题． 设一物体占有空间区域 Ω, 连续函数． 在 Ω 中每一点 ( , , ) x y z 处的体密度为 μ( , , ), x y z 其中 μ( , , ) x y z 是 Ω 上的正值 试求该物体的质量 M. 类似二重积分解决问题的思想, 采用 “分割,近似代替,近似求和,取极限”. 解决方法: (1) 分割 将空间区域 Ω 任意分割成 n 个小闭区域 Δ 1 2 ,Δ , ,Δ , n v v v
其中△i既表示第i个小闭区域，也表示它的体积。(2)近似代替在每个小闭区域2△Avi上任取一点（i,ni,Si)，当小闭Avi区域△i充分小时，密度可以近似(Ei,i,Si)看成不变的，且等于在点处的密度u(Ei,ni,Si).△yi的质量△m;可以因此，每个小闭区域近似地表示为△m;～u(i,li,Si)Avi(3)近似求和 n个小闭区域的质量之和，即物体的质EAmi ~ZM=量就近似等于和式u(Ei,li,Si)Avii-1i=1目录上页返回结束机动下页
其中 Δ i v 既表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积． Δ i v ( , , ) i i i ξ η ζ (2) 近似代替 在每个小闭区域 Δ i v 上任取一点 ( , , ), i i i ξ η ζ 当小闭 区域 Δ i v 充分小时， 看成不变的， 密度可以近似 且等于在点处的密度 ( , , ). μ i i i ξ η ζ 近似地表示为 因此，每个小闭区域 Δ i v 的质量 Δmi 可以 Δ ( , , )Δ . mi i i i i μ ξ η ζ v (3) 近似求和 量就近似等于和式 n 个小闭区域的质量之和，即物体的质 1 = Δ n i i = M m 1 ( , , )Δ . n i i i i i = μ ξ η ζ v
(4)取极限当各小闭区域直径中的最大值几趋于零时，对上述和式取极限即得所求物体质量为nM =limu(Si,ni,Si)Avi2→0 i=1类似于二重积分定义，给出三重积分定义目录上页下页返回结束机动
(4) 取极限 lim 0 1 ( , , )Δ . n i i i i λ i = μ ξ η ζ v → M = 当各小闭区域直径中的最大值 对上述和式取极限即得所求物体质量为 λ 趋于 零时， 类似于二重积分定义，给出三重积分定义．
2.三重积分的定义定义设f(x,y,z)是空间有界闭区域 上的有界函数,将任意分成 n个小闭区域△,△v2,,△vn,其中△v;既表示第i个小闭区域，又表示它的体积.在每个△vi中任取一点(Si,ni,Si)作积f(i,Ni,Si)△vi(i=1,2,,n),nMJf(Si,ni,Si)Avi.再作和如果当各小闭区域中直径i=1最大值2→0时这和式的极限存在，则称此极限为函数JI (x,y,z)dv,记作f(x,y,z)在闭区间Q上的三重积分.2即目录上页下页返回结束机动
2.三重积分的定义 定义 数, 将 Ω 任意分成 n 个小闭区域 设 f x y z ( , , ) 是空间有界闭区域 Ω 上的有界函 Δ 1 2 ,Δ , ,Δ , n v v v Δ i v 既表示第 i 个小闭区域, 又表示它的体积. 在每个 中任取一点 ( , , ) i i i ξ η ζ 作积 f ( , , ) ξi i i i η ζ Δv 再作和 1 ( , , )Δ . n i i i i i = f ξ η ζ v 最大值 λ → 0 时这和式的极限存在， f x y z ( , , ) 在闭区间 Ω 上的三重积分. 其中 ( = 1, 2, , ), i n 如果当各小闭区域中直径 则称此极限为函数 Δ i v 记作 Ω f x y z dv ( , , ) , 即
f(si,ni,Si)Avi,[J f(x, y,z)dy =>lim福2→>02其中f(x,y,z)称为被积函数；f(x,y,z)dv称为被积表达式2称为积分区域x,y,z称为积分变量dv称为体积元素nf(i,ni,i)Avi 称为积分和i=1目录上页下页返回结束机动
lim 0 Ω 1 ( , , ) = ( , , )Δ , n i i i i λ i = f x y z dv f ξ η ζ v → 其中 dv 称为体积元素. f x y z ( , , ) 称为被积函数; f x y z dv ( , , ) 称为被积表达式; Ω 称为积分区域; 称为积分变量; x y z , , 称为积分和． 1 ( , , )Δ n i i i i i = f ξ η ζ v
但有物理由于三元函数f(x,y,z）没有几何意义，意义.物体的质量可用密度函数 μ(x,y,z)在区域 上的三重积分表示，即M = JJ μu(x, y,z)dv.2若函数在区域上连续，则三重积分存在特别指出，二重积分的一些性质可相应地移植到设f(x,y,z)在有界闭域 三重积分．例如中值定理上连续,V为 的体积，则存在（,n,)e,使得0f(x,,z)dv = f(E,n,s)V.2上页目录下页返回结束机动
由于三元函数 f x y z ( , , ) 没有几何意义， 但有物理 意义．物体的质量可用密度函数 的三重积分表示， μ( , , ) x y z 在区域 Ω 上 即 Ω M = ( , , ) . μ x y z dv 若函数在区域上连续，则三重积分存在． 特别指出，二重积分的一些性质可相应地移植到 三重积分．例如中值定理. 使得 设 f x y z ( , , ) 在有界闭域 Ω 上连续, V 为 Ω 的体积, 则存在 ( , , ) ξ η ζ Ω, Ω f x y z dv ( , , ) = ( , , ) . f ξ η ζ V
二、三重积分的计算计算三重积分计的基本方法是将三重积分化为三次积分计算，下面利用空间直角坐标系、柱面坐标系与球面坐标系分别来讨论将三重积分化为三次积分的方法，1.利用直角坐标计算三重积分在三重积分的定义中，对空间的有界闭区域的划分是任意的，如果在空间直角坐标系中分别用平行于三个坐标面的平面去分割空间区域，1除了靠边界上可能出现则不规则的子域外，其余的子域都是长方体.设小长方体△的边长分别为△x,△y,△z,则小长方体体积为目录上页结束机动下页返回
二、三重积分的计算 面坐标系分别来讨论将三重积分化为三次积分的方法． 计算三重积分计的基本方法是 将三重积分化为三次 积分计算，下面利用空间直角坐标系、柱面坐标系与球 1. 利用直角坐标计算三重积分 在三重积分的定义中，对空间的有界闭区域 分是任意的， Ω 的划 如果在空间直角坐标系中分别用平行于三 个坐标面的平面去分割空间区域 Ω, 出现则不规则的子域外，其余的子域都是长方体． 除了靠边界上可能 设小长 方体 Δv 的边长分别为 Δx y z ,Δ ,Δ , 则小长方体体积为
Av = AxAyaz.因此在直角坐标系中有时也把2的体积元素dv记作dv = dxdydz,而把三重积分记作[J f(x,y,z)dvy =f(x,y,z)dxdydz.22在直角坐标系下，把三重积分计算化为三次积分计算，通常有投影法和截面法两种方法，方法1·投影法（“先一后二”目录上页下页返回结束机动
dv dxdydz = , Δv x y z = Δ Δ Δ . 因此在直角坐标系中有时也把 Ω 的体积元素 dv 记作 而把三重积分记作 Ω Ω f x y z dv f x y z dxdydz ( , , ) = ( , , ) . 在直角坐标系下，把三重积分计算化为三次积分计 算，通常有投影法和截面法两种方法． 方法1 . 投影法 (“先一后二”)
设有界闭区域的下上932曲面分别为S1 : z = zi(x,y),S2 : z = z2(x, y),其中 (x,),2(x,)都是连续(x,)y=y2(x)J=JI(x)函数,且 (x,y)≤z2(x,y)Dxy，过作Q在xoy平面上的投影，得有界闭区域Dxy内任一点（x,）作平行于z轴的直线，这条直线通过曲面 Si穿入Q内，然后通过曲面 S2从Ω内穿出，穿入和穿出点的坐标分别为 i(x,J)和 z2(x,y)目录上页下页返回结束机动
o y x z Ω S1 S2 a b Dxy 1 y = y x( ) 2 y = y x( ) ( , ) x y 1 z 2 z 设有界闭区域 Ω 1 1 S z z x y : = ( , ), 2 2 S z z x y : = ( , ), 其中 1 2 z x y z x y ( , ), ( , ) 都是连续 曲面分别为 函数， 1 2 且 z x y z x y ( , ) ( , ). 的下上 作 Ω xoy 平面上的投影，得有界闭区域 , 在 Dxy 过 Dxy 内任一点 ( , ) x y 作平行于 z 轴的直线，这条直线通 过曲面 S1 穿入 Ω 内，然后通过曲面 S2 从 Ω 内穿出， 穿入和穿出点的坐标分别为 1 z x y ( , ) 2 和 z x y ( , )