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第6章 *三、向量的混合积 第二节 数量积 向量积 *混合积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积
两向量的数量积一、引例.设一物体在常力F作用下，沿与力夹角为0位移为，则力F所做的功为的直线移动，W =|F 3|cos 01.定义0M2MS设向量a.b的夹角为0，称记作a.b[aib|cos0W=F.s为a与b的数量积（点积)目录上页下页返回结束机动
M1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动, W = 1. 定义 设向量 的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 F s cos W F s = M 2 a b 为a与b的 a , b s
当a+o时,b在a上的投影为记作1 6|cos 0:Prj.b610故a.b=aPrjaba同理，当60时a.b=bPrjsaa+0,6+02.性质则a.b=0(1) a.a=al211(2）,6为两个非零向量,则有元a.b=0alb(a,b)=12目录上页下页返回结束机动
b 在 a 上的投影为 记作 故 同 理 ,当 0 时, b 2. 性质 为两个非零向量, 则有 b a b Prj a b = a b a Prj (1) a a = (2) a , b a b = 0 ⊥ 则 a b = 0 a 0 , b 0
3.运算律(1）交换律 a.b=b.aba结合律（,μ为实数）(2)(a+b)(aa).b=a.(ab)=a(a.b)c(aa)·(μb) =z(a.(μb))Prjea Prj.b=πμ(a.b)Prje(a+b)（a+b)c=a.c+b.c(3）分配律事实上，当=时，显然成立；当0时(a+b) =|Prj,(a+b)=|l(Prjea+ Prj:)=|Prjea+cPrjeb =a. +b.c目录上页下页返回结束机动
3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 a ( b) ( a ) ( b ) = ( a ( b ) ) = ( a b ) (3) 分配律 事实上, 当 c = 0 时, 显然成立 ; 当c 0时 c ( a + b ) b a b c a Prj c Prj ( a + b ) c ( a b ) c = c Prj + = c ( a b ) c c Pr j + Pr j a c = c Prj b c + c Prj = a c + b c Prj ( a b ) c +
例1.证明三角形余弦定理c?= a?+ b2 - 2abcos0-6证：如图.设CB=a, CA=b, AB=cC则ac=a-bBz =(a-b)(a-b)=a.a +b.b-2a.b=+-2al|cos0α=|a],b=|b],c=c2 =a?+b?-2abcos0目录上页下页返回结束机动
A B C a b c 例1. 证明三角形余弦定理 2 cos 2 2 2 c = a + b − a b 证: 则 2 cos 2 2 2 c = a + b − a b 如图 . 设 C B = a , C A = b , AB = c = 2 c ( a − b ) ( a − b ) = a a + b b − 2 a b 2 = a 2 + b − 2 a b cos a = a , b = b , c = c
4.数量积的坐标表示设a=ai+ayj+a.k,b=bi+bj+bk,则a.b=(a,i+a, j+a. k).(b,i+b, j+b,k).i=j.j=k.=l,j=jk-ki=0a.b=axbx +a,by+a.b.两向量的夹角公式当a,b为非零向量时,由于a.=lalcos,得a,bx +a,b, +a.b.a.bcosO=-albb:+b,+b,+a.0目录上页下页返回结束机动
4. 数量积的坐标表示 设 则 = 0 x x y y z z = a b + a b + a b 当 为非零向量时, cos = = x x y y z z a b + a b + a b 2 2 2 x y z a + a + a 2 2 2 x y z b + b + b 由于 a b cos a a i a j a k , = x + y + z b b i b j b k , = x + y + z ( a i + a j + a k ) x y z ( b i b j b k ) x + y + z i j = j k = k i a b a b 两向量的夹角公式 , 得
例2. 已知三点 M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),求ZAMB解: MA=(1, 1, 0), MB =(1, 0, 1)BCOS LAMB=_MA.MBM则MAMB11+0+0V2V22元故LAMB=3目录上页下页返回结束机动
M A = ( ), M B = ( ) = B M 例2. 已知三点 M (1,1,1) , A( 2 , 2 ,1) , B( 2 ,1 , 2 ) , AMB . A 解: 1, 1, 0 1, 0, 1 则 cos AM B = 1 + 0 +0 2 2 AM B = 求 M A M B MA MB 故
例3.设均匀流速为的流体流过一个面积为A的平面域，且与该平面域的单位垂直向量n的夹角为0求单位时间内流过该平面域的流体的质量P（流体密度为p).解: P=pA||cos0nπ为单位向量0A=pAvn单位时间内流过的体积Alcos 0目录上页返回结束机动下页
为 ) . 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度 例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 与该平面域的单位垂直向量 A 解: 单位时间内流过的体积 P = = A 且 的夹角为 v v v n 为单位向量
二、两向量的向量积引例.设0为杠杆L的支点，有一个与杠杆夹角为0的力F作用在杠杆的P点上，则力F作用在杠杆上的力矩是一个向量 M[M|=|00F|=|OP|Fsin6LPOP= F= M符合右手规则AQMIOPog=1oPsingMIFM目录上页下页返回结束机动
二、两向量的向量积 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 OQ = O P L Q 符合右手规则 = OQ F = OP F sin OP sin O P F M M ⊥ O P M 矩是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力 F o P F M M ⊥ F
1.定义设a，b的夹角为，定义方向：a,b且符合右手规则向量模:=alsin6称为向量a与b的向量积，记作c=axb(叉积)a引例中的力矩M=OP×Fc=axb思考：右图三角形面积a6axbS=b目录上页下页返回结束机动
1. 定义 定义 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , 设 a , b的夹角为 ， c c ⊥ a , c ⊥ b c = a b sin b a c 称 c 为向量 a 与 b 的 c = a b = a b 引例中的力矩 思考: 右图三角形面积 a b S＝