《水声学》课程授课教案（讲稿）第六讲 波动方程和定解条件

第六讲第3章海洋中的声传播理论$ 3. 1波动方程和定解条件本讲主要内容：■波动方程和定解条件（了解）-波动声学基础（重点）声场常用分析方法1、波动理论（简正波方法）：研究声信号的振幅和相位在声场中的变化，它适用低频，数学上复杂、物理意义不直观的声场分析方法。2、射线理论（射线声学）：研究声场中声强随射线束的变化，它是近似处理方法，且适用于高频，但数学上简单、物理上直观的声场分析方法。亥姆霍兹方程V"@+k"@=0声线轨迹技术波动理论方法P= A(x,y,z)eP(x3z)= P(r,2)R(r)p=Z(-)R(r)声线模型抛物型模型快速声场模型多路径展开模型简正波模型A：幅度函数简正波方程格林Z:?：抛物线方程P：相位函数函数R：贝塞尔方程P：贝塞尔方程汉克尔函数汉克尔函数二、波动方程和定解条件在理想海水介质中，小振幅波的运动方程、连续性方程和状态方程：Qu1 p.Vp.Vp=0AP-p=D.22ar?atap+pv.i=0at1op+pV.i=0p=c p2atBdP=cdotot当介质密度是空间坐标的函数时，波动方程的形式和密度均匀介质中波动方程的形式有何不同？18p-1vp.Vp=0p-arp

第六讲 第 3 章 海洋中的声传播理论 §3.1 波动方程和定解条件 本讲主要内容： ◼ 波动方程和定解条件（了解） ◼ 波动声学基础（重点） 一、声场常用分析方法 1、波动理论（简正波方法）：研究声信号的振幅和相位在声场中的变化，它适用低 频，数学上复杂、物理意义不直观的声场分析方法。 2、射线理论（射线声学）：研究声场中声强随射线束的变化，它是近似处理方法， 且适用于高频，但数学上简单、物理上直观的声场分析方法。 二、波动方程和定解条件 在理想海水介质中，小振幅波的运动方程、连续性方程和状态方程： 当介质密度是空间坐标的函数时，波动方程的形式和密度均匀介质中波动方 程的形式有何不同? 2 2 2 2 1 1 0 p p p c t     − −   = 

1 αpVp=0c? at?1、波动方程引入新变量：0- [1-(2)Ps4/p考虑简谐波，则有：02/at? = -0?V?p+(x, y,z)p=0K=k2+!Vp. 3(2 p※注：P不是声场势函数，K不是波数，且均为三维空间函数。在海水中，与声速相比密度变化很小，将其视为常数，则有：K =k=0/c(x,y, =)V2p+k2(x, y,z)p=0p=p.pVp+k2(x, y,=)p= 0如果介质有外力作用，例如有声源情况，则有：V.Fvp+K(x,y,zpVPV.FVp+k?(x,yVpV"p+k(x,y,z)p=V.F※注：赫姆霍茨方程是变系数偏微分方程-泛定方程。2、定解条件：满足物理问题的具体条件。1）边界条件：物理量在介质边界上必须满足的条件。①绝对软边界条件：声压为零界面方程：z=n(x, y,t)界面声压：p(x, y,z,t)=7(x,,)=0——第一类齐次边界条件如果已知边界面上的压力分布（不平整海面），则有：p(x, y, n,t)-=n(x,y,1)= ps第一类非齐次边界条件

2 2 2 2 1 0 p p c t   − =  1、波动方程 引入新变量： p   = 2 2 2 2 2 2 1 1 3 0 c t 2 4               − + − =            考虑简谐波，则有： 2 2 2  t = − ( , , ) 0 2 2   + K x y z  = 2 2 2 4 3 2 1          −  = +     K k ※注：  不是声场势函数，K 不是波数，且均为三维空间函数。 在海水中，与声速相比密度变化很小，将其视为常数，则有： K = k =  c(x , y , z) ( , , ) 0 2 2   + k x y z  = ( , , ) 0 2 2  p + k x y z p = 如果介质有外力作用，例如有声源情况，则有： ※注：赫姆霍茨方程是变系数偏微分方程-泛定方程。 2、定解条件：满足物理问题的具体条件。 1）边界条件：物理量在介质边界上必须满足的条件。 ①绝对软边界条件：声压为零 界面方程： 界面声压： ——第一类齐次边界条件 如果已知边界面上的压力分布（不平整海面），则有： ( ) ( ) s z x y t p x y t = p = , , , , ,   ——第一类非齐次边界条件 p =   z =(x , y , t) ( ) ( ) , , , 0 , , = z= x y t p x y z t 

②绝对硬边界条件：法向质点振速为零界面方程：z=n(x, y,t)界面振速：anan(nu)+u.=oaxay第二类齐次边界条件如果已知边界面上的质点振速分布（不平整海底），则有：an.on(n.u)u,+u.=u一一第二类非齐次边界条件ax"oy③混合边界条件：压力和振速线性组合(+ap)=f(s)(on+a若a为常数，则为第三类边界条件若(s)=0，则为阻抗边界条件：Z=-pun※注意负号的物理含义④边界上密度或声速有限间断边界上压力和法向质点振速连续：(1 ap1ppls-0o= plsto (2(pan)pan若压力不连续，质量加速度趋于无穷：若法向振速不连续，边界上介质“真空”或“聚集”。※注：边界条件限制波动方程一般解（通解）在边界上取值。2）辐射条件：无穷远处没有声源存在时，其声场应具有扩散波的性质。①平面波情况09+± jkg=0ax②柱面波情况limikor>od③球面波情况aplim rikoOr也称为索末菲尔德（Sommerfeld）条件。3）奇性条件对于声源辐射的球面波，在声源处存在奇异点，即r-0p-8不满足波动方程：如果引入狄拉克函数，它满足非齐次波动方程

②绝对硬边界条件：法向质点振速为零 界面方程： 界面振速： ( ) + = 0   +    = x uy uz y u x n u      ——第二类齐次边界条件 如果已知边界面上的质点振速分布（不平整海底），则有： ——第二类非齐次边界条件 ③混合边界条件：压力和振速线性组合 ap f (s) n p s  =      +   ——若 a 为常数，则为第三类边界条件 若 f (s) = 0 ，则为阻抗边界条件： un p Z = − ※注意负号的物理含义 ④边界上密度或声速有限间断 边界上压力和法向质点振速连续： −0 +0 = s s p p 0 0 1 1 − +           =           s s n p n p   若压力不连续，质量加速度趋于无穷：若法向振速不连续，边界上介质“真 空”或“聚集”。 ※注：边界条件限制波动方程一般解（通解）在边界上取值。 2）辐射条件：无穷远处没有声源存在时，其声场应具有扩散波的性质。 ①平面波情况 jk 0 x       =  ②柱面波情况 lim  = 0         →   jk r r r ③球面波情况 lim  = 0         →   jk r r r ——也称为索末菲尔德（Sommerfeld）条件。 3）奇性条件 对于声源辐射的球面波，在声源处存在奇异点，即 r→0 p→∞ 不满足波动方程；如果引入狄拉克函数，它满足非齐次波动方程 z =(x , y , t) ( ) x uy uz us y u x n u + =   +    =     

1 ap-4元()Aejp2at?狄拉克函数的定义产=0包含在体积V内[.s(F)dv:0F=0在体积V以内4）初始条件当求远离初始时刻的稳态解，可不考虑初始条件。3、定解条件总结pl, =0第一类绝对软边界apl=0边界第二类0zl.绝对硬边界条件第三类阻抗型边界(+ap)-(s)奇性间断型边界an条件+± kg,=0初始条件ax平面波alim辐射柱面波条件a9球面波limA83.2波动声学基础一求解满足定解条件的波动方程的解、硬底均匀浅海声场：上层为均匀水层，下层为硬质均匀海底，海面和海底均平整。Z,(0)=05(0.2)dZg/dzl -e2波导模型图中：声源：点源ro（0，Z）水深：H声速：Co1、简正波由于声场的圆柱对称性，水层中胜场满族柱坐标系下的波动方程：1%(%)+%P+kp=-4mA8( -元)Ir-0-rorlor即：

( ) j t r Ae t p c p    4 1 2 2 2 2 = −    − 狄拉克函数的定义 ( )     = = = V r V r V r dV 在体积 以内 包含在体积 内 0 0 1 0     4）初始条件 当求远离初始时刻的稳态解，可不考虑初始条件。 3、定解条件总结 §3.2 波动声学基础—求解满足定解条件的波动方程的解 一、硬底均匀浅海声场：上层为均匀水层，下层为硬质均匀海底，海面和海底均平 整。 波导模型 图中：声源：点源 r0（0，Z0） 水深：H 声速：C0 1、简正波 由于声场的圆柱对称性，水层中胜场满族柱坐标系下的波动方程： 即： ( ) 0 2 2 0 2 4 1 k p A r r z p r p r r r   + = − −    +           

+++=-26()(=-20)or2+ or 0z?应用分离变量法，令：p(r,2)=R,(r)z,()经分离变量：ntdR.+1dR,)d由方程①得本征刷数通解：drCz.(2)-(A. sin (Rz)+B, cos(kmz)0≤Z≤H待定系数本征值一是波数ko的垂直分量dZ +(k -5)Z,=0由方程②得dz?Z,(0)=0B, =0由自由海面：d0硬质海底：dzk=n-n=1,2,3,21H根据Z.（z）正交归一化条件：" zm(2)z,(2)z=14, = /2/HBsin(kaz)z,(a)= 方程②的解R,(r)=-jZ,(20)H@(5r)=sin(k.,20)k..20)H(2)(S,r其水平波数

( ) ( ) 0 2 2 0 2 2 2 1 2 r z z r k p z p r p r r p + = − −   +   +     应用分离变量法，令： 经分离变量： 由方程①得本征函数通解： 由方程②得 由自由海面： 硬质海底： 根据 Zn（z）正交归一化条件： 方程②的解 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k z H ( r) H R r j Z z H r j n  n  n  z n  n 2 0 0 2 0 0 sin 2 = − = − 其水平波数 ( ) = ( ) ( ) n n n p r , z R r Z z 0 1 2 2 0 2 2 2  =              + +          + n n n n n n n k Z dz d Z R dr dR dr r d R Z ( ) 0 2 2 2 0 2 + − n n = n k Z dz d Z 

(e}-[-)]]-n-.声场中的声压：p(r,=)=-j元Zz,(=)z,(=0)Hf2'(c.r)2元Zsin(k=)sin(k=)H(5r)H在远场，根据汉克尔函数近似表达式：-15r-元2Hl2(sr)~元一n阶简正波表达式：-(Cwr-A)[2元z,(=)z,(c0)ep,(r,z)=-5r-2 2元 sn (k.=)sn (kgm=HVS.每阶简正波沿深度z方向作驻波分布、沿水平r方向传播的波；不同阶数的简正波其驻波的分布形式不同。声压幅度(相对单位)n=4n=1n=2n=3不同阶简正波的分布※注意：级数求和的数目与声波的频率和层中参数有关总结：通过本讲学习，掌握波动方程的边界条件和定解条件，以及波动方程的解的组成和意义：掌握均匀硬底浅海声场的声波方程及其解。习题：1水平分层介质中的“程函方程”表示如何？试画出几条典型声线轨迹图

2 2 0 2 1             − −         = H n c n    声场中的声压： 在远场，根据汉克尔函数近似表达式： ( ) ( )       − −  2 4 0 2     j r n n n e r H r n 阶简正波表达式： 每阶简正波沿深度 z 方向作驻波分布、沿水平 r 方向传播的波；不同阶数 的简正波其驻波的分布形式不同。 不同阶简正波的分布 ※注意：级数求和的数目与声波的频率和层中参数有关 总结：通过本讲学习，掌握波动方程的边界条件和定解条件，以及波动方程的解的组 成和意义；掌握均匀硬底浅海声场的声波方程及其解。 习题： 1 水平分层介质中的“程函方程”表示如何？试画出几条典型声线轨迹图。 zn k k n  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( )  = − = − n z n z n n n n n n k z k z H r H j p r z j Z z Z z H r     2 0 0 2 0 0 sin sin 2 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       − −       − − = − = − 4 0 4 0 sin sin 2 2 2 ,         j r z n z n n j r n n n n n n k z k z e H r j Z z Z z e r p r z j