第二节 微积分的基本公式第5章一、引例二、积分上限的函数及其导数三、牛顿一莱布尼兹公式下页返回
第5章 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼兹公式 一、引例 第二节 微积分的基本公式
一、引例在变速直线运动中，已知位置函数s(t)与速度函数v(t)之间有关系s'(t) = v(t)物体在时间间隔[T，T]内经过的路程为v(t)dt = s(T2) - s(T)T这里s(t)是v(t)的原函数这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性目录上页下页返回结束机动
一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: s (t) = v(t) 物体在时间间隔 内经过的路程为 ( ) d ( ) ( ) 2 1 2 1 v t t s T s T T T = − 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性
二、积分上限的函数及其导数定理1.若f(x)EC[a,b]l,则变上限函数f(x)YE=VΦ(x)=[,f(t)dt(x是f(x)在[a,b]上的一个原函数ObxaXE证：Vx,x+he[a,b],则有x+hΦ(x + h)-Φ(x)cx+hf(t)dt-f'f(t)dt )hnIx+hVf(t)dt=f(E) (x0上页目录下页返回结束机动
y = f ( x) a b x o y (x) x x + h 二、积分上限的函数及其导数 则变上限函数 = x a (x) f (t) d t 证: x , x + h [a , b] , 则有 h (x + h) − (x) h 1 = − + x a x h a f (t) d t f (t) d t + = x h x f t t h ( ) d 1 = f ( ) ( x x + h) h x h x h ( ) ( ) lim 0 + − = → lim ( ) 0 f h→ ( x) = = f ( x) 定理1. 若
说明：1）定理1证明了连续函数的原函数是存在的.同时为通过原函数计算定积分开辟了道路f'f(t)dt=-f(x)2）变限积分求导dxdp(x)·f(t)dt= f [p(x)lp'(x)dxa0p(x)drp(x)[a),f(t)dtf(t)dt+f(t)dt =dxJy(x)a= f [(x)]@'(x)- f [y(x)]y(x)目录上页下页返回结束机动
说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 变限积分求导: ( ) ( ) d d d x a f t t x = f [ ( x) ] ( x) 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . ( ) ( ) ( ) d d d x x f t t x = f [ ( x) ] ( x) − f [ ( x) ] ( x) + = ( ) ( ) ( ) d ( ) d d d x a a x f t t f t t x
dt000limcos.x例1. 求七->0o-cos~x(-sinx) =-lime解:原式2e2xx-0确定常数α,b，c的值,使例2.ax-sinx010lim=C (c±0)['ln(I+t)d tx00解:：x→0时,ax-sinx→0,c±0,b=0a-cosxa-cosx原式= lim= lim=C克x→0 In(1 + x2)X-0c,故 α=1.又由1-cosx～x2,得 =上页目录下页返回结束机动
( sin ) 2 cos e x x − − 例1. 求 解: 原式 0 lim → = − x 0 0 2x 2e 1 = 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使 解: b = 0. 原式 = c ≠0 , 故 a = 1. 又由 ～ , 得 . 2 1 c =
例3. 设f(x)在[0,+o0)内连续,且,f(x)>0,证明F(r)=Jotf(t)dt只要证Tof(t)dtF'(x)> 0在(0,+8)内为单调递增函数Of(x)/.f(t)dt-f(x)/~tf(t)dt证：F(x)=(Jf(t)dt)f(x)/。(x-t) f(t)dtf(x)· (x-)f(E)x>0(Jof(t)dt)?(Jef(t)dt )?(0<≤<x)F(x)在(O,+)内为单调增函数目录上页下页返回结束机动
= f x t f t t x ( ) ( ) d 0 − 例3. 证明 在 内为单调递增函数 . 证: ( ) 2 0 f (t) d t x x f x f t t x ( ) ( ) d 0 ( ) 2 0 f (t) d t x f x f t t x ( ) ( ) d 0 (x − t) 0 只要证 F ( x ) 0 = ( ) 2 0 f (t) d t x f (x) ( x − ) f ( ) x (0 x)
三、牛顿一莱布尼兹公式设F(x)是连续函数f(αx)在[a,b]上的一个原定理2.函数，则~f(x)dx = F(b)-F(a）（牛顿-莱布尼兹公式)根据定理1，（"f(x)dx是f(x)的一个原函数，故证：F(x)= J~f(x)dx +C令x=a，得C=F(a),因此(f(x)dx= F(x)- F(a)再令x=b,得记作bYb[F(x)]a=F(x)_f(x)dx= F(b)-F(a)a目录上页下页返回结束机动
三、牛顿 – 莱布尼兹公式 f (x) dx F (b) F (a) b a = − ( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 证: 根据定理 1, 故 F x f x x C x a = + ( ) ( ) d 因此 f (x) dx F (x) F (a) x a = − 得 记作 定理2. 函数 , 则
dx13例4.计算11+xV3dxV3解：arctan /3 -arctan(-1)arctanx二一-1X一7元元元312A例5.计算正弦曲线y=sinx在[0,元]上与x轴所围成的面积y=sinx·元解： A=sin xdx元元x福=-[-1-11=2=-COSx0目录上页下页返回结束机动
例4. 计算 解: x x x arctan 1 3 d 1 2 = + − 1 3 − = arctan 3 − arctan(−1) 3 = 12 7 = 例5. 计算正弦曲线 的面积 . 解: = 0 A sin x dx = − cos x 0 = −[−1−1] = 2 ) 4 ( − − y o x y = sin x
例6.汽车以每小时36km的速度行驶，到某处需要减刹车，问从开始刹速停车，设汽车以等加速度α=-5m正车到停车走了多少距离？解：设开始刹车时刻为t=0，则此时刻汽车速度36x1000Vo = 36(kmh )=(m)=10(m3600刹车后汽车减速行驶，其速度为v(t)=Vo +at =10-5t当汽车停住时,v(t)=0,即10-5t=0,得t=2(s)故在这段时间内汽车所走的距离为Jev(t)dt= f(10 - 5t)dt=[10t - t2 16=10(m)厂目录上页返回结束机动下页
例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , 速停车, 解: 设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度 10 ( ) s = m ( ) s m 3600 3 61000 = 刹车后汽车减速行驶 , 其速度为 当汽车停住时, 即 得 故在这段时间内汽车所走的距离为 = 2 0 s v(t) d t = − 2 0 (10 5t) d t 2 2 5 = 1 0t − t = 10 (m) 0 2 刹车, 问从开始刹 到某处需要减 设汽车以等加速度 车到停车走了多少距离?
内容小结1.微积分基本公式设 f(x)eC[a,b],且 F(x)= f(x),则有[’f(x)dx= f(E)(b-a) = F(E)(b-a)= F(b)- F(a)积分中值定理微分中值定理牛顿－莱布尼兹公式2.变限积分求导公式目录上页下页返回结束机动
内容小结 设 f ( x) C [a,b], 且 F ( x) = f ( x), 则有 1. 微积分基本公式 = f x x b a ( ) d 积分中值定理 = F ( )(b − a) = F (b) − F (a) 微分中值定理 f ( )(b − a) 牛顿 – 莱布尼兹公式 2. 变限积分求导公式