粒子物理第三节狭义相对论和对撞机运动变量曹庆宏北京大学物理学院理论物理所PDG综述：KINEMATICS（运动学）
粒子物理 第三节 狭义相对论和对撞机运动变量 曹庆宏 北京大学物理学院理论物理所 PDG 综述: KINEMATICS (运动学)
1.狭义相对论回顾
1. 狭义相对论回顾 2 /47
张量简介三维矢量：a-(axay az)=(ai az a3宇称变换（空间反演变换）：Pa=(-ax -ay -a.）=(-ai -a2 -a3)矢量内积：a.b=axbx+ayby+ab=abi爱因斯旧约定：相同指标代表求和矢量内积在空间旋转和宇称变换下不变一标量
张量简介 三维矢量: ⃗a = ( ax ay az ) = ( a1 a2 a3 ) 宇称变换（空间反演变换）： Pˆ⃗a = ( −ax −ay −az ) = ( −a1 −a2 −a3 ) 矢量内积： ⃗a · ⃗b = axbx + ayby + azbz = aibi 爱因斯坦约定：相同指标代表求和 矢量内积在空间旋转和宇称变换下不变 =⇒ 标量 3 /47
叉乘（向量积）又乘定义为：axb= (a,b,-aby)x+(a,bx-axb)y+(axby-aybx)2其中是沿x方向的单位矢量。张量语言的又乘：(a × b),= E aj bkLevy-Civita张量：当(i,j,k) = (1,2,3), (2,3,1), (3, 1,2)+1jk当(i,j,k)=(2,1,3),(3,1,1),(1,3,2)当任意两个指标相同0两矢量的又乘仍然是一个矢量，但在空间反演宇称变换下不改变符号一惯量（轴矢量）
叉乘（向量积） 叉乘定义为： ⃗a×⃗b = (aybz−azby)ˆx+(azbx−axbz)ˆy+(axby−aybx)ˆz 其中 ˆx 是沿 x 方向的单位矢量。张量语言的叉乘： ( ⃗a ×⃗b ) i = ϵijk aj bk Levy-Civita 张量： ϵ ijk = +1 当(i, j, k) = (1, 2, 3),(2, 3, 1),(3, 1, 2) −1 当(i, j, k) = (2, 1, 3),(3, 1, 1),(1, 3, 2) 0 当任意两个指标相同 两矢量的叉乘仍然是一个矢量，但在空间反演宇 称变换下不改变符号 =⇒ 赝矢量（轴矢量） 4 /47
质标量我们还会经常遇到一种特殊标量a. (b×) = Ejk Cia, bk毫无疑问，上述失量内积得到的是一个标量。→标量在空间反演变换下，它改变符号张量符号的好处：例1:(V×A)=0. (V×A) = 0;(ejk0Ak)= EO,,A = 04T
我们还会经常遇到一种特殊标量——赝标量 ⃗a · ( ⃗b ×⃗c ) = ϵijk ci aj bk 毫无疑问，上述矢量内积得到的是一个标量。 在空间反演变换下，它改变符号 −→ 赝标量 张量符号的好处： 例 1: ∇ · ⃗ (∇ × ⃗ ⃗A) = 0 ∇ · ⃗ (∇ × ⃗ ⃗A) = ∂i(ϵijk∂jAk) = ϵijk∂i∂jAk = 0 5 /47
例 2: × ( ×A) = (. A) - 2A× (V×A)], = Eik0, (×A),= Ek);(emOiAm)=EijkEklmOOAm利用EjkEklm=Si0jm-Oimoj，可得[× (× A)], = eikEImo0,O/Am=(Outdm-Omdj)OOAm= 0,(O0)-0,0Ai=V(V.A)-A47
例 2：∇ × ⃗ (∇ × ⃗ ⃗A) = ∇⃗ (∇ · ⃗ ⃗A) − ∇⃗ 2⃗A [ ∇ × ⃗ (∇ × ⃗ ⃗A) ] i = ϵijk∂j ( ∇ × ⃗ ⃗A ) k = ϵijk∂j (ϵklm∂lAm) = ϵijkϵklm∂j∂lAm 利用 ϵijkϵklm = δilδjm − δimδjl，可得 [ ∇ × ⃗ (∇ × ⃗ ⃗A) ] i = ϵijkϵklm∂j∂lAm = (δilδjm − δimδjl)∂j∂lAm = ∂j(∂l∂l) − ∂j∂jAi = ∇⃗ (∇ · ⃗ ⃗A) − ∇⃗ 2⃗A 6 /47
eijk性质lmn=++Ejkemlmk+0mok+m+o0omEjkEomm+300m+0m8+0mg80m80m30m8=00m0meek = 88, - 88 = 3 -8/= 28Ejkeuk = 28; = 3!注意：不要相信你的记记，一定要使用Mathematica检查你的计算
ϵ ijk 性质 ϵijkϵ lmn = +δ l i δ m j δ n k + δ m i δ n j δ l k + δ n i δ l j δ m k −δ l i δ n j δ m k − δ n i δ m j δ l k − δ m i δ l j δ n k ϵijkϵ lmk = +δ l i δ m j δ k k + δ m i δ k j δ l k + δ k i δ l j δ m k −δ l i δ k j δ m k − δ k i δ m j δ l k − δ m i δ l j δ k k = +3δ l i δ m j + δ m i δ l j + δ m i δ l j −δ l i δ m j − δ l i δ m j − 3δ m i δ l j = δ l i δ m j − δ m i δ l j ϵijkϵ ljk = δ l i δ j j − δ j i δ l j = 3δ l i − δ l i = 2δ l i ϵijkϵ ijk = 2δ i i = 3! 注意：不要相信你的记忆，一定要使用 Mathematica 检查你的计算 7 /47
高能物理是相对论性物理本课程中所有的物理思想和公式都是写作为洛伦磁不变形式（或相对论性不变的）。微观尺度的物理规律需要使用相对论性不变的理论描述。物理学中最重要的原理之一是任何物理规律及其预言都和具体的参照系无关。高能物理中的客体的速度都接近于光速，我们必须使用狭义相对论描述它们。一协变、逆变指标和洛伦兹变换47
高能物理是相对论性物理 本课程中所有的物理思想和公式都是写作为洛伦 兹不变形式（或相对论性不变的）。 ▶ 微观尺度的物理规律需要使用相对论性不变 的理论描述。物理学中最重要的原理之一是： 任何物理规律及其预言都和具体的参照系无 关。 ▶ 高能物理中的客体的速度都接近于光速，我 们必须使用狭义相对论描述它们。 =⇒ 协变、逆变指标和洛伦兹变换 8 /47
协变和逆变矢量每个时空点都可以用如下的逆变量表示：x = (r0;x) = (ct;x) = (x0;xl,x2,x3)μ=0,1,2,3= (ct;x,y,z),希腊字母：时空变量：拉丁字母：空间变量定义逆变失量内积为X.y=x'guy其中平坦Minkowski空间的度规张量是guv
协变和逆变矢量 每个时空点都可以用如下的逆变矢量表示： x µ = ( x 0 ;⃗x ) = (ct;⃗x) = ( x 0 ; x 1 , x 2 , x 3 ) = (ct; x, y,z), µ = 0, 1, 2, 3 希腊字母：时空变量；拉丁字母：空间变量。 定义逆变矢量内积为 x · y = x µ gµνy ν , 其中平坦 Minkowski 空间的度规张量是 gµν = 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 9 /47
注意：爱因斯坦约定：相同指标表示求和：这意味着看—一任何表达式都不会有超过两个的相同指标。通常我们将指标求和称作为指标缩并（indexcontraction），因为求和后的指标将从最终的公式中消失。利用这一点，我们将缩并的指标改为任意的符号。度规张量指标是下标，而协变量指标永远在上边。4
注意： ▶ 爱因斯坦约定：相同指标表示求和； 这意味着——任何表达式都不会有超过两个 的相同指标。通常我们将指标求和称作为指 标缩并（index contraction），因为求和后的指 标将从最终的公式中消失。利用这一点，我 们将缩并的指标改为任意的符号。 ▶ 度规张量指标是下标，而协变矢量指标永远 在上边。 10/47