河海大学：《弹性力学及有限元》课程PPT教学课件（双语版）第四章 平面问题极坐标解答 solution of plane problems in polar coordinates

Chapter 4 solution of plane problems in polar coordinates 第四章平面问题极坐标解答 徐汉忠第一版20007 弹性力学第四章

徐汉忠第一版2000/7 弹性力学第四章 1 Chapter 4 solution of plane problems in polar coordinates 第四章 平面问题极坐标解答

Polar coordinates极坐标 The position of a point p in polar coordinates is defined by the radial coordinate r and the angular coordinate 点P的极坐标用径向坐标r和角坐标0表示 displacements:位移 8 uu strains:应变: r 8e rre stresses:应力: Or oe tre body force:体力:KrK 徐汉忠第一版20007 弹性力学第四章 2

徐汉忠第一版2000/7 弹性力学第四章 2 Polar coordinates 极坐标 • The position of a point P in polar coordinates is defined by the radial coordinate r and the angular coordinate . 一点P的极坐标用径向坐标r和角坐标表示 P (r, ) • displacements:位移： ur u • strains:应变: r  rr • stresses: 应力： r  r • body force:体力: Kr K

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徐汉忠第一版2000/7 弹性力学第四章 3 x r  r  y

4.1 Differential equations of equilibrium in polar coordinates极坐标中的平衡微分方程 P54E)Fg.411;P58(中)图4-1 re ate 8r ao, or+dr Fig.41.1 徐汉忠第一版20007 弹性力学第四章

徐汉忠第一版2000/7 弹性力学第四章 4 4.1 Differential equations of equilibrium in polar coordinates极坐标中的平衡微分方程 • P54(E) Fig. 4.1.1; P58(中)图4-1

Review: differential equations of equilibrium in rectangular coordinate直角坐标平衡方程 ao30x+0xOy+X=0-x方向的平衡方程,体力 和应力都是x方向,故应力的第二个下标为x方 向。对应力的第一个下标求导。 √y+3/Ox+Y=0-3方向的平衡方程,体 力和应力都是y方向,故应力的第二个下标为y 方向。对应力的第一个下标求导。 In the first(second) differential equation of equilibrium, the body force and stresses are in the x(y direction, the second coordinate subscript in stresses is x(y), the differential of stresses is respect to the first subscripts 徐汉忠第一版20007 弹性力学第四章

徐汉忠第一版2000/7 弹性力学第四章 5 Review: differential equations of equilibrium in rectangular coordinate直角坐标 平衡方程 • x /x+yx/y+X=0 --x方向的平衡方程，体力 和应力都是x方向，故应力的第二个下标为x方 向。对应力的第一个下标求导。 • y /y+xy/x+Y=0 --y方向的平衡方程，体 力和应力都是y方向，故应力的第二个下标为y 方向。对应力的第一个下标求导。 • In the first (second) differential equation of equilibrium, the body force and stresses are in the x (y) direction, the second coordinate subscript in stresses is x (y), the differential of stresses is respect to the first subscripts

两种坐标系中的平 衡微分方程的比较 ·6o0x+OOy+X=0 Tre+dr or+dr ao√Oy+OxOx+Y=0(222) do / ar+ate/ra0)+(or-oo/rK=0(4.1.1) Oo(roe)+ce/Or+2/r+K=0(4.1.2) (G-00)/r-r面面积大于负r面面积,o6与通过 形心的r轴有一角度 2r-n作用的正r面面积大于负r面面积, τr与通过形心的0轴有一角度 徐汉忠第一版20007 弹性力学第四章 6

徐汉忠第一版2000/7 弹性力学第四章 6 两种坐标系中的平 衡微分方程的比较 • x /x+yx/y+X=0 y /y+xy/x+Y=0 (2.2.2) • r /r+r /(r)+(r - )/r+Kr=0 (4.1.1)  /(r)+r /r+2r /r+K=0 (4.1.2) • (r - )/r---正r面面积大于负r面面积, 与通过 形心的r轴有一角度 • 2r /r---- r 作用的正r面面积大于负r面面积， r与通过形心的 轴有一角度

4.2 geometrical and physical equations in polar coordinates极坐标中的几何物理方程 P57(E)Fg.42.1P60(中)图42 A A (a (b) Fig.4.2.1 徐汉忠第一版20007 弹性力学第四章

徐汉忠第一版2000/7 弹性力学第四章 7 4.2 geometrical and physical equations in polar coordinates极坐标中的几何物理方程 • P57(E) Fig. 4.2.1;P60(中)图4-2

Only the radial displacement takes place只有径向位移 P人a 人 A 日 A Fig.4.2.1 ·PP′=u,AA=u+ ou /a rdr BB′=un+Ou/ede S=(PA-PA)/PA=(AA-PP/PA=u+ou ardr)- url/dr=ou ar Ee=(PB-PB/PB=(r+u)de-rde/(rde)=u/r 徐汉忠第一版20007 弹性力学第四章

徐汉忠第一版2000/7 弹性力学第四章 8 Only the radial displacement takes place只有径向位移 • PP=ur AA=ur+ur / rdr BB= ur+ur / d • r=(PA -PA)/PA=(AA-PP)/PA=[(ur+ur /rdr)- ur ]/dr=ur /r • =(PB-PB)/PB=[(r+ur )d-rd]/(rd)=ur /r

Only the radial displacement takes place只有径向位移 人 A A Fig.4.2.1 the angle of rotation of pa will be 0=0 the angle of rotation of Pb will beββ=(BB PP)/PB=u+ou /aede)-u/rde=our/rae rre=a+B=Ou /(ra0) 徐汉忠第一版20007 弹性力学第四章

徐汉忠第一版2000/7 弹性力学第四章 9 Only the radial displacement takes place只有径向位移 • the angle of rotation of PA will be =0 • the angle of rotation of PB will be  =(BB- PP)/PB=[(ur+ur /d)-ur ]/rd=ur /(r) • rr =+=ur /(r)

Only the circumferential displacement takes place只有环向位移 (b) Fig.42.1 PP"′=AA"=ue+ due/ardr BB′=ue+oued0 E=0 Eo=(PB-PB)/PB=BB" -PP//PB=ue+oue/ada)-ue Vrde)=due/roe) 徐汉忠第一版20007 弹性力学第四章

徐汉忠第一版2000/7 弹性力学第四章 10 Only the circumferential displacement takes place只有环向位移 • PP=u AA=u+u / rdr BB=u+u /d • r=0 • =(PB-PB)/PB=(BB-PP)/PB =[(u+u /d)- u ]/(rd)= u /(r)