《量子光学》课程教学课件（讲稿）光场的量子态与统计性质

概述：光奶的量子态与统汁性质张宇飞钟晨皓李彦谷2019年10月8日

概述：光场的量子态与统计性质 张宇飞 钟晨皓 李彦谷 2019年10月8日

目录前言第一部分E电磁场的量子化第二部分 光场的量子态13第三部分 泊松分布、二项分布与正态分布

目 录 前言 2 第一部分 电磁场的量子化 4 第二部分 光场的量子态 7 第三部分 泊松分布、二项分布与正态分布 13

前言量子光学（QuantumOptics）是研究光场的量子统计性质、量子相干性质以及光与物质（原子、离子等）相互作用的一门学科。1905年，爱因斯坦提出了光量子理论：20世纪20年代，量子力学的基本架构建立完成。但在之后很长一段时间里，将量子力学应用于光学领域的研究进展缓慢，部分原因是当时人们在光与物质的相互作用中更关注物质表现出的性质。11960年，第一台激光器诞生，对激光器的原理、设计及应用迅速成为研究热点，大大推动了这一领域的发展。1963年，Glauber提出光场相于态的概念，E.T.Jaynes和F.W.Cummings两人提出了表征单模光场与单个理想二能级原子相互作用的J-C模型，标志着现代量子光学的诞生。在量子光学的发展史上，先后解决了激光理论、光学双稳态、共振荧光和超荧光等问题：近年来文与其他学科交叉，诞生了量子信息科学（如利用光量子实现量子计算、量子通信）和冷原子物理（如激光冷却和内禁原子）等前沿研究领域

前言 量子光学（Quantum Optics）是研究光场的量子统计性质、量子相干性质， 以及光与物质（原子、离子等）相互作用的一门学科。 1905年，爱因斯坦提出了光量子理论；20世纪20年代，量子力学的基本架构 建立完成。但在之后很长一段时间里，将量子力学应用于光学领域的研究进 展缓慢，部分原因是当时人们在光与物质的相互作用中更关注物质表现出的 性质。 1960年，第一台激光器诞生，对激光器的原理、设计及应用迅速成为研究热 点，大大推动了这一领域的发展。1963年，Glauber提出光场相干态的概念， E. T. Jaynes和F. W. Cummings两人提出了表征单模光场与单个理想二能级原 子相互作用的J - C模型，标志着现代量子光学的诞生。 在量子光学的发展史上，先后解决了激光理论、光学双稳态、共振荧光和超 荧光等问题；近年来又与其他学科交叉，诞生了量子信息科学（如利用光量 子实现量子计算、量子通信）和冷原子物理（如激光冷却和囚禁原子）等前 沿研究领域

前言（续）量子光学的基础内容主要包括以下几部分：A、光场本身的性质（单光子源与量子信息、photoninterferometry.....）几种量子态（Fock态、相干态、压缩态.....）；量子态的统计性质（泊松分布、二项分布....）；■光场的相干与关联（HBT实验、关联函数......）；B、光场与原子的相互作用（电磁感应透明、相干布居数囚禁、激光冷却与冷原子物理.....■经典光场与原子的相互作用（半经典理论）：■量子光场与原子的相互作用（全量子理论）：限于篇幅，本报告中我们主要介绍其中的一部分内容，希望这一粗浅的介绍能对各位同学在今后接触相关领域及概念时有所帮助

前言（续） 量子光学的基础内容主要包括以下几部分： A、光场本身的性质（单光子源与量子信息、photon interferometry.） 几种量子态（Fock态、相干态、压缩态.）; 量子态的统计性质（泊松分布、二项分布.）; 光场的相干与关联（HBT实验、关联函数.）; B、光场与原子的相互作用（电磁感应透明、相干布居数囚禁、激光冷却与冷 原子物理.） 经典光场与原子的相互作用（半经典理论）； 量子光场与原子的相互作用（全量子理论）； 限于篇幅，本报告中我们主要介绍其中的一部分内容，希望这一粗浅的介绍 能对各位同学在今后接触相关领域及概念时有所帮助

第一部分电磁场的量子化

第一部分 电磁场的量子化

电磁巧的量子化■所谓电磁场的量子化，就是把描述电磁场的物理量（电场强度E、磁场强度B，能量H等）用算符表示，把电磁场的状态用态天量或密度算符表示。考虑一个一维谐振腔中的电磁场，设腔轴沿z方向，腔长为L，电场偏振沿x方向。将EX(20)用正则模（驻波）展开有5（=)-24g,(0)sm()-ZE,==12.，其中q具有长度的量纲，A为待定系数。■由Maxwell方程组可以得到磁场的表达式为:B,(=,)-ZPcos(k,=)=B,，其中Fom,p/m=dq/dt，p和m分别具有动量和质量的量纲。■电场的总能量为：H=Ja(sE3+六)-(m0+%)2mo■若令A,=2m,o,/Vs，电磁场的能量可写作：H=(m,e,q+=ZH22m

电磁场的量子化  所谓电磁场的量子化，就是把描述电磁场的物理量（电场强度E、磁场强度B，能量H 等）用算符表示，把电磁场的状态用态矢量或密度算符表示。  考虑一个一维谐振腔中的电磁场，设腔轴沿z方向，腔长为L，电场偏振沿x方向。  将Ex(z,t)用正则模（驻波）展开，有： ，其中q具有长度的量纲，A为待定系数。  由Maxwell方程组可以得到磁场的表达式为： ，其中 p/m=dq/dt，p和m分别具有动量和质量的量纲。  电磁场的总能量为：  若令 ，电磁场的能量可写作： x j j j j j  , sin , , 1,2,      j j j E z t A q t k z E k j L        .       1 , cos j j y j j j j j j A p t B z t k z B c m      2 2 2 2 2 2 0 0 2 0 1 1 1 2 2 2 2 j j x y j j j j j j j V A p H dv E B m q m m                          2 0 2 / A m V j j j    2 1 2 2 2 2 j j j j j j j j p H m q H m              

可见，在形式上一个场模与一个一维谐振子相同，可仿照前述的量子化方法把电磁场量子化。1[Fip,(1)+m,0,q,(1]，代入表达式得到:_天能子的产生与遵灭算符。 4(0= 2m,gH,=ho,(aa+))E,(z,t)=E,sin(k,-)[a,(0)+a,(o)],E, = Jho, /VsoB,(=,1)=-1=cos(k,=)[a,() -a,()]任意算符0随时间的演化服从海森堡方程：d-[,]，代入A得：dtho-iea,(l)=a,(0)e-or= ajea,(t)= aj (O)elal = afe'orE,(=,t)=E,sin(k,=)[aje-ef+afeon].E,=Jho, /Vs于是有：B,(2,t)=-iB, cos(k,-)[ajeo" -aje ],B, =E, /c

 可见，在形式上一个场模与一个一维谐振子相同，可仿照前述的量子化方法把电磁场 量子化。  引入光子的产生与湮灭算符： ，代入表达式得到：  任意算符 随时间的演化服从海森堡方程： ，代入 得：  于是有： 1 ˆ ( ) ( ) ( ) 2        j j j j j   j j a t ip t m q t m         0 , sin ( ) ( ) , / ˆ ˆ , cos ( ) ( ) ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 2                                j j j j j j j j j j j j j j j j E z t E k z a t a t E V E B z t i k z a t a t c H a a ˆ ˆ ˆ    ,   dO i H O dt ˆ ( ) (0) ˆ ˆ ˆ ( ) (0) ˆ ˆ                 i t i t j j j i t i t j j j a t a e a e a t a e a e         0 , c ˆ ˆ ˆ o ˆ s , in / , s , /                           j j j j i t i t j j j j j j i t i t j j j j j j j B j E z t E k z a e a e E z t iB k z a e a e B E V c O ˆ H ˆ

第二部分光场的量子态重点讨论相干态

第二部分 光场的量子态 ——重点讨论相干态

光 子数态(Fock State/Number State)■引入光子数算符n=a+a，同一维谐振子推导得：n|n)=n|n),n=0,1,2,*.a.[n)=Vn|n-1)a.[n)= Vn+i|n+1)其中n=0的态0>称为真空态，一般的光子数态可由真空态产生。电磁场的真空涨落：E(z,t)= Esin(k)[a'e-l +ate'"](E)=(n|E|n)=0(E)-(0[)=2E’si (k (n+)可见，即使对于真空态，电场方差也不为零，对应涨落称为真空涨落

光子数态(Fock State/Number State)  引入光子数算符 ，同一维谐振子推导得：  其中n = 0的态|0>称为真空态，一般的光子数态可由真空态产生。  电磁场的真空涨落：  可见，即使对于真空态，电场方差也不为零，对应涨落称为真空涨落。 ˆ ˆ ˆ   n a a    ˆ , 0,1,2, ˆ 1 ˆ 1 1 ˆ 0 ! .            n n n n n n a n n n a n n n a n n     2 2 2 2 , sin ˆ ˆ 0 1 2 sin ( ) 2                       i t i t E z t E kz a e a e E n E n E n E n E kz n

,x,=-(a-at)(1,X]=■电磁场的正交分量算符：X，=可将电场强度写成：E(z,t)=2Esin(k-)[X,cos(ot)+X,sin(ot)0x"0* ((xx1) -1由不确定原理：AX,AX, ≥!利用at、a-的性质有：X =[(2ata +1)+(a +a")],x,=[(2a*a- +1)-(a +a)(X)=(X)=00i -0% -(2+1)1可见真空态为最小不确定度态（最接近经典），其量子涨落称为量子噪声极限，11.AX,AX,22

 电磁场的正交分量算符： 可将电场强度写成：  由不确定原理：  利用 的性质有：  可见真空态为最小不确定度态（最接近经典），其量子涨落称为量子噪声极限。 1 2 1 2       1 1 ˆ ˆ , , , ˆ ˆ 2 2 2          i X a a X a a X X i E z t E kz X t X t  , 2 sin cos sin       1 2          1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 , 2 1 4 6 1              X X X X X X i           2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 , 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4 4 0 1 2 1 4                             X X    X a a a a X a a a a X X n 1 2 1 1 , 2 2     X X ˆ 、 ˆ   a a