第三章材料非线性 有限元分析 1非线性弹性问题的有限单元法 2強塑性回的有限单法 2000.4 哈尔滨建筑大学王焕定教授制作
2000.4 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 1 第三章 材料非线性 有限元分析 1 非线性弹性问题的有限单元法 2 弹塑性问题的有限单元法
1非线性弹性问题的有限单元法 前提:材料处子弹性状态,但是应力应变关 系是非线性的。位移和应变是微小的。因此 几何方程En=(u1,y+u1}) 2 物理方程an=DkE或don=Dmd 象线性间题一样,设位移和应变分别为 u=Ns 8=B6 则全量形式的应力为 o=D(8B8 增量形式的应力为 da=Dn()Bdδ 2000.4 哈尔滨建筑大学王焕定教授制作 2
2000.4 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 2 1 非线性弹性问题的有限单元法 前提：材料处于弹性状态，但是应力-应变关 系是非线性的。位移和应变是微小的。因此 ( , , ) 2 1 i j = ui j +uj i 几何方程 kl t kl i j ijkl s 物理方程 i j = Dijkl 或 d = D d 象线性问题一样，设位移和应变分别为 u N e B e = = 则全量形式的应力为 Ds B e = ( ) 增量形式的应力为 DT B e d = ( ) d
同线性问题分析样,可得单元刚度方程为 Bodv=F+F=BD(E)Bdv8,=k(8)8 进行先处理(定位向量)集成,可得 集成」∑∫Bov=k、OU=P+P=R 与线性问题不同,上式是非线性的方程组,因 此要用第一章介绍的方法来求解。 1)切线刚度法 额法 线性方程y=∑B牛顿法时解时 切线刚度矩阵为(认为 =a() kg=y s=[B o, E,a dv=B D(e)Bdv 2000.4 哈尔滨建筑大学王焕定教授制作 3
2000.4 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 3 同线性问题分析一样，可得单元刚度方程为 B V F F B Ds B V e ks e e d ( ) d ( ) T E T = + = = 进行先处理（定位向量）集成，可得 B V = Ks U U = Pd + PE = R T d ( ) 与线性问题不同，上式是非线性的方程组，因 此要用第一章介绍的方法来求解。 1）切线刚度法——牛顿法 k = = B V = B DT B V e T e , , , d ( ) d T T e 集成 = d − = 0 T 非线性方程 B 用牛顿法求解时， V R 切线刚度矩阵为(这里认为 ) = d − = 0 T B V R = ( )
经整体集成后,可得整体切线刚度矩阵,由 此可建立(自修正的)牛顿法选代公式为 AU=(KT(R-R") Ut=U+AU 式中R"是应力引起的结点力,因此 R=∑Bod-表示集成 其中为第m步位移对应的线性单元应力。 讲义上列出切线刚度法分析的计算步骤,这 里不再赘述。(P22) 因为R-R物理含义是不平衡力,所以牛顿法 也可理解为按不平衡力修正位移,使不平衡力 足够小。 2000.4 哈尔滨建筑大学王焕定教授制作
2000.4 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 4 经整体集成后，可得整体切线刚度矩阵，由 此可建立（自修正的）牛顿法迭代公式为 n n n n n T n U = K R − R U = U + U −1 +1 ( ) ( ) 式中Rn是应力σn引起的结点力，因此 其中σn为第n步位移对应的非线性单元应力。 讲义上列出切线刚度法分析的计算步骤，这 里不再赘述。(P.22) 因为R-Rn物理含义是不平衡力，所以牛顿法 也可理解为按不平衡力修正位移，使不平衡力 足够小。 R = B V n n d T 表示集成
从此可得切线刚度法的计算步骤为 1)设U=0,求线弹性解U; 2)由U求各单元的应变、应力; 3)从BD(E")BdV计算单元切线 刚度矩阵k并集装K; 4)计算BodV并集装R"; 5)由式(3.6)进行选代,直到 满足精度要求。 2000.4 哈尔滨建筑大学王焕定教授制作 5
2000.4 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 5 5) 由式 （3．6）进行迭代，直到 满足精度要求。 从此可得切线刚度法的计算步骤为： 0 U 0 1 1）设 = ，求线弹性解 U ； 1 2）由 U 求各单元的应变、应力； T ( ) dV T B D B n e T k n KT 3）从 计算单元切线 刚度矩阵 并集装 ； dV T n B n 4）计算 并集装 R ；
2)应力转移、初应力法修正牛顿法 为避免每次送代形成切线矩阵并求解,以初 始切线矩阵(即线弹性的刚度矩阵)选代,则 AU=(KT)(R-R") U=U +AU 这相当于接性刚度分配不平衡力。选代的 过程就是不断调整个单元的应力,使刚度弱的 单元不能承受的应力逐渐转移到刚度大的单元 或边界上,因此也称为“应力转移法”。它先 求位移修正值,然后求下一送代步的位移。 因为初始切线刚度矩阵k= B BDv,故 k”-SEo=表示集成 2000.4 哈尔 建 筑大学 王焕定 教授制作 6
2000.4 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 6 2）应力转移、初应力法——修正牛顿法 n n n n T n U = K R − R U = U + U 0 −1 +1 ( ) ( ) 为避免每次迭代形成切线矩阵并求解，以初 始切线矩阵（即线弹性的刚度矩阵）迭代，则 这相当于按弹性刚度分配不平衡力。迭代的 过程就是不断调整个单元的应力，使刚度弱的 单元不能承受的应力逐渐转移到刚度大的单元 或边界上，因此也称为“应力转移法”。它先 求位移修正值，然后求下一迭代步的位移。 因为初始切线刚度矩阵 kT = B DBdV ，故 0 T n n n KT U B e V R0 0 T = d = 表示集成
式中 a"=DE DBs e n 是第m步非线性位移对应的弹性应力。由此从 修正牛顿法选代公式可得 K 0n+1 +R R 0 因为P=∑∫B"d"dH非线性应力 所以着将σ视作“初应力”,记 AR"=∑∫B(o:-o)ur 则 KOU+I=R+ar" 表示集成 它是不断修改初应力,使趋于常量(弹性应 力和真实应力之差)因此也称初应力法。 2000.4 哈尔滨建筑大学王焕定教授制
2000.4 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 7 式中 是第n步非线性位移对应的弹性应力。由此从 修正牛顿法迭代公式可得 n n e n e = D = DB n n n KT U = R + R − R + 0 0 1 因为 R = B V n n d T 非线性应力 所以若将 e n −视作“ n 初应力”，并记 则 R = B σ V n n n ( e - )d T n n KT U = R + R 0 +1 表示集成 它是不断修改初应力，使趋于一常量（弹性应 力和真实应力之差）。因此也称初应力法
从讲义式(3.8)可得初应力法的计算步 骤为: 1)由k0= B BDv集装初始切线刚度矩 阵K; 2)由KPU=R求线弹性的解; 3)由U计算各单元的B(a2-a)dV,并集 装AR"; 4)由(3.8)求2,反复迭代,直到R足够 小 2000.4 哈尔滨建筑大学王焕定教授制作 8
2000.4 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 8 4） 由(3．8)求 ，反复迭代，直到 足够 小。 1 R 2 U 从讲义式 （3．8）可得初应力法的计算步 骤为： = dV 0 T k e B DB 0 KT 1） 由 集装初始切线刚度矩 阵 ； K U = R 0 1 T 2） 由 求线弹性的解； 1 U ( - )dV T 1 1 B e n R 3） 由 计算各单元的 ，并集 装 ；
3)初应变法修正牛顿法 有些问题的本构关系是用应力表示应变即 E=￡(o) 又设第m步单元非线性应力对应的弹性应变为 =D O e 则非线性的应变可表为/残余(初应变 6"=E(")=E+0=D n n 0 式中Ea也可视作“初应变”,由上式可得 90=8(0 )-D-o 因此单元刚度方程为 Bo dv=F+F=B D(E(o")-eo)dv 2000.4 哈尔滨建筑大学王焕定教授制作 9
2000.4 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 9 又设第n步单元非线性应力对应的弹性应变为 n n D 1 e − = 则非线性的应变可表为 n n n D 1 0 ( ) − = − 残余(初)应变 n n n n n n D 0 1 e 0 = ( ) = + = + − 式中 0 n 也可视作“初应变”，由上式可得 因此单元刚度方程为 B V F F B D V n n n d ( ( )- 0 )d T E T = + = 有些问题的本构关系是用应力表示应变,即 = ( ) 3）初应变法——修正牛顿法
也即初应变可作为等效结点苘载考虑 R=∑ B Dear表示集成 由此,象初应力法一样,可得选代公式为 KTUf=R+ Ro R"=∑「 BDE(o")-o")dv 因为它是不断修改初应变,使趋子一常量(总 应变和弹性应变之差)。因此也称初应变法。 其解步骤如下页所示。 为了更好地掌握上述知识,讲义上举了一个 简单例子,用以说明切线刚度法和初应力法 2000.4 哈尔滨建筑大学王焕定教授制作 10
2000.4 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 10 也即初应变可作为等效结点荷载考虑 R = B D V n n 0 d T 0 n n KT U R R0 0 1 = + + 由此，象初应力法一样，可得迭代公式为 因为它是不断修改初应变，使趋于一常量（总 应变和弹性应变之差）。因此也称初应变法。 其求解步骤如下页所示。 表示集成 R = B D − V n n n ( ( ) )d T 0 为了更好地掌握上述知识，讲义上举了一个 简单例子，用以说明切线刚度法和初应力法