第三章组合逻辑电路的分析与设计 31逻辑代数 、逻辑代数的基本公式 匚名称 公式1 公式2 A.1=A A+0=A 0-1律 A.0=0 A+1=1 互补律 aa= 0 A+A=1 重叠律 Aa= A A+a=A 匚交换律 AB= BA A+b=B+A 结合律 A(BC=(AB)C A+(B+C=(A+B)+C 分配律 A(B +C=AB +Ac A+BC=(A+B(A+c) 反演律 Ab= A+B A+B= AB A(A+B)=A A+Ab= a 吸收律 A(A+B)=AB A+ab= a+B (A+B(A+C(B+C=(A+B)(A+C) AB+aC+bC= AB+ac 对合律 a=d
第三章 组合逻辑电路的分析与设计 3.1 逻辑代数 一、逻辑代数的基本公式
公式的证明方法: (1)用简单的公式证明略为复杂的公式。 例3.1证明吸收律A+AB=A+B mE: A+AB=A(B+B)+AB=AB+ AB+AB=AB+ AB+ AB+AB A (B+B)+B(A+A=A+B (2)用真值表证明,即检验等式两边函数的真值表是否一致。 例3.1.2用真值表证明反演律AB=A+B 表3.1.2证明AB=A+B A B AB A+B 0 0
公式的证明方法： （2）用真值表证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。 例3.1.2 用真值表证明反演律 AB = A + B （1）用简单的公式证明略为复杂的公式。 例3.1.1证明吸收律 A+ AB = A+ B 证： A + AB= A(B + B) + AB = AB + AB + AB = AB + AB + AB + AB = A(B + B) + B(A+ A)= A+ B
匚名称 公式1 公式2 A.1=A A+0=A 0-1律 A.0=0 A+1=1 式 互补律 Aa=0 A+A=1 重叠律 AA= A A+a=a 交换律 Ab= BA A+B=B+A 结合律 A(BC=(AB)C A+(B+○=(A+B+C 分配律 A(B +C=AB +Ac A+BC=(A+BA +C) 反演律 AB=A+B A+B=AB A(A+B)=A A+ab= a 吸收律 A(A+B)=AB A+AB=A+B (A+B(A+C(B+C=(A+B)(A+c AB+AC+BC= AB+Ac 对合律 a=a 等,那么它们的对偶式也一定相等。 基本公式中的公式和公式2就互为对偶式
二、逻辑代数的基本规则 对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达式相 等，那么它们的对偶式也一定相等。 基本公式中的公式l和公式2就互为对偶 式。 ABC = A + BC = A+ B + C ' L 1 .代入规则 对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式 两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。 例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，则新的等式仍成立： 2 .对偶规则 将一个逻辑函数L进行下列变换： ·→＋，＋→· 0 → 1，1 → 0 所得新函数表达式叫做L的对偶式，用 表示
3.反演规则 将一个逻辑函数L进行下列变换: , 0→1,1-0 原变量→反变量,反变量→原变量。 所得新函数表达式叫做L的反函数,用L表示。 利用反演规则,可以非常方便地求得一个函数的反函数 例3.13求以下函数的反函数:L=AC+BD 解 L=(4+C)·(B+D) 例3.4求以下函数的反函数:L=A,B+C+D 解 L=A+B·C·D 在应用反演规则求反函数时要注意以下两点 (1)保持运算的优先顺序不变,必要时加括号表明,如例313。 (2)变换中,几个变量(一个以上)的公共非号保持不变,如例 3.14
3 .反演规则 将一个逻辑函数L进行下列变换： ·→＋，＋→· ； 0 → 1，1 → 0 ； 原变量 → 反变量， 反变量→ 原变量。 所得新函数表达式叫做L的反函数，用 表示。 在应用反演规则求反函数时要注意以下两点： （1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例3.1.3。 （2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变，如例 3.1.4。 L L = AC + BD L = (A+C)(B + D) L = A B +C + D L = A + B C D 利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数 例3.1.3 求以下函数的反函数： 解： 例3.1.4 求以下函数的反函数： 解：
三、逻辑函数的代数化简法 1.逻辑函数式的常见形式 个逻辑函数的表达式不是唯一的,可以有多种形式,并且能互相 转换。例如: L=AC+B 与一或表达式 =(A+B)(A+C 或一与表达式 Ac AB 与非一与非表达式 A+B+a+c 或非一或非表达式 AC+AB 与一或非表达式 其中,与一或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。 2.逻辑函数的最简“与一或表达式”的标准 (1)与项最少,即表达式中“+〃号最少。 (2)每个与项中的变量数最少,即表达式中“·"号最少
三、逻辑函数的代数化简法 其中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。 2．逻辑函数的最简“与—或表达式” 的标准 （1）与项最少，即表达式中“+”号最少。 （2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“· ”号最少。 1．逻辑函数式的常见形式 一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相 转换。例如：
3.用代数法化简逻辑函数 (1)并项法。 运用公式+A=1,将两项合并为一项,消去一个变量。如 L=A(BC BC)+A(BC +BC)=ABC + ABC +ABC +ABC= AB(C +C)+AB(C+C) =AB+AB=A(B+B)=A (2)吸收法。 运用吸收律A+AB=A,消去多余的与项。如L=AB+AB(C+DE)=AB (3)消去法。 运用吸收律A+AB=A+B消去多余的因子。如 l=A+AB+ be=atb+ be=abte (4)配项法。 先通过乘以A+A或加上AA,增加必要的乘积项, 再用以上方法化简。如 L=AB+AC+BCD= AB+AC+ BCD(A+A)=AB+AC+ ABCD+ABCD= AB+Ac
3．用代数法化简逻辑函数 （4）配项法。 L = A(BC + BC) + A(BC + BC) = ABC+ ABC + ABC + ABC = AB(C +C) + AB(C +C) = AB+ AB = A(B + B) = A L = AB + AB(C + DE) = AB L = A + AB + BE = A + B + BE = A + B + E L = AB + AC + BCD = AB + AC + BCD(A + A) = AB + AC + ABCD + ABCD = AB + AC （1）并项法。 （2）吸收法。 （3）消去法。 运用公式 A+ A =1 ，将两项合并为一项，消去一个变量。如 运用吸收律A+AB=A，消去多余的与项。如
在化简逻辑函数时,要灵活运用上述方法,才能将逻 辑函数化为最简。 再举几个例子: 例3.1.6化简逻辑函数: L=AD+AD+ab+ac+bd+ abef+ beF 解:L=A+AB+AC+BD+ABEF+BEF(利用4+4=1) A+ac+bd+ BeF (利用A+AB=A) A+C+BD+BEF利用A+AB=A+B)
在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻 辑函数化为最简。 再举几个例子： 解： 例3.1.6 化简逻辑函数： L = A D + AD + A B + AC + B D + ABE F + BE F L = A+ AB + AC + BD + ABEF + BEF （利用 A+ A =1 ） = A + AC + BD + BEF （利用A+AB=A） = A+ C + BD + BEF （利用 A+ AB = A+ B ）
例317化简逻辑函数:L=AB+AC+BC+CB+BD+DB+ADE(F+G) 解:L=ABC+BC十CB+BD+DB+ADE(F+G)(利用反演律) A+BC+CB+BD+DB+ADE(F+G)(利用A+AB=A+B) A+bc+cb+bd+ dB (利用A+AB=A) A+BC(D+D)+CB+BD+DB(C+C)(配项法) A+bcd+ bcd+cb+bd+ dbc+ dbc A+BCD+CB+BD+DBC(利用A+AB=A) A+CD(B+B)+CB+ BD A+CD+CB+BD(利用A+A=1)
解： 例3.1.7 化简逻辑函数： L = AB+ AC + BC +CB + BD + DB + ADE(F + G) L = ABC + BC +CB + BD + DB + ADE(F +G) （利用反演律 ） = A+ BC +CB + BD + DB + ADE(F + G) （利用 ） （配项法） A+ AB = A+ B = A+ BC + CB + BD + DB （利用A+AB=A） = A+ BC(D + D) +CB + BD + DB(C +C) = A + BCD + BCD + CB + BD + DBC + DBC = A + BCD + CB + BD + DBC （利用A+AB=A） = A+CD(B + B) +CB + BD = A + CD + CB + BD （利用 A+ A =1 ）
例31.8化简逻辑函数:L=AB+BC+BC+AB 解法1:L=AB+BC+BC+AB+AC(增加冗余项AC) Ab+bC+ Ab+ac (消去1个冗余项BC) BC+Ab+Ac (再消去1个冗余项AB) 解法2:L=AB+BC+BC+AB+AC(增加冗余项AC) AB+bC +AB+Ac (消去1个冗余项BC) AB+bc +Ac (再消去1个冗余项AB) 由上例可知,逻辑函数的化简结果不是唯一的 代数化简法的优点是不受变量数目的限制。 缺点是:没有固定的步骤可循;需要熟练运用各种公式 和定理;在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要 定的技巧和经验;有时很难判定化简结果是否最简
由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。 代数化简法的优点是不受变量数目的限制。 缺点是：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式 和定理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一 定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。 解法1： 解法2： 例3.1.8 化简逻辑函数： L = AB + BC + BC + AB
32逻辑函数的卡诺图化简法 最小项的定义与性质 最小项的定义 n个变量的逻辑函数中,包含全部变量的乘积项称为最小项。n 变量逻辑函数的全部最小项共有2n个。 表321三变量逻辑函数的最小项及编号 最小项 变量取值 编号 a B c ABc 000 a ABc 001 ABc 010 ABC ABc 100 101 110 aBc 111
3.2 逻辑函数的卡诺图化简法 一、 最小项的定义与性质 最小项的定义 n个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项。n 变量逻辑函数的全部最小项共有2 n个
