《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第7章 多元微积分学 第三节 全微分

第三节全微分第7章一元函数y=f(x）的微分Ay= Ax +o(△x)近似计算应用dy= f(x)Ax估计误差本节内容：一、全微分的定义二、全微分在数值计算中的应用下页返回

第7章 *二、全微分在数值计算中的应用 应用 第三节 全微分 一元函数 y = f (x) 的微分  y = Ax + o( x ) d y = f ( x )x 近似计算 估计误差 本节内容: 一、全微分的定义

全微分的定义一、全定义：如果函数z=f（x,y)在定义域D的内点（x，y）处全增量 △z=f(x+Ax,+Ay)-f(x,y)可表示成A△x +B Ay+o(p), p = /(Ax)~+(Ay)△Z=其中A,B不依赖于△x，△，仅与x，y有关，则称函数f(x,)在点(x,y)可微，VV+B称为函数 f(x,)在点(x,J）的全微分，记作dz = d f = A△x + B△j若函数在域D内各点都可微，贝则称此函数在D内可微目录上页返回结束机动下页

一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成  z = A x + B y + o (  ) , 其中 A , B 不依赖于 x ,  y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 f ( x, y ) 在点 (x, y) 的全微分, 记作 d z = d f = Ax + By 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 处全增量 则称此函数在D 内可微

由微分定义：lim △z = lim[(A△x + B△y)+ o(p)]= 0Ax->0p-0Ay-0得lim f(x+△x,y+Ay) = f(x,y)Ax-0Ay-0即函数z=f(x,y) 在点 (x,y) 可微函数在该点连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系(1）函数可微偏导数存在(2）偏导数连续函数可微福目录上页下页返回结束机动

(2) 偏导数连续  z = f ( x +  x , y +  y ) − f ( x , y ) lim  ( ) ( )  0   = Ax + B y + o → 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → 由微分定义 : 得 z y x   →  → 0 0 lim = 0 = f ( x, y ) 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即

若函数z=f(x,y)在点(x,)可微，定理1（必要条件）OZOZ必存在，且有则该函数在该点偏导数OxOOz02dzAx+AyOxay证：由全增量公式△z=A△+B△y+o（p）,令△y=0得到对 x的偏增量△xz= f(x + △x,y)-f(x,y) = A△x+o(Ax)OzXlimoxAx->0 △xaz0ZOz=B,因此有dz同样可证Ax+A1三ayOxay目录上页返回结束机动下页

定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 y y z x x z z     +   d = x z    同样可证 B, y z =   证: 由全增量公式 令  y = 0 , = Ax + o ( x ) 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 x +  x x 因此有 x zx x   =  →0 lim = A

注意：定理1的逆定理不成立，即偏导数存在函数不一定可微！xyx2+±0V反例：函数 f(x,y)=人0,rL12易知f (0,0)=f(0,0)=0，但Ax△yAz -[fx(0, 0)Ax + f,(0, 0)Ay] =(ax)? +(Ay)?AxAyAxAycV(Ax)? +(Ay)/ p(△x)? +(Ay)±o(p)[因此,函数在点（0,0）不可微目录上页下页返回结束机动

反例: 函数 f ( x, y ) = 易知 (0, 0) = (0, 0) = 0 , x y f f 但 z [ f ( 0, 0 ) x f ( 0, 0 ) y ]  − x  + y   o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 2 2 ( x) ( y) x y  +    = 2 2 ( x) ( y) x y  +    = 0 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: , 0 2 2 2 2 +  + x y x y x y 0, 0 2 2 x + y =

Oz02定理2（充分条件）若函数z=f(x,)的偏导数ax'ay在点（x，J）连续，则函数在该点可微分证:△z= f(x+△x, y+△y)-f(x,y)=[f(x+△x, y+Ay)- f(x, y+△y)+[f(x, y+Ay)- f(x,y))= fx(x+0Ax, y+Ay)Ax+f,(x, y+02Ay)Ay(0<01,02 <1)=[fx(x, y)+α]△x +[f,(x, y)+β]Aylim α =0, lim β=0△x-→0△x-0Ay-0Ay→0目录上页下页返回结束机动

= [ f ( x +  x , y +  y ) ] 定理2 (充分条件) y z x z     , 证：  z = f ( x +  x , y +  y ) − f ( x , y ) ( 0 , 1 ) 1 2     f x y x = [ x ( , ) + ]       f x y y y = f x ( x +  1 x, y +  y ) x + y ( , +  2 ) − f ( x, y +  y ) + [ f ( x, y +  y ) − f ( x , y ) ] f x y y + [ y ( , ) + ] 若函数 的偏导数 在 点 ( x, y ) 连 续 , 则函数在该点可微分.   lim 0 0 0 =  →  →  y x lim 0, 0 0 =  →  →  y x

AZ== fx(x, y)Ax+ f,(x, y)Ay+α△x+ βAylim α =0, lim β=0△x-→0△x-0Ay-0Ay-0αAx+βAy注意到≤α+β,故有pAz= fx(x, y)Ax+ f,(x, y)Ay+o(p)所以函数z=f(x,y)在点(x,J)可微目录上页下页返回结束机动

 z =  f x y x f x y y = x ( , ) + y ( , ) z f x y x f x y y  = x ( , ) + y ( , )       + x + y 所以函数 +   x +   y 在点 可微.       lim 0 0 0 =  →  →  y x lim 0, 0 0 =  →  →  y x 注意到 , 故有 + o( )

推广：类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题例如,三元函数 u= f(x,y,z)的全微分为auduOudu=△x+AV+1Oxz习惯上把自变量的增量用微分表示，于是uduoudx+du=+Ox0201d记作duu9du,du,d,u称为偏微分故有下述叠加原理du=d,u+d,u+d,u目录上页下页返回结束机动

 +   x x u 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 u = f ( x, y , z) d u = 习惯上把自变量的增量用微分表示, d u = 记作 故有下述叠加原理 u u u u x y z d = d + d + d 称为偏微分. z z u d   + uz d 的全微分为  +   y y u z z u    于是 u u u x y z d , d , d

z=ey在点（2,1）处的全微分例1.计算函数az810=rety=yety解：ayazOz2e2e-(2,1)0yl(2,1)ax=e?dx+2e?dy=e(dx+2dy)dz(2,1)yteyz的全微分例2.计算函数u=x+sin2解: du= l.dx+(icos+ zeyz )d y+yeyz dz目录上页下页返回结束机动

例1. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 解: =   x z 2 2 2 (2,1) , (2,1) e y z e x z =   =   例2. 计算函数 的全微分. 解: d u = y y ( cos ) d 2 2 1 + =   y z , x y ye x y xe y z z e

二、全微分在数值计算中的应用1.近似计算由全微分定义Az= fx(x,y)ax+ f,(x,y)ay+o(p)dz可知当△x及△以较小时，有近似等式Az= d z= fx(x,y)Ax+ fy(x,y)Ay（可用于近似计算：误差分析）f(x+△x,y+Ay)= f(x,y)+ fx(x,y)Ax+ f,(x,y)A)（可用于近似计算）目录上页下页返回结束机动

可知当 *二、全微分在数值计算中的应用 1. 近似计算 由全微分定义 z f ( x, y ) x f ( x, y ) y o(  ) x y  =  +  + f ( x +  x , y +  y ) f x y x f x y y x ( , ) + y ( , ) 较小时, z z f x y x f x y y   d = x ( , ) + y ( , ) d z 及 有近似等式:  f ( x, y ) + (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算)