第八讲第3章海洋中的声传播理论S3.3射线声学基础本讲主要内容■射线声学的基本方程（重点、难点）■射线理论的应用条件（重点、难点）射线声学：将声波传播视为一束无数条垂直等相位面的射线传播。声线：与等相位面垂直的射线。①射线途经的距离代表声波传播的距离：②声线经历的时间代表声波传播的时间；③声线束携带的能量代表声波传播的声能量：④射线声学为波动方程的近似解。沿任意方向传播的平面波可写为：p= Ae (ot-k-r)矢量k方向可用其方向余弦表示：kx=cosα波失量kk,=cosBkK位置矢量=COSk均匀介质平面波：声线相互平行，互不相交，声波振幅处处相等声线等相位面均匀介质球面波：声线是由点源沿外径方向放射的声线束，互不相交，等相位面（波阵面）为同心球面，声波振幅随距离衰减。相付声线
第八讲 第 3 章 海洋中的声传播理论 §3.3 射线声学基础 本讲主要内容 ◼ 射线声学的基本方程（重点、难点） ◼ 射线理论的应用条件（重点、难点） 射线声学：将声波传播视为一束无数条垂直等相位面的射线传播。 声线：与等相位面垂直的射线。 ①射线途经的距离代表声波传播的距离； ②声线经历的时间代表声波传播的时间； ③声线束携带的能量代表声波传播的声能量； ④射线声学为波动方程的近似解。 沿任意方向传播的平面波可写为： 矢量 k 方向可用其方向余弦表示： = cos k kx = cos k ky = cos k kz 均匀介质平面波：声线相互平行，互不相交，声波振幅处处相等 均匀介质球面波：声线是由点源沿外径方向放射的声线束，互不相交，等相位面（波 阵面）为同心球面，声波振幅随距离衰减。 j( t k r) Ae − =
非均匀介质球面波：声线方向因位置变化而变化，声线束是由点源向外放射的曲线束组成，等相位面（波阵面）不再是同心球面。等相位面声线一二、射线声学的基本方程1、波动方程：'p-1op-0c=c(x,y,2)c?at?形式解可写成为：p(x, y,z, )-(A(x,y,z)xpi(a (k(x,y,2)a(x,y,z)波数声压振幅参考声速折射率0Co,y,zc(x,y,z)co c(x,y,z)p(x,y,z)=n(x,y,z)p(x,y,z)p(x,y,z,t)=A(x, y,z)expli(ot-kop(x,y,z)程函概念：p(x,y,z)=n(x, y,z)p(x, y,z)p(x,y,z)=const所确定的曲面为等相位面，相位值处处相等。p(x,y,z)指向代表声线的方向，处处与等相位垂直，将形式解代入波动方程：
非均匀介质球面波：声线方向因位置变化而变化，声线束是由点源向外放射的曲线束 组成，等相位面（波阵面）不再是同心球面。 一、射线声学的基本方程 1、波动方程： 0 1 2 2 2 2 = − t p c p c = c(x , y , z) 形式解可写成为： 程函概念： 将形式解代入波动方程： (x , y , z) n(x , y , z) (x , y , z) = 1
72A[2VA.V0+V?2v.Vo+k?-jkAV? A/A<<k?(vg)x.y,zVAkvo.V+k?=0A2VA-V@=00+A总结：程函方程：声线方向n(x,y,z声线轨迹声线传播时间强度方程：声线幅度或V?0+VA.VP=0携带的能量（1）程函方程的不同表示形式：假设声线方向为3，其单位失量=%/因，其方向就是方向，则：do(x, y)-o.s.=odsp(x,y,z)Vp=Vplcosai+cosβj+cosyk有程函方程及上式可得op,op,+k=n(cosai+cos+cosKaxdyOz★第（1）种表示式：aapa=ncosβ=ncosyncosaOzayax矢量形式：apapapV02axayQ标量形式：★第（2）种表示式：
总结： 程函方程： 强度方程： （1）程函方程的不同表示形式： 假设声线方向为 s ，其单位矢量 s k k 0 = ，其方向就是 方向，则： ( i j k ) = cos + cos + cos 有程函方程及上式可得 k n( i j k ) z j y i x = cos + cos + cos + + ★第（1）种表示式： 矢量形式： 标量形式： ( ) 2 2 2 2 + + = = x y z n ★第（2）种表示式： ( ) = 0 = , , s ds d x y z
axCOSC(a) (g) (2)eaycOsB(α) () ()azcos)(c) () ()声线的方向余弦的物理含义：声线的方向余弦：cosaα=dx/dscos β = dy/dscosy=dz/ds0op axop oyop ozd(ap)dslaxax(axasazasayasaan(ncos’α+ncos’ β+ncos* r)=axax★第（3）种表示式：and(ncosa)axdson4(ncos p)166dsd(ncosr)azds
声线的方向余弦的物理含义： 声线的方向余弦： ★第（3）种表示式： dy dz ( ) x n n n n x s z s z y s y x ds x x x d + + = = + + = 2 2 2 cos cos cos
(V)=Vn矢量形式：ds应用举例：1）声速C为常数，由程函方程第（3）种表示形式得：声线的起始出射方向角Ocosα=cosαcosβ=cosBcoOsyCOS结论：声速为常数时，声线为直线。2）声速C=C(Z)，由程函方程第（3）中表示得：d(coCodcCO0cosa-cOSYdsdsc dzCdLcosα问题：ds意味着什么？C3）假设起始值c=c_α=αo，则比值cosα/c(=)沿声线各处永远不变，即cosαcosaoc(a)Co折射定律或Snel1定律CodcCOscdz由ds(可得dysiny dnsiny dedsdzdznc曲率半径（非常重要！）：dy11R=1/lsinydccosaαdcIdsdzdzOC4）声线弯曲讨论正声速梯度：dcldz>0，负声速梯度dc/dz<0
矢量形式： ( ) n ds d = 应用举例： 1）声速 C 为常数，由程函方程第（3）种表示形式得： 结论：声速为常数时，声线为直线。 2）声速 C=C(Z)，由程函方程第（3）中表示得： cos 0 0 = c c ds d dz dc c c c c ds d 2 0 0 cos = − 问题： cos 0 0 = c c ds d 意味着什么？ 3）假设起始值 ， = 0 ，则比值 cos c(z) 沿声线各处永远不变，即 ( ) 0 0 cos cos c z c = 折射定律或 Snell 定律 由 dz dc c c c c ds d 2 0 0 cos = − ，可得 dz dc dz c dn ds n d sin sin = − = 曲率半径（非常重要！）： 4）声线弯曲讨论 正声速梯度： ，负声速梯度 dc dz 0 0 c = c dz dc dz c dc c ds d R cos 1 sin 1 =1/ = = dc dz 0
dLdsY1YTNY2:72zz+结论：声线总是弯向声速小的方向。求解程函的显式假设c=c()，n=n(=)，令程函p(x, z)=p(x)+P2()根据程函第（1）种表示式有：0p()0p (d) = n(e)cosα=n()cos yaxOz (x)= [ n(2)cos adx因此(p2(-)= [ n(=)cos ydz根据Snell定律：OidP(x)= cosαo x+C)n(2)cosy= nsin α?-cosαo2(=)= " /n? -cos αodz+C2程函：p(x,=)= cosαo*x+[" n? -cos αodz+C（2）强度方程意义根据声强的定义，采用声压的复数表示，则声强为：i*.Vpdtpop'.op为简单计，只考虑分量Ix，它正比于ax1 aAapp.opjkoaxLA oxax在高频或声压振幅随距离相对变化甚小的情况下有：p2()=[ n(-)cos ydz1 aA<<koAaxax
结论：声线总是弯向声速小的方向。 求解程函的显式 假设 c = c(z) ， n = n(z)，令程函 根据程函第（1）种表示式有： ( ) ( ) cos 1 n z x x = ( ) ( ) cos 2 n z z z = 因此 根据 Snell定律： ( ) 1 0 1 x = cos x +C ( ) 0 2 2 2 2 0 z n cos d z C z z = − + 程函： （2）强度方程意义 根据声强的定义，采用声压的复数表示，则声强为： 为简单计，只考虑分量 Ix，它正比于 在高频或声压振幅随距离相对变化甚小的情况下有： (x z) (x) (z) 1 2 , = + ( ) ( ) z = n z cosdz 2 ( ) ( ) x = n z cosdx 1 ( ) ( ) z = n z cosdz 2 ( ) 0 2 2 cos cos sin = − = n n z n (x z) x n d z C z z = + − + 0 0 2 2 0 , cos cos O x z S = T p pdt T j I 0 1 x p p − = x jk x A A A x p p 0 2 1 x k x A A 0 1
20p8axA?Oay1,℃ A20gOz1AVO结论：V20+2A.V=0=V.(4V0)=0=V.i=0A封闭面S选沿声线管束的侧面和管束两端的横截面S1和S201oSStdSo4g1SdrP(rz)P(r+ar2)由于声强沿侧面的面积分为零，则：J7 ds + J7 ds = 0- IsiS, + Is2S2 = 0因此有：I siS, = I s2S2 = ...= const即:结论：声能沿声线管束传播，端面大，声能分散，声强值减小：端面小，声能集中，声强值增加，因而声强I与面积S成反比；管束内的声能不会通过侧面向外扩散。由声源的辐射声功率来确定。设声源单位立体角的辐射声功率为W，则声强等于:WdQ1-ds假设声源是轴对称的，考虑在掠射角α。到α。+dα所夹立体角内的声线管束。ds.dQ:=2元cosαgdαrodS=2πrPQ=2rsinα_d
x I x A 2 y I y A 2 z Iz A 2 结论： 0 ( ) 0 0 2 2 2 + A = A = I = A 封闭面 S 选沿声线管束的侧面和管束两端的横截面 S1 和 S2 由于声强沿侧面的面积分为零，则： 0 1 2 + = S S I dS I dS 因此有： − I S1 S1 + I S 2 S2 = 0 即： I S I S const S1 1 = S 2 2 == 结论： 声能沿声线管束传播，端面大，声能分散，声强值减小； 端面小，声能集中，声强值增加，因而声强 I 与面积 S 成反比； 管束内的声能不会通过侧面向外扩散。 由声源的辐射声功率来确定。设声源单位立体角的辐射声功率为 W，则声强等 于： dS Wd I = 假设声源是轴对称的，考虑在掠射角 0 到 0 + d 0 所夹立体角内的声线管 束。 dS rPQ r dr z = 2 = 2 sin 2 I A 2 0 0 0 0 2 cos d r dS d = =
Ordrdao(aα)COrsina.dadS=2元(α)a0Wcosao1(r,2)=arsinα:(aα)ao如果不计入常数因子，声压振幅：A(r,2)=[7/2平面问题的射线声场表示式：P(r , 2)= A(r , z)exp[- jk,p(r , z)条件之一：程函方程的导出条件V? A/ A1的场合
0 0 d r dr = 0 2 sin 0 d r dS r z = ( ) z r r W I r z sin cos , 0 0 = 如果不计入常数因子，声压振幅： 平面问题的射线声场表示式： 条件之一：程函方程的导出条件 2 2 A A k 条件之二：强度方程中的 和 具有相同数量级 应用条件的物理含义： 在声波波长的距离上，声波振幅的相对变化量远小于 1。说明射线声 学只能应用于声波声强没有发生太大变化的部分。如在波束边缘、声影 区（声线不能到达的区域）和焦散区（声能会聚区域 ( ) 0 0 = r ）， 射线声学不成立。 在声波波长的距离上，声速相对变化远小于 1。说明射线声学只能 适用于声速变化缓慢的介质。如在声速跃变层，射线声学不成立。 结论： 射线声学是波动声学的高频近似，适用于高频条件和弱不均匀介质 （介质不均匀性缓慢变化）情况。 总结：通过本讲学习，掌握射线声学理论、声线的传播规律以及射线声学的应用。 作业： 1 说明射线声学的基本方程、适用条件及其局限性，并说明球面波和柱面波传播时声 线的传播方向。 2 海水中声速值从海面的 1500m/s 均匀减小到 100m 深处的 1450m/s。求（1）速度梯 度；（2）使海表面的水平声线达到 100m 深处时所需要的水平距离；（3）上述声 线到达 100m 深处时的角度。 3 聚集因子 F 是如何定义的，它有什么物理意义？举出二个 F>1 的场合。 ( ) 1 2 A r , z = I P(r , z) A(r , z)exp jk (r , z) = − 0 n A A