⻆角动量量耦合和Clebsch-Gordon系数（讲稿）

角动量耦合和Clebsch-Gordon系数

⻆动量耦合和 Clebsch-Gordon系数

e3JJTe2(6)(a)经典物理中，两个物体的角动量是作用在同一空间中因此总角动量等于各自角动量分量之和量子力学中，两个物体的角动量作用在不同的希尔伯特空间H12 = H1 ? H2

经典物理中，两个物体的⻆动量是作⽤在同⼀空间中， 因此总⻆动量等于各⾃⻆动量分量之和 量⼦⼒学中，两个物体的⻆动量作⽤在不同的 希尔伯特空间 H12 = H1 ⌦ H2 J⃗ 1 J⃗ 2 ⃗e3 ⃗e2 J⃗ 1 J⃗ 2 J⃗ ⃗e1 (a) (b)

e3JJTe2(a)(6)J=J12+iiJ=J+J[J1, J2] = 0[Ji, J] =[Jii+ J2i, J1i+ J2il =[J1i, Jii] +[J2i, J2i]iheijkJik+iheijkJ2k=iheijk(Jik+J2k)=二iheijkJk[J2, J] = 0

J ~ = J ~ 1 ⌦ ˆ I2 + ˆ I1 ⌦ J ~ 2 ⌘ J ~ 1 + J ~ 2 [J ~ 1, J ~ 2]=0 [Ji, Jj ]=[J1i + J2i, J1j + J2j ]=[J1i, J1j ]+[J2i, J2j ] = i~✏ijkJ1k + i~✏ijkJ2k = i~✏ijk (J1k + J2k) = i~✏ijkJk [J ~2, Jz]=0 J⃗ 1 J⃗ 2 ⃗e3 ⃗e2 J⃗ 1 J⃗ 2 J⃗ ⃗e1 (a) (b)

e3万Te(a)(6)[J2, J12, J2, J22][?, J2, J2, J2]耦合基矢因子化基矢[li1, j2, j, mi]][lj1,m1) [j2,m2) = [j1m1;j2m2]]ss

J⃗ 1 J⃗ 2 ⃗e3 ⃗e2 J⃗ 1 J⃗ 2 J⃗ ⃗e1 (a) (b) 因⼦化基⽮ {|j1, m1i ⌦ |j2, m2i ⌘ |j1m1; j2m2i} 耦合基⽮ {|j1, j2, j, mj i} θ L ⃗ S ⃗ (b) θ L ⃗ S ⃗ (a) θ L ⃗ S ⃗ (b) θ L ⃗ S ⃗ (a)

e3JJJe2(6)(a)总角动量为每个子系统角动量的量子化提供参考方向Ji=J-J2J2=(JJ2)2=J2+J2-2J2. J2J2.JJi(Ji + 1) = J(J + 1) + J2(J2 + 1) -h2J2 . J = J(J + 1) + J2(J2 + 1) - Ji(Ji + 1)622

总⻆动量为每个⼦系统⻆动量的量⼦化提供参考⽅向 J⃗ 1 J⃗ 2 ⃗e3 ⃗e2 J⃗ 1 J⃗ 2 J⃗ ⃗e1 (a) (b) J ~ 1 = J ~ ￾ J ~ 2 J1(J1 + 1) = J(J + 1) + J2(J2 + 1) ￾ 2J ~ 2 · J ~ ~2 J ~ 2 · J ~ = J(J + 1) + J2(J2 + 1) ￾ J1(J1 + 1) 2 ~2

耦合基矢和因子化基矢完全描述相同的希尔伯特空间两者等价7维度: (2j1 +1)(2j2 +1)下面我们讨论在因子化基矢张开的子空间中于2和」，的本征值和本征矢量形式，或者说讨论两种基矢之间的转化关系。Cim.joma li1, m;jiz m2)li1,j2,j,mj) =mi,m2Clebsch-Gordon系数：两套基矢之间的变换矩阵Qim=<jim1;j2,m2ljij2jmi)jimij2m2

耦合基⽮和因⼦化基⽮完全描述相同的希尔伯特空间 ——> 两者等价 维度：(2j1 + 1)(2j2 + 1) 下⾯我们讨论在因⼦化基⽮张开的⼦空间中 和 的本征值和本征⽮量形式，或者说， 讨论两种基⽮之间的转化关系。 J ˆ z |j1, j2, j, mj i = X m1,m2 Cj,m j1,m1,j2,m2 |j1, m1; j2, m2i Cjm j1m1j2m2 = hj1m1; j2, m2 |j1j2jmj i Clebsch-Gordon系数：两套基⽮之间的变换矩阵 J ~ 2

C-G系数因为耦合基矢是J的本征态，而且J，<J，所以角动量耦合的总角动量的最大值应该是J1和J2~的最大值之和。总角动量在方向分量最大的态和因子化基失之间具有如下关系：JMax, JMax)=[5,j)=[i1+j2,j1+j2)=[31,j1)@[j2,j2)J± =J±iJy=(Ji+J2α)±i(Jiy+J2y)二(Jix±iJiy)I2+Ii(J2α±iJ2y）二Ji-?I2+Ii?J2-J_ [i,j)=(J1-+J2-)li1,j1) ? [j2,j2)

C-G系数 J± ⌘ Jx ± iJy = (J1x + J2x) ± i(J1y + J2y) = (J1x ± iJ1y) ⌦ I2 + I1 ⌦ (J2x ± iJ2y) = J1￾ ⌦ I2 + I1 ⌦ J2￾ J￾ |j, ji = (J1￾ + J2￾)|j1, j1i ⌦ |j2, j2i 因为耦合基⽮是 的本征态，⽽且 ，所以⻆动量耦合的 总⻆动量的最⼤值应该是 和 的最⼤值之和。 总⻆动量在z⽅向分量最⼤的态和因⼦化基⽮之间具有如下关系：

利用J±ljm)= V(i干m)(i±m+1)li,m±1)和J_l,）=(Ji-J2-)1,i)lj2,j2)有 J_li,j)= 2ilj,j-1)J1-li1,31>@[j2,j2)+l51,31)? J2-j2,j2)= 2jil51,j1-1)[j2,j2)+2j2lj1,ji>lj2,j2-1)故[51,j1] [32,j2)[,11)[2,j2)[j,j-1] CG系数li,>[i,-1)[i,j-2).i,-+1)[i,-i)2 [i, m) = j(i + 1)h? li, m)(2j1+2j2+1)

J± |jmi = p(j ⌥ m)(j ± m + 1)|j, m ± 1i J￾ |j, ji = (J1￾ + J2￾)|j1, j1i ⌦ |j2, j2i J￾ |j, ji = p2j |j, j ￾ 1i |j, j ￾ 1i = s j1 j |j1, j1 ￾ 1i|j2, j2i + s j2 j |j1, j1i|j2, j2 ￾ 1i CG系数 利⽤ 和 3X8 角动量耦合 ĜjfRRĜ 3X8XR *@: 系数 因为耦合基矢是 Jz 的本征态，而且 Jz ≤ J，所以角动量耦合的总角动量的最大值 应该是 J1z 和 J2z 的最大值之和。总角动量在 z 方向分量最大的态和因子化基矢之间 具有如下关系： ! ! !JMax ,JMax z " ≡ |j,j # = |j1 + j2,j1 + j2 # = |j1,j1 # ⊗|j2,j2 # . U3X8X3V 定义总角动量的升降算符是 J± ≡ Jx ± iJy = (J1x + J2x) ± i(J1y + J2y ) = (J1x ± iJ1y ) ⊗I2 + I1 ⊗ (J2x ± iJ2y ) = J1− ⊗I2 + I1 ⊗J2−. U3X8XNV 角动量升降算符具有如下性质： J± |jm# = $ (j ∓ m)(j ± m + 1) |j,m ± 1 # , U3X8XRyV 将角动量降算符作用在态 |j,j # 上， J− |j,j # = (J1− + J2−)|j1,j1 # ⊗|j2,j2 # U3X8XRRV 上式左方（耦合基矢）等于 J− |j,j # = % 2j |j,j − 1 # , U3X8XRkV 右方等于 J1− |j1,j2 # ⊗|j2,j2 # + |j1,j1 # ⊗J2− |j2,j2 # = % 2j1 |j1,j1 − 1 # |j2,j2 # + % 2j2 |j1,j1 # |j2,j2 − 1 # , U3X8XRjV 所以我们得到 |j,j − 1 # = & j1 j |j1,j1 − 1 # |j2,j2 # + & j2 j |j1,j1 # |j2,j2 − 1 # . U3X8XR9V 耦合基矢前面的系数就是所谓的Ǵ*H2#b+?@:Q`/QMǴ 系数。我们继续用角动量降算符作 用在上式两侧就可以得到 2j + 1 个态矢量 |j,j # J− −→ |j,j − 1 # J− −→ |j,j − 2 # ···|j,−j + 1 # J− −→ |j,−j # . U3X8XR8V 这些态矢量都是 ˆ J2 算符对应于同一本征值 j 的本征态矢， ˆ J2 |j,m# = j(j + 1)h¯ 2 |j,m# . U3X8XReV 因为 j = j1 + j2，所以共有 (2j1 + 2j2 + 1) 个简并矢量。 J ˆ2 |j, mi = j(j + 1)~2 |j, mi (2j1 + 2j2 + 1) J1￾ |j1, j1i ⌦ |j2, j2i + |j1, j1i ⌦ J2￾ |j2, j2i = p2j1 |j1, j1 ￾ 1i|j2, j2i + p2j2 |j1, j1i|j2, j2 ￾ 1i 有 故

下一个子空间的最高态是li-1，i-1)。因为f2lj -1,j -1) = j(j-1)h2lj - 1,j -1),即，li-1,j-1>和li,j-1》属于2算符的不同本征值的本征矢，所以li-1,j-1>和li,j-1）正交。从此可得ii,ji>lj2,j2-1)lj-1,j-1>/12,可验证jij2j1j2:0《j,j-1lj-1,j-1)j2P在利用角动量降算符了lj -1,j-1) 二[i-1,j- 2) [j -1,j- 3).|j-1,-j) 二[i-1,-(j -1))

Ĝ9fRRĜ 下一个子空间的最高态是 |j − 1,j − 1 ! 。因为 ˆ J2 |j − 1,j − 1 ! = j(j − 1)h¯ 2 |j − 1,j − 1 ! , U3X8XRdV 即，|j − 1,j − 1 ! 和 |j,j − 1 ! 属于 ˆ J2 算符的不同本征值的本征矢，所以 |j − 1,j − 1 ! 和 |j,j − 1 ! 正交。从此可得 |j − 1,j − 1 ! = " j2 j1 |j1,j1 − 1 ! |j2,j2 ! − " j1 j |j1,j1 ! |j2,j2 − 1 ! . U3X8XR3V 可验证 # j,j − 1 |j − 1,j − 1 ! = " j1j2 j2 − " j1j2 j2 = 0. U3X8XRNV 在利用角动量降算符 ˆ J−， |j − 1,j − 1 ! J− −→ |j − 1,j − 2 ! J− −→ |j − 1,j − 3 ! ···|j − 1,−j ! J− −→ $ $ $j − 1,−(j − 1) ! . U3X8XkyV 以此类推，我们可以构造与 |j − 1,j − 2 ! 和 |j,j − 2 ! 都正交的态 |j − 2,j − 2 ! ，再 利用角动量降算符就可以得到 j − 2 对应的全部本征态。持续上述操作，直到得到 ˆ J 算符本征值 |j1 − j2| 所对应的全部本征矢为止。 下面我们验证希尔伯特的独立基矢个数。因子化基矢的独立基矢个数是 (2j1 + 1)(2j2 + 1)，所以耦合基矢的对立基矢个数也一定是 (2j1 + 1)(2j2 + 1)。在耦合基矢 中，设 j1 > j2，我们发现总角动量取值和其独立基矢个数是 ˆ J本征值 独立基矢个数 j1 + j2, 2(j1 + j2) + 1 j1 + j2 − 1, 2(j1 + j2) + 1 − 2 j1 + j2 − 2, 2(j1 + j2) + 1 − 2 × 2 . . . . . . j1 − j2, 2(j1 + j2) + 1 − 2 × (2j2) U3X8XkRV 上面共计 (2j2 + 1) 行，对所有独立基矢求和后看的 (2j1 + 1)(2j2 + 1)。例如 ˆ J本征值 独立基矢个数 颠倒独立基矢个数 j1 + j2, 2(j1 + j2) + 1 2(j1 + j2) + 1 − 4j2 j1 + j2 − 1, 2(j1 + j2) + 1 − 2 2(j1 + j2) + 1 − 4j2 + 2 j1 + j2 − 2, 2(j1 + j2) + 1 − 2 × 2 2(j1 + j2) + 1 − 4j2 + 4 . . . . . . . . . j1 − j2, 2(j1 + j2) + 1 − 2 × (2j2) 2(j1 + j2) + 1 U3X8XkkV

下面我们验证希尔伯特的独立基矢个数。因子化基矢的独立基矢个数是（2j1十1)(2j2+1)，所以耦合基矢的对立基矢个数也一定是(2j1+1)(2j2十1)。在耦合基矢中，设j1j2，我们发现总角动量取值和其独立基矢个数是］本征值独立基矢个数2(ji +j2) + 1j1 + j2,总计2(j1 + j2) + 1 - 2ji + j2-1,2j2 + 12(j1 + j2) + 1 -2 × 2ji + j2-2,行...:j1 j2,2(j1 + j2) + 1 -2 × (2j2)

Ĝ9fRRĜ 下一个子空间的最高态是 |j − 1,j − 1 ! 。因为 ˆ J2 |j − 1,j − 1 ! = j(j − 1)h¯ 2 |j − 1,j − 1 ! , U3X8XRdV 即，|j − 1,j − 1 ! 和 |j,j − 1 ! 属于 ˆ J2 算符的不同本征值的本征矢，所以 |j − 1,j − 1 ! 和 |j,j − 1 ! 正交。从此可得 |j − 1,j − 1 ! = " j2 j1 |j1,j1 − 1 ! |j2,j2 ! − " j1 j |j1,j1 ! |j2,j2 − 1 ! . U3X8XR3V 可验证 # j,j − 1 |j − 1,j − 1 ! = " j1j2 j2 − " j1j2 j2 = 0. U3X8XRNV 在利用角动量降算符 ˆ J−， |j − 1,j − 1 ! J− −→ |j − 1,j − 2 ! J− −→ |j − 1,j − 3 ! ···|j − 1,−j ! J− −→ $ $ $j − 1,−(j − 1) ! . U3X8XkyV 以此类推，我们可以构造与 |j − 1,j − 2 ! 和 |j,j − 2 ! 都正交的态 |j − 2,j − 2 ! ，再 利用角动量降算符就可以得到 j − 2 对应的全部本征态。持续上述操作，直到得到 ˆ J 算符本征值 |j1 − j2| 所对应的全部本征矢为止。 下面我们验证希尔伯特的独立基矢个数。因子化基矢的独立基矢个数是 (2j1 + 1)(2j2 + 1)，所以耦合基矢的对立基矢个数也一定是 (2j1 + 1)(2j2 + 1)。在耦合基矢 中，设 j1 > j2，我们发现总角动量取值和其独立基矢个数是 ˆ J本征值 独立基矢个数 j1 + j2, 2(j1 + j2) + 1 j1 + j2 − 1, 2(j1 + j2) + 1 − 2 j1 + j2 − 2, 2(j1 + j2) + 1 − 2 × 2 . . . . . . j1 − j2, 2(j1 + j2) + 1 − 2 × (2j2) U3X8XkRV 上面共计 (2j2 + 1) 行，对所有独立基矢求和后看的 (2j1 + 1)(2j2 + 1)。例如 ˆ J本征值 独立基矢个数 颠倒独立基矢个数 j1 + j2, 2(j1 + j2) + 1 2(j1 + j2) + 1 − 4j2 j1 + j2 − 1, 2(j1 + j2) + 1 − 2 2(j1 + j2) + 1 − 4j2 + 2 j1 + j2 − 2, 2(j1 + j2) + 1 − 2 × 2 2(j1 + j2) + 1 − 4j2 + 4 . . . . . . . . . j1 − j2, 2(j1 + j2) + 1 − 2 × (2j2) 2(j1 + j2) + 1 U3X8XkkV 2j2 + 1 总计 ⾏