清华大学：《信号与系统》课程教学资源（习题讲解）部分作业参考答案

作业参考答案 第一章1-2,1-3,1-4,1-6,1-12,1-16 t+1-2≤t≤0 (a)解:f() t+10≤t<2 用d)的形式表示为:(1-+)-d-2) (b)解:f()=()+u(t-1)+(-2) ()解:f()= esino()-m(-7),其中O=2 2T T f(t) f(t) f(t) 2 3 t 16(1)∫f(t-1)(t=f(0-t)=f(-t) ∫-t)l )∫(e+1)6(+2)=e+2 (7)e[()-0(-1)=e-e

作业参考答案 第一章 1-2，1-3，1-4，1-6，1-12，1-16 1-2 (a) 解： ( )        − +   + −   = 1 0 2 2 1 1 2 0 2 1 t t t t f t ， 用 u(t) 的形式表示为：  ( 2) ( 2) 2 1 1  + − −      − t u t u t (b) 解： f (t) = u(t)+u(t −1)+u(t − 2) (c) 解： f (t) = Esintu(t)−u(t −T) ，其中 T T    = = 2 2 1-3 1-4 1-6 (1) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 f t −t t dt = f −t = f −t   −  (3) ( )   −        =       = −      − − 2 2 2 0 0 0 0 0 t u t u t t  t t u t (5) ( ) ( 2) 2 2  + + = +  − − e t t e t  (7)  ( ) ( ) 0 0 0 j t j t e t t t dt e e     −  − −  − − = − 1 f ( t ) 1 t f(t) (1) 1 1 t f(t) (3) 1 1 t f(t) (5) 1 1 t f(t) (7) 2 3

12解题思路即证[cos(m)·coS{mh0m≠n,m,n∈z 丌m=n.m.n∈Z 1-16解题思路:应用p37~39(旧版)所述公式计算可得。 C2=0,C3s4 C4=0。 3丌 第二章 第三章3-2,3-4,3-5,3-9,3-10,3-13,3-21,3-22,3-23,3-27,3-28,3-32, 3-39,3-41,3-42,3-45,3-47,3-52,3-53 3-2解题思路:应用公式(3-2),(3-3)计算可得。注意:该周期矩形信号 为偶对称信号,只含有直流和余弦分量。有效值的计算还需要除以√2。 3-4解题思路:注意到该周期三角信号去掉直流分量后为奇对称信号,因此, 该信号只含有直流和正弦分量。应用公式(3-2),(3-4)计算可得。需 要注意的是:幅度谱是表示信号在各个频率分量上的幅度的大小,因此 幅度谱中的数值应该都是正数。 3-5解题思路:注意到该周期信号为偶对称信号,因此,该信号只含有直流 和余弦分量。应用公式(3-2),(3-3)计算可得 3-9 (a)解题思路:注意到该周期三角信号去掉直流分量后为奇对称信号, 因此,该信号只含有直流和正弦分量。应用公式(3-2),(3-4)计算 可得 (b)解题思路:与(a)中的信号的解题思路类似,可以直接通过对该信号 的分析,通过公式(3-2),(3-4)计算其直流和余弦分量(偶对称信 号);也可以将该信号分解成两个三角信号的“和”,分别利用已有 的公式求出各自的傅立叶级数,再组成最终的解 3-10解题思路:该题仍属于傅立叶级数求解的应用,直接套用公式即可求得 答案。注意当k=1时需要通过公式的定义求解。 3-13解题思路:该题主要考察对函数的对称性与傅立叶系数的关系的掌握情 况。有些题目的答案不唯一,需要注意的是如何理解题目的提法。如 偶函数一一只含有余弦分量;奇函数一一只含有正弦分量,无直流分量 只含有偶次谐波一一周期可以减半;只含有奇次谐波一一奇谐函数;含 有偶次和奇次谐波一一既不是奇谐函数,也不是可以周期减半的情况

1-12 解题思路即证 ( ) ( )    =     • = m n m n Z m n m n Z mt nt dt , , 0 , , cos cos 2 0   1-16 解题思路：应用 p37~39（旧版）所述公式计算可得。  4 C1 = ， C2 = 0， 3 4 C3 = ， C4 = 0。 第二章 第三章 3-2，3-4，3-5，3-9，3-10，3-13，3-21，3-22，3-23，3-27，3-28，3-32， 3-39，3-41，3-42，3-45，3-47，3-52，3-53 3-2 解题思路：应用公式（3-2），（3-3）计算可得。注意：该周期矩形信号 为偶对称信号，只含有直流和余弦分量。有效值的计算还需要除以 2 。 3-4 解题思路：注意到该周期三角信号去掉直流分量后为奇对称信号，因此， 该信号只含有直流和正弦分量。应用公式（3-2），（3-4）计算可得。需 要注意的是：幅度谱是表示信号在各个频率分量上的幅度的大小，因此， 幅度谱中的数值应该都是正数。 3-5 解题思路：注意到该周期信号为偶对称信号，因此，该信号只含有直流 和余弦分量。应用公式（3-2），（3-3）计算可得。 3-9 (a) 解题思路：注意到该周期三角信号去掉直流分量后为奇对称信号， 因此，该信号只含有直流和正弦分量。应用公式（3-2），（3-4）计算 可得。 (b) 解题思路：与(a)中的信号的解题思路类似，可以直接通过对该信号 的分析，通过公式（3-2），（3-4）计算其直流和余弦分量（偶对称信 号）；也可以将该信号分解成两个三角信号的“和”，分别利用已有 的公式求出各自的傅立叶级数，再组成最终的解。 3-10 解题思路：该题仍属于傅立叶级数求解的应用，直接套用公式即可求得 答案。注意当 k＝1 时需要通过公式的定义求解。 3-13 解题思路：该题主要考察对函数的对称性与傅立叶系数的关系的掌握情 况。有些题目的答案不唯一，需要注意的是如何理解题目的提法。如： 偶函数――只含有余弦分量；奇函数――只含有正弦分量，无直流分量； 只含有偶次谐波――周期可以减半；只含有奇次谐波――奇谐函数；含 有偶次和奇次谐波――既不是奇谐函数，也不是可以周期减半的情况。 (1) t T/4 f(t) (2) t T/4 f(t)

T/4 I/4 3-21解题思路:(1)可以直接通过傅立叶变换的定义求解:(2)余弦信号与 矩形窗函数在时域相乘,相应的在频域卷积得解 3-22解题思路:(1)可以直接通过傅立叶变换的定义求解;(2)应用傅立叶 变换的性质,如积分、微分,作相应的变换。需要注意的是要单独考虑 当所得傅立叶变换式的分母为零时的情况 3-23解题思路:信号在时间轴上的平移只影响相位谱,而对频率的分布没有 影响,这样,就可以在解提的时候根据需要对信号进行平移以方便运算。 根据的基本公式可参考:p194页的内容。注意(f)的书后答案有错 应该为1MHz 3-27解题思路:参考pl86部分的内容。 328解题思路:f(0)=E[(t+)-()-Eu()-u(t-),利用时移 性质做傅立叶变换。 332解题思路:根据频域微分定理:F[-j() df(o) 所以 do Flu(I dF(o de 3-39解题思路:应用时移与频域卷积的性质。 F (o)e 已知:F(coso)=z(o+o)+(a+o)

3-21 解题思路：（1）可以直接通过傅立叶变换的定义求解；（2）余弦信号与 矩形窗函数在时域相乘，相应的在频域卷积得解。 3-22 解题思路：（1）可以直接通过傅立叶变换的定义求解；（2）应用傅立叶 变换的性质，如积分、微分，作相应的变换。需要注意的是要单独考虑 当所得傅立叶变换式的分母为零时的情况。 3-23 解题思路：信号在时间轴上的平移只影响相位谱，而对频率的分布没有 影响，这样，就可以在解提的时候根据需要对信号进行平移以方便运算。 根据的基本公式可参考：p194 页的内容。注意（f）的书后答案有错， 应该为 1MHz。 3-27 解题思路：参考 p186 部分的内容。 3-28 解题思路： f (t) = Eu(t + )−u(t)− Eu(t)−u(t − )，利用时移 性质做傅立叶变换。 3-32 解 题 思 路： 根据 频 域微 分 定理 ：  ( ) ( )   d dF F − jtf t = ， 所以：  ( ) ( )   jd dF F tf t − = 。 3-39 解题思路：应用时移与频域卷积的性质。 ( ) ( )      2 0 1 1 2 − =            F = F f t − F e ， 已知： ( )  ( ) ( ) 0 0 0 F cos t =   + +  + t (6) T/4 t f(t) (5) T/4 f(t) (3) t T/4 f(t) (4) t T/4

F()=F coSo t Fo)=F(coso t) 2 2丌 F(O=Eo+o)+E(0-o) 3-41 第四章4-3(2),4-4(8),4-28(b),4-29(a), 4-3 (2)解题思路:参考p291页的时移性质。 44(⑧8)解题思路:分式分解,然后做反变换。 4-28(b)解题思路:1、先求单周期的半波整流信号的拉氏变换,方法可以 很多,如直接根据拉氏变换的定义积分,也可以将正弦函数按照欧拉公 式展开以简化积分运算。2、根据p341页中的内容,求得周期信号的拉 氏变换。推荐答案如下:取半个周期的信号表示如下: 10)=sf2z t|() T 2丌 = SIn () -=[ sIn t jult +sl T T F(s)=L()= 其中o= +Os2+O° F(s 1+e 其中 2丌 F(s S+O 另外一种做法如下(生医8班冯曙):设∫(为2T时间中的正弦信号 的半波整流,则正弦信号可以表示为f( 相应的拉氏变

( ) ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 cos 2 1 cos 2            = + + − =              = − F F F F F f t t F F t 3-41 第四章 4-3（2），4-4（8），4-28（b），4-29（a）， 4-3 （2）解题思路：参考 p291 页的时移性质。 4-4 （8）解题思路：分式分解，然后做反变换。 4-28 （b）解题思路：1、先求单周期的半波整流信号的拉氏变换，方法可以 很多，如直接根据拉氏变换的定义积分，也可以将正弦函数按照欧拉公 式展开以简化积分运算。2、根据 p341 页中的内容，求得周期信号的拉 氏变换。推荐答案如下：取半个周期的信号表示如下： ( ) ( ) ( ) ( )       −              + −      =        −       −      =              − −      = 2 2 2 sin 2 sin 2 2 sin 2 sin 2 2 0 sin T u t T t T t u t T T t u t T t u t T T t u t u t T f t      ( )  ( ) T e s s F s L f t s T       2 2 2 2 2 2 0 0 = + + + = = − 其中 ( ) ( ) e T e e s F s F s s T s T s T     2 1 1 1 2 2 2 2 2 0 = − + • + = − = − − − 其中 另外一种做法如下（生医 8 班 冯曙）：设 f (t) 为 2T 时间中的正弦信号 的半波整流，则正弦信号可以表示为 ( )       − − 2 T f t f t ，相应的拉氏变

换可以表示为:F(s)-F(s)e+=lsin ,则F(s) 可求,椅求信号可以表示为:0)+(=2),则其拉氏变换可以得 到:F(E(=-O1+e s2+1-e 4-29(a)解题思路:于4-28题类似,先求单周期的半波整流信号的拉氏变 换,求得周期信号的拉氏变换,最后再乘上衰减因子,在本题中相当于 域平移。对称方波的单周期信号可以表示为: f()=()-2(-1)+u(+2),则 F SS F(s)= F(S=LI s+11+e 4-30 第五章

换可以表示为： ( ) ( ) 2 2 2 2 sin    +  =            − = − s t T F s F s e L s T ，则 F(s) 可求。待求信号可以表示为： ( )       + − 2 T f t f t ，则其拉氏变换可以得 到： ( ) ( ) s T s T s T e e s F s F s e 2 2 2 2 2 1 1 − − − − + • + + =   4-29 （a）解题思路：于 4-28 题类似，先求单周期的半波整流信号的拉氏变 换，求得周期信号的拉氏变换，最后再乘上衰减因子，在本题中相当于 s 域平移。对称方波的单周期信号可以表示为： ( ) ( ) 2 ( 1) ( 2) f 0 t = u t − u t − +u t + ，则： ( ) ( ) 2 2 0 1 1 2 s 1 s 1 s e s e s e s s F s − − − = − + = − ( ) ( ) 2 2 2 0 1 11 1 1 1 − − − − + − = − − = e e e s e s F s s s s ， ( ) ( ( ) ) s s t e e s F s L f t e − − − + − • + =  = 1 1 1 1 4-30 第五章